Ця стаття має технічний характер і використовується для обчислення варіації інтегралів Ґаусса. Також, результати цієї статті можна використати для лінеаризації рівняння Ейнштейна при вивченні слабкого гравітаційного поля в фізиці.
Деформація многовида[ред.]
Нехай нам дано гладкий многовид, який вміщено в охоплюючий евклідів простір. Виберемо деяку систему координат
на многовиді (або точніше, карту на деякому фрагменті многовида). Точки многовида виявляються «занумерованими» набором чисел
, тобто точка многовиду однозначно знаходиться за своїми координатами:

Розглянемо невелику гладку деформацію многовида (1), при якій наша система координат залишається «вмороженою» і деформується одночасно з многовидом. Координати
будь-якої точки
залишаються при цьому незмінними. А от положення точки
в евклідовому просторі змінюється (переходить в близьку точку
) на малу величину (варіацію зміщення), яка є функцією координат:

Також змінюються і відстані між сусідніми точками многовида, що можна повністю описати через варіацію метричного тензора:

Варіаційні тензори[ред.]
Одночасно з метричним тензором
змінюються і залежні від нього символи Крістофеля
та тензор Рімана
. Ми можемо розглядати варіації
які є просто деякими наборами маленьких чисел в обраній системі координат.
Покажемо, що ці варіації є тензорами. Для цього розглянемо дві різні «вморожені» системи координат
і
. При деформації усі ці числа залишаються прив'язаними до точок многовиду, а тому залишаються сталими одночасно з усіма похідними переходу між цими системами координат:

Тому із формул для перетворень величин:



беручи варіацію від лівої та правої частин рівнянь (5) і враховуючи (4) одержуємо, що варіації
є тензорами.
Зв'язок між варіаціями метричного тензора, символів Крістофеля і тензора Рімана[ред.]
Розпишемо коваріантну похідну від варіації метричного тензора і врахуємо, що (як і самі координати) частинні похідні
комутують зі значком взяття варіації
:

звідки виражаємо варіацію від частинної похідної
метричного тензора:

і варіацію від символа Крістофеля першого роду:


Користуючись цією формулою, легко знайти:

ліва частина цього рівняння дорінює:

комбінуючи формули (9) і (10), знаходимо варіацію символів Крістофеля:

Тепер перейдемо до варіації тензора Рімана. При взятті варіації формули

враховуємо, що як і раніше, частинна похідна
комутує зі значком варіації
:

![{\displaystyle \left[\partial _{j}\left(\delta \Gamma _{ki}^{s}\right)+\Gamma _{jp}^{s}\delta \Gamma _{ki}^{p}-\Gamma _{jk}^{p}\delta \Gamma ^{s}{pi}-\Gamma _{ji}^{p}\delta \Gamma _{kp}^{s}\right]-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57be7439fb1b92d3348b84d92b01e3ab569b235)
![{\displaystyle [\partial _{k}\left(\delta \Gamma _{ji}^{s}\right)+\Gamma _{kp}^{s}\delta \Gamma _{ji}^{p}-\Gamma _{kj}^{p}\delta \Gamma _{pi}^{s}-\Gamma _{ki}^{p}\delta \Gamma _{jp}^{s}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7426906825ac6c6c8dbfcd6b3c8ea1d61aa9d7d)
в останньому перетворенні ми перегрупували доданки в дві групи, взяті у квадратні дужки. Крім того, в кожну із цих груп ми додали третім доданком однаковий член
— очевидно результат від такого додавання не зміниться, оскільки групи віднімаються одна від одної. Кожна з цих груп є коваріатною похідною тензора
, тому формулу (13) можна записати простіше:

Зауважимо, що формули (11) і (14) є тензорними.
Інтеграл з варіацією символа Крістофеля[ред.]
Розглянемо наступний інтеграл по деякій області
многовида:

В цій формулі величина
є довільним тензором, а тому її згортка з варіацією символа Крістофеля є скаляром. Інтегрування поширюється на деяку область многовида.
Підставимо замість
формулу (11), тоді підінтегральний вираз запишеться так:


тут при переході до останньої рівності ми розкрили дужки і перейменували індекси в перших двох доданках.
Позначимо

і проінтегруємо інтеграл (14) частинами:

Перший інтеграл є інтегралом від дивергенції вектора, а тому його можна перетворити в інтеграл по межі
області, скориставшись теоремою Остроградського-Ґаусса. Остаточно маємо:

де
— одиничний вектор нормалі до підмноговида
.
Інтеграл з варіацією тензора Рімана[ред.]
Аналогічно розглядається інтеграл з варіацією тензора Рімана:

де
— довільний тензор.
Застосовуємо формулу (14) для перетворення підінтегрального виразу:

Вводимо позначення:

і нарешті маємо:

Останній інтеграл можна при бажанні далі перетворити за формулою (19).