Нехай
L
1
{\displaystyle L_{1}}
L
2
{\displaystyle L_{2}}
L
1
=
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
=
0
,
A
1
2
+
B
1
2
>
0
,
{\displaystyle L_{1}=A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad \quad A_{1}^{2}+B_{1}^{2}>0,}
L
2
=
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
=
0
,
A
2
2
+
B
2
2
>
0
{\displaystyle L_{2}=A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\quad \quad A_{2}^{2}+B_{2}^{2}>0}
Кут між прямими
L
1
,
L
2
^
{\displaystyle {\widehat {L_{1},L_{2}}}}
n
1
=
{
A
1
B
1
}
{\displaystyle n_{1}=\{A_{1}B_{1}\}}
n
2
=
{
A
2
B
2
}
{\displaystyle n_{2}=\{A_{2}B_{2}\}}
В загальному,
cos
ϕ
=
(
n
1
,
n
2
)
|
n
1
|
⋅
|
n
2
|
=
A
1
A
2
+
B
1
B
2
A
1
2
+
B
1
2
A
2
2
+
B
2
2
.
{\displaystyle \cos \phi ={\frac {(n_{1},n_{2})}{|n_{1}|\cdot |n_{2}|}}={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}}.}
--91.243.4.220 13:33, 27 липня 2021 (UTC)
Метод тотожних перетворень
Сутність методу
Метод аналогій
Вирішення задачі шляхом зведення її до більш простої за допомогою тотожних перетворень
Метод моделювання
Вирішення задачі методом, що застосовувався раніше у тематично близьких задачах
Метод декомпозиції
Розбиття задачі на декілька більш простих задач (наприклад, динамічне програмування)
Метод від супротивного
Вирішення задачі шляхом обґрунтування невірності протилежного до доказуваного твердження
Метод уведення допоміжних об'єктів
Вирішення задач за допомогою додаткових побудов у геометрії; уведення нових змінних у алгебрі та теорії чисел
Метод редукції
Вирішення задачі у порядку послідовності від проміжного до фінального твердження
Метод зміни тематики завдання
Вирішення задачі з одного розділу за допомогою інструментарію іншого розділу
Метод узагальнення твердження
Вирішення задачі шляхом доказу більш загальному, ніж у її умові, твердження. Наприклад, математична індукція.
Інтуїтивний метод
Вирішення задачі посередництвом розгляду часткових випадків, відгадування на їх основі відповіді або шляху до рішення
Метод оцінювання й повного перебору
Встановлення межі змін розглядуваної у задачі величини із наступним розглядом усіх можливих випадків. Як у задачах із параметрами, наприклад
Метод пошуку оригінальних рішень
Вирішення задачі шляхом віднаходження алгоритму її вирішення, який не є популярним
--91.243.4.220 13:33, 27 липня 2021 (UTC)
Лінійний оператор
O
{\displaystyle {\mathcal {O}}}
O
O
∗
=
O
∗
O
.
{\displaystyle {\mathcal {OO}}^{*}={\mathcal {O}}^{*}{\mathcal {O}}.}
A
{\displaystyle A}
A
A
∗
=
A
∗
A
.
{\displaystyle AA^{*}=A^{*}A.}
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
U
{\displaystyle U}
U
∗
U
=
U
U
∗
=
E
{\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=E}
U
U
∗
=
U
∗
U
=
E
.
{\displaystyle {\mathcal {UU}}^{*}={\mathcal {U}}^{*}{\mathcal {U}}={\mathcal {E}}.}
--91.243.4.220 13:33, 27 липня 2021 (UTC)
Лінійний оператор
O
{\displaystyle {\mathcal {O}}}
(
O
(
v
1
)
,
O
(
v
2
)
)
=
(
v
1
,
v
2
)
.
{\displaystyle ({\mathcal {O}}(v_{1}),{\mathcal {O}}(v_{2}))=(v_{1},v_{2}).}
A
.
{\displaystyle A.}
O
∗
{\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}}
A
T
,
{\displaystyle A^{T},}
A
T
A
=
E
{\displaystyle A^{T}A=E}
O
∗
O
=
E
,
{\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}{\mathcal {O}}={\mathcal {E}},}
O
{\displaystyle {\mathcal {O}}}
O
−
1
.
{\displaystyle {\mathcal {O}}^{-1}.}
--91.243.4.220 13:33, 27 липня 2021 (UTC)
Нехай характеристичні корені нормального
O
{\displaystyle {\mathcal {O}}}
a
i
∈
R
{\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }
R
n
=
V
a
1
⊕
V
a
2
⊕
.
.
.
⊕
V
a
l
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=V_{a_{1}}\oplus V_{a_{2}}\oplus ...\oplus V_{a_{l}},}
V
a
i
(
i
=
1
,
l
¯
)
{\displaystyle V_{a_{i}}\,\,(i={\overline {1,l}})}
--91.243.4.220 13:33, 27 липня 2021 (UTC)
- Якщо
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
b
i
j
{\displaystyle b_{ij}}
c
i
j
=
a
i
j
b
i
j
{\displaystyle c_{ij}=a_{ij}b_{ij}}
~ Нехай
c
i
j
=
a
i
j
b
i
j
.
{\displaystyle c_{ij}=a_{ij}b_{ij}.}
φ
=
∑
i
,
j
=
1
n
c
i
j
ξ
i
ξ
j
.
{\displaystyle \varphi =\sum _{i,j=1}^{n}c_{ij}\xi _{i}\xi _{j}.}
φ
=
∑
i
,
j
=
1
n
a
i
j
b
i
j
ξ
i
ξ
j
=
∑
i
,
j
=
1
n
b
i
j
ξ
i
ξ
j
(
∑
k
=
1
n
a
k
χ
i
k
χ
j
k
)
=
∑
k
=
1
n
a
k
(
∑
i
,
j
=
1
n
b
i
j
ξ
i
χ
i
k
ξ
j
χ
j
k
)
,
{\displaystyle \varphi =\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\xi _{i}\xi _{j}=\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}\xi _{i}\xi _{j}(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\chi _{ik}\chi _{jk})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}(\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}\xi _{i}\chi _{ik}\xi _{j}\chi _{jk}),}
χ
i
j
{\displaystyle \chi _{ij}}
Нехай
ξ
i
χ
i
k
=
η
i
k
.
{\displaystyle \xi _{i}\chi _{ik}=\eta _{i}^{k}.}
ψ
=
∑
k
=
1
n
a
k
ψ
k
,
{\displaystyle \psi =\sum _{k=1}^{n}a_{k}\psi _{k},}
ψ
k
=
∑
i
,
j
=
1
n
b
i
j
η
i
k
η
j
k
.
{\displaystyle \psi _{k}=\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}\eta _{i}^{k}\eta _{j}^{k}.}
η
i
k
{\displaystyle \eta _{i}^{k}}
k
,
j
=
1
,
n
¯
{\displaystyle k,j={\overline {1,n}}}
∑
j
=
1
n
ξ
j
2
≠
0.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\xi _{j}^{2}\neq 0.}
∑
i
,
k
=
1
n
(
η
i
k
)
2
=
∑
i
,
k
=
1
n
(
ξ
i
χ
i
k
)
2
=
∑
i
=
1
n
ξ
i
2
(
∑
k
=
1
n
χ
i
k
2
)
=
∑
i
=
1
n
ξ
i
2
.
{\displaystyle \sum _{i,k=1}^{n}(\eta _{i}^{k})^{2}=\sum _{i,k=1}^{n}(\xi _{i}\chi _{ik})^{2}=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}(\sum _{k=1}^{n}\chi _{ik}^{2})=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}.}
Оскільки форма
∑
i
,
j
=
1
n
b
i
j
η
i
η
j
{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}\eta _{i}\eta _{j}}
k
,
{\displaystyle k,}
ψ
k
=
0.
{\displaystyle \psi _{k}=0.}
φ
>
0.
{\displaystyle \varphi >0.}
--91.243.4.220 13:33, 27 липня 2021 (UTC)
- Якщо
r
1
,
r
2
,
.
.
.
,
r
n
{\displaystyle r_{1},r_{2},...,r_{n}}
a
i
j
,
{\displaystyle a_{ij},}
∑
i
=
1
n
|
r
i
|
2
≤
∑
i
,
j
=
1
n
|
a
i
j
|
2
;
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|r_{i}|^{2}\leq \sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^{2};}
a
i
j
.
{\displaystyle a_{ij}.}
~ Нехай
U
{\displaystyle U}
U
∗
A
U
=
T
{\displaystyle U^{*}AU=T}
T
=
(
r
1
t
12
.
.
.
t
1
n
0
r
2
.
.
.
t
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
r
n
)
,
{\displaystyle T={\begin{pmatrix}r_{1}&t_{12}&...&t_{1n}\\0&r_{2}&...&t_{2n}\\...&...&...&...\\0&0&...&r_{n}\end{pmatrix}},}
r
i
{\displaystyle r_{i}}
A
.
{\displaystyle A.}
A
{\displaystyle A}
U
{\displaystyle U}
T
{\displaystyle T}
T
T
∗
=
(
U
∗
A
U
)
(
U
∗
A
∗
U
)
=
U
∗
A
A
∗
U
,
t
r
T
T
∗
=
t
r
(
U
∗
A
A
∗
U
)
=
t
r
(
U
−
1
A
A
∗
U
)
=
t
r
A
A
∗
,
{\displaystyle TT^{*}=(U^{*}AU)(U^{*}A^{*}U)=U^{*}AA^{*}U,\quad \mathrm {tr} \,TT^{*}=\mathrm {tr} (U^{*}AA^{*}U)=\mathrm {tr} (U^{-1}AA^{*}U)=\mathrm {tr} \,AA^{*},}
однак
t
r
A
A
∗
=
∑
i
,
j
=
1
n
|
a
i
j
|
2
{\displaystyle \mathrm {tr} \,AA^{*}=\sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}
t
r
T
T
∗
=
∑
n
|
r
i
|
2
+
∑
i
<
j
|
m
i
j
|
2
,
{\displaystyle \mathrm {tr} \,TT^{*}=\sum ^{n}|r_{i}|^{2}+\sum _{i<j}|m_{ij}|^{2},}
∑
i
=
1
n
|
r
i
|
2
≤
∑
i
,
j
n
|
a
i
j
|
2
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|r_{i}|^{2}\leq \sum _{i,j}^{n}|a_{ij}|^{2}.}
t
i
j
=
0
,
{\displaystyle t_{ij}=0,}
T
{\displaystyle T}
A
{\displaystyle A}
91.243.4.220 13:33, 27 липня 2021 (UTC)
Матриці й детермінанти вже вживалися стародавніми цивілізаціями[1]. Скажімо, у другому столітті до нашої ери у Вавилоні вивчали лінійні рівняння, а у Китаї використовували матриці для вирішення простих систем лінійних рівнянь від двох чи трьох змінних. Лише наприкінці 17 століття ці ідеї почали розповсюджуватися. Теорія лінійних рівнянь та їх перетворень, тобто лінійна алгебра, має велике значення у теоретичній та прикладній математиці. Вона являє собою частину більш загальної теорії - теорії поліноміальних рівнянь й перетворень. Лінійна алгебра узагальнюється на випадок довільних поліномів (не обов'язково лінійних). Варто зауважити, що визначник також узагальнюється: лінійна система рівнянь з двома невідомими
(
a
x
+
b
y
=
0
)
∧
(
c
x
+
d
y
=
0
)
{\displaystyle (ax+by=0)\land (cx+dy=0)}
має ненульове рішення лише у випадку рівності визначника нулю:
a
x
d
y
−
b
y
c
x
=
0
,
{\displaystyle axdy-bycx=0,}
a
,
b
,
c
,
d
∈
k
.
{\displaystyle a,b,c,d\in k.}
(
a
x
2
+
b
x
y
+
c
y
2
=
0
)
∧
(
d
x
2
+
f
x
y
+
g
y
2
=
0
)
{\displaystyle (ax^{2}+bxy+cy^{2}=0)\land (dx^{2}+fxy+gy^{2}=0)}
вирішувана за
(
2
×
2
)
{\displaystyle (2\times 2)}
a
2
g
2
−
b
c
d
f
+
b
2
d
g
−
2
a
c
d
g
+
a
c
f
2
−
a
b
f
g
+
c
2
d
2
=
0.
{\displaystyle a^{2}g^{2}-bcdf+b^{2}dg-2acdg+acf^{2}-abfg+c^{2}d^{2}=0.}
{
f
1
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
0
,
f
2
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
0
.
.
.
f
n
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
0
,
{\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0,\\f_{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0\\...\\f_{n}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0,\end{cases}}}
або, за іншого її запису,
f
i
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
∑
i
1
,
.
.
.
,
i
d
=
1
n
f
i
i
1
,
i
2
,
.
.
.
,
i
d
x
i
1
x
i
2
⋅
⋅
⋅
x
i
d
,
{\displaystyle f_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\sum _{i_{1},...,i_{d}=1}^{n}f_{i}^{i_{1},i_{2},...,i_{d}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdot \cdot \cdot x_{i_{d}},}
R
n
|
d
{
f
1
,
f
2
,
.
.
.
,
f
n
}
=
0.
{\displaystyle R_{n|d}\{f_{1},f_{2},...,f_{n}\}=0.}
R
n
|
1
{\displaystyle R_{n|1}}
Лінійна алгебра вивчає відображення
V
1
→
V
2
{\displaystyle V_{1}\to V_{2}}
m
{\displaystyle m}
n
,
{\displaystyle n,}
f
:
(
x
1
x
2
.
.
.
x
n
)
↦
(
f
11
x
1
+
f
12
x
2
+
.
.
.
+
f
1
n
x
n
f
21
x
1
+
f
22
x
2
+
.
.
.
+
f
2
n
x
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
f
m
1
x
1
+
f
n
2
x
2
+
.
.
.
+
f
m
n
x
n
)
.
{\displaystyle f:{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}f_{11}x_{1}+f_{12}x_{2}+...+f_{1n}x_{n}\\f_{21}x_{1}+f_{22}x_{2}+...+f_{2n}x_{n}\\.............\\f_{m1}x_{1}+f_{n2}x_{2}+...+f_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}.}
Ця система відповідає випадку
m
=
n
.
{\displaystyle m=n.}
У нелінійній алгебрі вивчаються поліноміальні відображення
f
:
(
x
1
x
2
.
.
.
x
n
)
↦
(
f
1
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
f
2
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
f
m
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
)
.
{\displaystyle f:{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\...\\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n})\\...........\\f_{m}(x_{1},x_{2},...,x_{n})\end{pmatrix}}.}
Якщо перша система вирішувана, ядро лінійного відображення
f
i
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
=
0
,
{\displaystyle f_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0,}
Джерело:https://almerja.net/reading.php?idm=20542
--91.243.4.220 13:34, 27 липня 2021 (UTC)
