Математичний аналіз/Вступ до аналізу

Основні означення та позначення

Спочатку визначимо символи, які будемо використовувати на протязі усього курсу математичного аналізу:

$\forall$ - квантор загальності, вживається для заміни слів “для будь-якого”;

$\exists$ - квантор існування, вживається для заміни слів “існує”;

$\exists !$ - „існує єдиний”;

$\Rightarrow$ - символ імплікації, запис означає: “якщо $\ A$, то $\ B$”;

$\Leftrightarrow$ - символ еквівалентності, запис $A \Leftrightarrow B$ , означає одночасне виконання $A \Rightarrow B$ і $B \Rightarrow A$ , або для того, щоб $\ A$ необхідно та достатньо, щоб $\ B$ ;

$\lor$ - символ диз’юнкції, запис $A \lor B$ , означає $\ A$ або $\ B$ ( не в строгому розумінні);

$\land$ - символ кон'юнкції, запис $A \land B$ , означає $\ A$ і $\ B$;

$\stackrel{\mathrm{def}}{=}$( $\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}$) - дорівнює за означенням (визначається за означенням);

$\mathbb N$ - множина натуральних чисел;

$\mathbb Z$ - множина цілих чисел;

$\mathbb Q$ - множина раціональних чисел;

$\mathbb R$- множина дійсних чисел;

$\mathbb C$- множина комплексних чисел;

$\mathbb X^+$ ( $\mathbb X^-$ ) - додавання до значків

Більшості з нас добре відомий „парадокс Рассела”, що пов’язаний як раз з множинами. Нагадаємо його: розглянемо множину усіх множин. нехай тоді для множини $\ M$ запис $\ P(M)$ означає, що $\ M$ не містить себе в якості елемента. Далі розглянемо сукупність $\ K={M|P(M)}$ . Якщо $\ K$ - множина, то істинно або $\ P(K)$ , або його заперечення. Але це суперечить побудові сукупності $\ K$ . Дійсно, якщо $\ P(K)$ - вірно, тобто $\ K$ не містить себе в якості елемента, то воно повинно міститись у $\ K$, згідно визначенню сукупності $\ K$, а тому є вірним також і заперечення $\ K$ . Таким чином ми одержали суперечність, точніше парадокс. До цього парадоксу призводить наївне визначення поняття множини, як сукупність будь-чого. В сучасний математиці фундаментальне поняття множини піддається ретельному аналізу, але ми углиблятися у нього не будемо. В існуючих математичних теоріях множина визначається як математичний об’єкт, що має відповідний набір властивостей, описання цих властивостей складає аксіоматику теорії множин. Ядром аксіоматики теорії множин виступає правила, за якими можна з множин будувати нові множини. Це дозволяє уникнути суперечностей, що можуть виникнути, а також забезпечити відповідно свободу оперування поняттям множина. Є декілька різних аксіоматик, але усі вони заперечують існування множини усіх підмножин, а також, множина усіх підмножин деякої множини є цілком слушною множиною.

Поняття функції

Під $\ (x,y)$ будемо позначати впорядковану пару, основною (визначальною) властивістю якої є: $(x_1,y_1)=(x_2,y_2) \Leftrightarrow (x_1=x_2)\land(y_1=y_2)$ . Елемент $\ x$ при цьому називається першою координатою (компонентою), а елемент $\ y$ - другою. Аналогічно визначається кортеж $\ (x_1,x_2,...,x_n)$ , що складається з $\ n$ координат.

Декартовим добутком множин $\ X$ та $\ Y$ називається множина

$X \times Y \stackrel {\mathrm{def}}{=} \{ (x,y)|x \in X \land y \in Y \}$.

Так само декартовим добутком $\ n$ множин $\ X_1,X_2,...,X_n$ називається множина $\ X_1 \times X_2 \times ... \times X_n$ . Якщо множини $\ X,Y$ співпадають ( ), то їх декартів добуток позначається як ( ).

Множина $\ \Gamma$ називається бінарним відношенням між елементами множин $\ X$ та $\ Y$, якщо $\ \Gamma \subset X \times Y$.

Упорядкована трійка множин $\ (X,Y,\Gamma)$ називається відображенням (або функцією) з множини $\ X$ в множину $\ Y$ , якщо $\ \Gamma$ є функціональним бінарним відношенням між елементами множин $\ X$ та $\ Y$ . При цьому множина $\ X$ називається областю відправлення, $\ Y$ - областю прибуття, а $\ \Gamma$ - графіком відображення.

Перша (друга) проекція графіка відображення $\ f$ називається областю або множиною визначення (областю або множиною значень) відображення $\ f$ та позначається $\ D_f ( E_f)$ .

Числові послідовності

Теорема 5. (Збіжність неспадної послідовності).

Нехай послідовність $\ (x_n)$ неспадна і $\ \sup x_n=a \in \overline{\mathbb{R}}$ . Тоді $\ \exist\lim_{n \to \infty} x_n = a$ .

Доведення  

Розглянемо випадок $\ a \in \mathbb{R}$ . Виберемо довільне число $\ \varepsilon >0$ . Тоді інтервал $\ (a-\varepsilon; a+\varepsilon)$ є околом точки $\ a= \sup x_n$ і за топологічною властивістю верхньої межі вона є точкою дотикання, з чого слідує, що

$\ (a-\varepsilon; a+\varepsilon) \cap \{x_n|n \in \mathbb{N} \}\ne \varnothing \Rightarrow$

$\ \Rightarrow \exists N: x_N \in (a-\varepsilon; a+\varepsilon) \Rightarrow$

$\ \Rightarrow \forall n\geqslant N$ $\ a-\varepsilon<x_N\leqslant x_n\leqslant a \Rightarrow$

$\ \Rightarrow |x_n-a|<\varepsilon \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x_n = a$ .

Повністю аналогічно проводиться доведення у випадку $\ a \in \{ \pm \infty \}$ .

Теорема доведена.

Наслідок 2. теорема Вейєрштрасса.

Кожна монотонна і обмежена послідовність має скінчену границю.