Метод Фур'є (відокремлення змінних)

Метод Фур'є - один з основних методів розв'язування диференціальних рівнянь з частинними похідними. І незважаючи на те, що він доволі громіздкий його знання в будь-якому разі необхідне щоб здати СРП.

Рівняння гіперболічного типу

На прикладі задачі про вільні коливання струни, кінці якої жорстко закріплені.

Ця умова означає, що на струну не діють зовнішні сили, і вона рухається під дією власної сили натягу, яка з'явилась через початкове відхилення, та початкової швидкості. Кінці не рухаються. В рівняннях це означає:

$\frac{\delta^2 u}{\delta t^2} = a^2 \frac{\delta^2 u}{\delta x^2}\ 0<x<l,\ t>0$ (1)

вільні коливання

$u(x,0)=\varphi(x),\ \left. \frac{\delta u}{\delta t} \right\vert_{t=0} =\psi(x) ,\ 0\leq x \leq l$ (2)

початкове положення та швидкість

$u(0,t)=u(l,t)=0,\ t\geq 0$ (3)

закріплені кінці.

Відокремлення змінних

Спочатку шукаємо частинні розв'язки рівняння (1), які нерівні тотожньо нулеві, і задовольняють умови (3), у вигляді:

$u(x,t)=X(x)T(t)$ (4)

Через формулу (4) метод назвали методом відокремлення змінних. Ця формула - один з ключових моментів.

Підставляємо (4) в (1), і отримуємо

$T''(t)X(x)=a^2 T(t) X''(x)$

Ділимо обидві частини на $a^2X(x)T(t)$, дістанемо

$\frac{T''(t)}{a^2T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}$ (5)

Для того, щоб функція $u(x,t)=X(x)T(t)$ була розв'язком рівняння (1) рівність (5) повинна задовольнятися тотожно, тобто для всіх значень незалежних змінних $0<x<l$. Права частина рівності (5) є функцією тільки змінної t, а ліва - тільки x. Фіксуючи деяке значення x, і змінюючи t (або навпаки), дістанемо, що права і ліва частини рівності (5) при зміні своїх аргументів зберігають стале значення.

$\frac{T''(t)}{a^2T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda$ (6)

де $\lambda$ - стала, яка для зручності вибирається зі знаком "мінус", при цьому нічого не припускається про її знак.

Із співвідношення (6) дістаємо рівняння для визначення функцій $X(x)$, та $T(t)$:

$X''(x)+\lambda X(x) = 0\ X(x)\not \equiv 0$ (7)

$T''(t)+a^2\lambda T(t) = 0\ T(t)\not \equiv 0$ (8)

Крайові умови (3) дають:

$u(0,t)=X(0)T(t) = 0$

$u(l,t)=X(l)T(t) = 0$

Звідси випливає, що $X(0)=X(l)=0$, бо інакше було б

$T(t)\equiv 0,\ u(x,t) \equiv 0$

але ж задача полягає у знаходженні нетривіальних розв'язків.

Таким чином для функції $X(x)$ одержали так звану задачу Штурма-Ліувілля (задачу про власні значення): знайти ті значення параметра $\lambda$, при яких існують нетривіальні розв'язки задачі:

$\begin{cases} X''(x)+\lambda X(x) =0, \\ X(0)=X(l)=0,\end{cases}$ (9)

а також знайти ці розв'язки. Такі значення параметра $\lambda$ називаються власними значеннями, а відповідні їм нетривіальні розв'язки - власними функціями задачі (9).

Розглянемо окремо випадки, коли параметр $\lambda$ від'ємний, дорівнює нулю, або додатній.

Випадок $\lambda<0$

Загальний розв'язок рівняння (7) має вигляд

$X(x)=C_1 e^{\sqrt{-\lambda} x} + C_2 e^{-\sqrt{-\lambda} x}$

Крайові умови дають

$X(0)=C_1+C_2 = 0,$

$X(l)=C_1 e^\alpha + C_2 e^{-\alpha} =0\ (\alpha=l\sqrt{-\lambda})$

тобто $C_1=-C_2$ і $C_1(e^\alpha+e^{-\alpha})=0$. Але в розглянутому вище випадку $\alpha$ - дійсне і додатне, а тому <maht>e^alpha - e^{-\alpha} \neq 0</math> Тому $C_1=0$ і $C_2 = 0$. Отже, $X(x)\equiv 0$ і, значить в цьому випадку задача не має нетривіальних розв'язків.

Випадок $\lambda=0$

В цьому випадку загальний розв'язок рівняння (7) має вигляд:

$X(x)=C_1x+C_2$

Крайові умови дають

$X(0)=C_2=0,$

$X(l)=C_1l=0,$

тобто $C_1=0$. Отже, $C_1=C_2=0$, і значить $X(x)\equiv 0$, тобто також не існує нетривіальних розв'язків.

Випадок $\lambda>0$

І нарешті останнє. Загальний розв'язок рівняння (7) в такому разі виглядає:

$X(x)=C_1 \sin \sqrt{\lambda} x + C_2 \cos \sqrt{\lambda} x$

Крайові умови дають

$X(0)=C_2=0$

$X(l)=C_1 \sin \sqrt{\lambda} l=0$

Якщо $C_1=0$, то і в цьому випадку буде $X(x)\equiv 0$. Ми шукаємо нетривіальні розв'язки, тому $C_1 \neq 0$ і

$\sin \sqrt{\lambda} l = 0$

або $\sqrt{\lambda} = \frac{\pi n}{l}$, де $n= \pm 1, \pm 2, \ldots , n\neq 0$, тому що за умовою $\lambda > 0$.

Отже, нетривіальні розв'язки задачі (9) можливі лише при значеннях

$\lambda = \lambda_n = \left( \frac{\pi n}{l} \right)^2$

Цим власним значенням відповідають власні функції

$X_n(x) = D_n \sin \frac{\pi n}{l}x,$ (10)

де $D_n$ - довільна стала.

Надалі будемо надавати n тільки додатні значення, оскільки при від'ємних n дістанемо розв'язки, які мають такий самий вигляд (адже $D_n$ - довільні сталі, які можуть мати будь-який знак).

Знаходимо T(t)

Підставивши знайдені значення $\lambda_n$ в (8), дістанемо рівняння

$T''_n(t) + \left( \frac{\pi n a}{l}\right)^2 T_n(t)=0$

загальний розв'язок якого має вигляд

$T_n(t) = C_n \sin \frac{\pi n a}{l}t + K_n \cos \frac{\pi n a}{l}t,\ n=1,2,\ldots$

де $C_n$ та $K_n$ - довільні сталі.

Частинні розв'язки

Підставивши (10) і (11) в (4) знайдемо частинні розв'язки рівняння (1), які задовольняють крайові умови (3). При цьому кожному значенню $n=1,2,\ldots$ буде відповідати розв'язок

$u_n(x,t)=\left( C_n \sin \frac{\pi n a}{l}t + K_n \cos \frac{\pi n a}{l} t \right) D_n \sin \frac{\pi n}{l} x$

Введемо позначення $A_n=C_n D_n,\, B_n=K_n D_n$. Тоді $u_n(x,t)$ можна записати у вигляді

$u_n(x,t)=\left( A_n \sin \frac{\pi n a}{l}t + B_n \cos \frac{\pi n a}{l} t \right) \sin \frac{\pi n}{l} x$ (12)

Функції $u_n(x,t)$ задовольняють початкові умови (2) вихідної задачі тільки для окремих випадків початкових функцій $\varphi(x)$ і $\psi(x)$.

За допомогою розв'язків (12) побудуємо розв'язок, який задовольняє початкові умови (2). Розв'язок рівняння (1), який задовольняє умови (2) і (3) шукатимемо у вигляді ряду:

$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \left( A_n \sin \frac{\pi n a}{l}t + B_n \cos \frac{\pi n a}{l} t \right) \sin \frac{\pi n}{l} x$ (13)

Якщо ряд (13) збігається рівномірно, і його можна двічі продиференціювати по x і по t почленно, то сума ряду буде задовольняти рівняння (1) і крайові умови (3). Поставимо вимогу, щоб функція $u(x,t)$, яка визначена рядом (13) задовольняла початкові умови (2):

$\begin{array}{l} \displaystyle u(x,0)=\varphi(x) = \sum_{n=1}^\infty B_n \sin \frac{\pi n}{l} x \\ \displaystyle \left. \frac{\delta u}{\delta t} \right\vert_{t=0} = \psi(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\pi n a}{l} A_n \sin \frac{\pi n}{l}x \end{array}$ (14)

Ряд Фур'є

Припустимо, що функції $\varphi(x)$ і $\psi(x)$ задовольняють умови розкладу в w:ряд Фур'є за синусами на проміжку (0,l). Тоді

$\varphi(x) =\sum_{n=1}^\infty \varphi_n \sin \frac{\pi n}{l} x,\ \varphi_n = \frac{2}{l} \int_0^l \varphi(\xi) \sin \frac{\pi n}{l} \xi d\xi,$ (15)

$\psi(x) =\sum_{n=1}^\infty \psi_n \sin \frac{\pi n}{l} x,\ \psi_n = \frac{2}{l} \int_0^l \psi(\xi) \sin \frac{\pi n}{l} \xi d\xi,$ (16)

Порівняння рядів (15) і (16) з формулами (14) показує, що для виконання початкових умов треба покласти

$\begin{array}{l} B_n = \varphi_n,\ n=1,2,\ldots \\ A_n = \frac{l}{\pi n a} \psi_n,\ n=1,2,\ldots \end{array}$ (17)

Таким чином розв'язок задачі (1)-(3), одержаний методом відокремлення змінних, має вигляд

$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \left[ \left( \frac{2}{\pi n a} \int_0^l \psi(\xi) \sin \frac{\pi n}{l} \xi d \xi \right)\sin \frac{\pi n a}{l} t + \left( \frac{2}{t} \int_0^l \varphi(\xi) \sin \frac{\pi n}{l} \xi d \xi \right) \cos \frac{\pi n a}{l} t \right] \sin \frac{\pi n}{n} x$ (18)

Це був розв'язок однорідного рівняння гіперболічного типу. І хоча це не всі класи рівнянь, але спосіб яким розв'язано це - найзагальніший, і входить у розв'язки багатьох інших. Проте людина, яка оцифровувала цю методичку вже здала сесію, і іде готуватись до наступної, тому продовження читайте з тридцятої сторінки методички зі списку літератури. Формула (19).

Література

1. Методичні розробки до вивчення нормативного курсу "Рівняння математичної фізики" (класифікація рівнянь другого порядку, формули Даламбера і Пуассона, метод відокремлення змінних) для студентів факультету кібернетики. Упоряд. С.О.Войцеховський, В.І.Гаркуша, М.П.Копистра та ін.- Київ, 2001 р. 65 с.