Алгебраїчні рівняння/Повні квадратні рівняння

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до: навігація, пошук

Повне квадратне рівняння - це рівняння вигляду

ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0).

Формули коренів рівняння[ред.]

Спочатку ми розв'язуватимемо такі рівняння методом виділення квадратного двочлена.

Приклад 1[ред.]

Розв'язати рівняння: x^2 + 4x - 5 = 0.

Розв'язання[ред.]

Згадаємо одну з формул скороченого множення: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Якщо до двочлена x^2 + 4x додамо 4, то отримаємо квадрат двочлена x + 2. Тому дане рівняння рівносильне рівнянню x^2 + 4x + 4 - 4 - 5 = 0,

або (x + 2)^ 2 - 9 = 0;

(x + 2)^ 2 = 9.

Звідси x + 2 = 9, x = 7,

або x + 2 = -9, x = -11.

Відповідь. x_1 = 7; x_2 = -11.

Тепер розв'яжемо цим же ж методом рівняння

ax^2 + bx + c = 0.

Спочатку помножимо усі члени лівої частини рівняння на 4a:

4(ax)^2 + 4axb + 4ac = 0. Тепер додамо і віднімемо b^2(бо (2ax + b)^2 = 4(ax)^2 + 2axb + b^a):

(2ax)^2 + 4axb + 4ac + b^2 - b^2 = 0;

(2ax + b)^ 2 = b^2 - 4ac. (*)

Тепер розглянемо наш результат.

Вираз у правій частині рівняння (b^2 - 4ac) називають дискримінантом та познfчають великою літерою D.

D < 0[ред.]

Якщо дискримінант менший від нуля, то рівняння не має розв'язку. Бо відомо, що квадрат (у нашому випадку - це (2ax+b)^2)не може бути від'ємним числом.

Відповідь. Розв'язків немає.

D = 0[ред.]

Тоді рівняння має вигляд (2ax + b)^2 = 0.

Розв'яжемо його.

2ax + b = 0

2ax = -b

x = -\frac {b}{2a} (1)

Відповідь. x = -\frac {b}{2a}

D > 0[ред.]

Рівняння виглядатиме як рівняння (*). Розв'яжемо і його.

(2ax + b)^ 2 = b^2 - 4ac;

2ax + b =\pm\sqrt {b^2 - 4ac};

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} (2)

Виразами (1) та (2) ми будемо користуватись досить часто при розв'язанні квадратних рівняння.


Теорема Вієта[ред.]

Поділимо рівняння ax^2 + bx + c = 0 на a: вийде

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac {c}{a} = 0.

Зробимо заміну: p = \frac{b}{a}; q = \frac {c}{a}.

Отримаємо зведене квадратне рівняння x^2 + px + q = 0.

Запишемо формулу, за якою знайдемо корені рівняння (нагадаємо: перший коефіцієнт дорівнює одиниці, другий - p, а вільний член - q):

x_{1,2} = \frac {-p \pm {\sqrt{p^2 - 4q}}}{2}.

Тепер за допомогою цих формул ми доведемо теорему Вієта.

Теорема (Вієта)[ред.]

Сума коренів зведеного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів - вільному членові.

Доведення[ред.]

Додамо та перемножимо корені.

x_1 + x_2 = \frac {-p +\sqrt{p^2 - 4q}}{2} + \frac {-p -\sqrt{p^2 - 4q}}{2} = \frac {-2p}{2} = -p;

x_1 \cdot x_2 = \frac {-p +\sqrt{p^2 - 4q}}{2} \cdot \frac {-p -\sqrt{p^2 - 4q}}{2} =

=\frac {(-p)^2 - (\sqrt{p^2-4q})^2}{4} = \frac {p^2 - (p^2 - 4q)}{4} = \frac {4q}{4} = q.

Отже, x_1 + x_2 = -p; x_1 \cdot x_2 = q. Щ.Т.Д.

До цієї теореми є обернена теорема, яку ми теж доведемо.

Теорема (обернена до теореми Вієта)[ред.]

Якщо сума і добуток чисел m і n дорівнюють відповідно -p і q, то m і n - корені рівняння x^2 + px + q = 0.

Доведення[ред.]

Зробимо у рівнянні заміну: p = -(m+n); q = mn.

Отримаємо: x^2 - (m+n)x + mn = 0.

Зробимо підстановку: x = m.

Отримаємо:

m^2 - (m+n)m + mn = 0;

m^2 - m^2 - mn + mn = 0;

0 = 0.