Допоміжні інтеграли з варіаціями

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до: навігація, пошук

Ця стаття має технічний характер і використовується для обчислення варіації інтегралів Ґаусса. Також, результати цієї статті можна використати для лінеаризації рівняння Ейнштейна при вивченні слабкого гравітаційного поля в фізиці.

Деформація многовида[ред.]

Нехай нам дано гладкий многовид, який вміщено в охоплюючий евклідів простір. Виберемо деяку систему координат на многовиді (або точніше, карту на деякому фрагменті многовида). Точки многовида виявляються «занумерованими» набором чисел , тобто точка многовиду однозначно знаходиться за своїми координатами:

Розглянемо невелику гладку деформацію многовида (1), при якій наша система координат залишається «вмороженою» і деформується одночасно з многовидом. Координати будь-якої точки залишаються при цьому незмінними. А от положення точки в евклідовому просторі змінюється (переходить в близьку точку ) на малу величину (варіацію зміщення), яка є функцією координат:

Також змінюються і відстані між сусідніми точками многовида, що можна повністю описати через варіацію метричного тензора:

Варіаційні тензори[ред.]

Одночасно з метричним тензором змінюються і залежні від нього символи Крістофеля та тензор Рімана . Ми можемо розглядати варіації які є просто деякими наборами маленьких чисел в обраній системі координат.

Покажемо, що ці варіації є тензорами. Для цього розглянемо дві різні «вморожені» системи координат і . При деформації усі ці числа залишаються прив'язаними до точок многовиду, а тому залишаються сталими одночасно з усіма похідними переходу між цими системами координат:

Тому із формул для перетворень величин:

беручи варіацію від лівої та правої частин рівнянь (5) і враховуючи (4) одержуємо, що варіації є тензорами.

Зв'язок між варіаціями метричного тензора, символів Крістофеля і тензора Рімана[ред.]

Розпишемо коваріантну похідну від варіації метричного тензора і врахуємо, що (як і самі координати) частинні похідні комутують зі значком взяття варіації :

звідки виражаємо варіацію від частинної похідної метричного тензора:

і варіацію від символа Крістофеля першого роду:

Користуючись цією формулою, легко знайти:

ліва частина цього рівняння дорінює:

комбінуючи формули (9) і (10), знаходимо варіацію символів Крістофеля:

Тепер перейдемо до варіації тензора Рімана. При взятті варіації формули

враховуємо, що як і раніше, частинна похідна комутує зі значком варіації :

в останньому перетворенні ми перегрупували доданки в дві групи, взяті у квадратні дужки. Крім того, в кожну із цих груп ми додали третім доданком однаковий член  — очевидно результат від такого додавання не зміниться, оскільки групи віднімаються одна від одної. Кожна з цих груп є коваріатною похідною тензора , тому формулу (13) можна записати простіше:

Зауважимо, що формули (11) і (14) є тензорними.

Інтеграл з варіацією символа Крістофеля[ред.]

Розглянемо наступний інтеграл по деякій області многовида:

В цій формулі величина є довільним тензором, а тому її згортка з варіацією символа Крістофеля є скаляром. Інтегрування поширюється на деяку область многовида. Підставимо замість формулу (11), тоді підінтегральний вираз запишеться так:

тут при переході до останньої рівності ми розкрили дужки і перейменували індекси в перших двох доданках.

Позначимо

і проінтегруємо інтеграл (14) частинами:

Перший інтеграл є інтегралом від дивергенції вектора, а тому його можна перетворити в інтеграл по межі області, скориставшись теоремою Остроградського-Ґаусса. Остаточно маємо:

де  — одиничний вектор нормалі до підмноговида .

Інтеграл з варіацією тензора Рімана[ред.]

Аналогічно розглядається інтеграл з варіацією тензора Рімана:

де  — довільний тензор. Застосовуємо формулу (14) для перетворення підінтегрального виразу:

Вводимо позначення:

і нарешті маємо:

Останній інтеграл можна при бажанні далі перетворити за формулою (19).

Шаблон:Без категорій