Метод Фур'є (відокремлення змінних)

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Метод Фур'є - один з основних методів розв'язування диференціальних рівнянь з частинними похідними. І незважаючи на те, що він доволі громіздкий його знання в будь-якому разі необхідне щоб здати СРП.

Рівняння гіперболічного типу[ред.]

На прикладі задачі про вільні коливання струни, кінці якої жорстко закріплені.

Ця умова означає, що на струну не діють зовнішні сили, і вона рухається під дією власної сили натягу, яка з'явилась через початкове відхилення, та початкової швидкості. Кінці не рухаються. В рівняннях це означає:

(1)

вільні коливання

(2)

початкове положення та швидкість

(3)

закріплені кінці.

Відокремлення змінних[ред.]

Спочатку шукаємо частинні розв'язки рівняння (1), які нерівні тотожньо нулеві, і задовольняють умови (3), у вигляді:

(4)

Через формулу (4) метод назвали методом відокремлення змінних. Ця формула - один з ключових моментів.

Підставляємо (4) в (1), і отримуємо

Ділимо обидві частини на , дістанемо

(5)

Для того, щоб функція була розв'язком рівняння (1) рівність (5) повинна задовольнятися тотожно, тобто для всіх значень незалежних змінних . Права частина рівності (5) є функцією тільки змінної t, а ліва - тільки x. Фіксуючи деяке значення x, і змінюючи t (або навпаки), дістанемо, що права і ліва частини рівності (5) при зміні своїх аргументів зберігають стале значення.

(6)

де - стала, яка для зручності вибирається зі знаком "мінус", при цьому нічого не припускається про її знак.

Із співвідношення (6) дістаємо рівняння для визначення функцій , та :

(7)

(8)


Крайові умови (3) дають:

Звідси випливає, що , бо інакше було б

але ж задача полягає у знаходженні нетривіальних розв'язків.

Таким чином для функції одержали так звану задачу Штурма-Ліувілля (задачу про власні значення): знайти ті значення параметра , при яких існують нетривіальні розв'язки задачі:

(9)

а також знайти ці розв'язки. Такі значення параметра називаються власними значеннями, а відповідні їм нетривіальні розв'язки - власними функціями задачі (9).

Розглянемо окремо випадки, коли параметр від'ємний, дорівнює нулю, або додатній.

Випадок [ред.]

Загальний розв'язок рівняння (7) має вигляд

Крайові умови дають

тобто і . Але в розглянутому вище випадку - дійсне і додатне, а тому <maht>e^alpha - e^{-\alpha} \neq 0</math> Тому і . Отже, і, значить в цьому випадку задача не має нетривіальних розв'язків.

Випадок [ред.]

В цьому випадку загальний розв'язок рівняння (7) має вигляд:

Крайові умови дають

тобто . Отже, , і значить , тобто також не існує нетривіальних розв'язків.

Випадок [ред.]

І нарешті останнє. Загальний розв'язок рівняння (7) в такому разі виглядає:

Крайові умови дають

Якщо , то і в цьому випадку буде . Ми шукаємо нетривіальні розв'язки, тому і

або , де , тому що за умовою .

Отже, нетривіальні розв'язки задачі (9) можливі лише при значеннях

Цим власним значенням відповідають власні функції

(10)

де - довільна стала.

Надалі будемо надавати n тільки додатні значення, оскільки при від'ємних n дістанемо розв'язки, які мають такий самий вигляд (адже - довільні сталі, які можуть мати будь-який знак).


Знаходимо T(t)[ред.]

Підставивши знайдені значення в (8), дістанемо рівняння

загальний розв'язок якого має вигляд

де та - довільні сталі.

Частинні розв'язки[ред.]

Підставивши (10) і (11) в (4) знайдемо частинні розв'язки рівняння (1), які задовольняють крайові умови (3). При цьому кожному значенню буде відповідати розв'язок

Введемо позначення . Тоді можна записати у вигляді

(12)

Функції задовольняють початкові умови (2) вихідної задачі тільки для окремих випадків початкових функцій і .

За допомогою розв'язків (12) побудуємо розв'язок, який задовольняє початкові умови (2). Розв'язок рівняння (1), який задовольняє умови (2) і (3) шукатимемо у вигляді ряду:

(13)

Якщо ряд (13) збігається рівномірно, і його можна двічі продиференціювати по x і по t почленно, то сума ряду буде задовольняти рівняння (1) і крайові умови (3). Поставимо вимогу, щоб функція , яка визначена рядом (13) задовольняла початкові умови (2):

(14)

Ряд Фур'є[ред.]

Припустимо, що функції і задовольняють умови розкладу в w:ряд Фур'є за синусами на проміжку (0,l). Тоді

(15)

(16)

Порівняння рядів (15) і (16) з формулами (14) показує, що для виконання початкових умов треба покласти

(17)

Таким чином розв'язок задачі (1)-(3), одержаний методом відокремлення змінних, має вигляд

(18)

Це був розв'язок однорідного рівняння гіперболічного типу. І хоча це не всі класи рівнянь, але спосіб яким розв'язано це - найзагальніший, і входить у розв'язки багатьох інших. Проте людина, яка оцифровувала цю методичку вже здала сесію, і іде готуватись до наступної, тому продовження читайте з тридцятої сторінки методички зі списку літератури. Формула (19).

Література[ред.]

  1. Методичні розробки до вивчення нормативного курсу "Рівняння математичної фізики" (класифікація рівнянь другого порядку, формули Даламбера і Пуассона, метод відокремлення змінних) для студентів факультету кібернетики. Упоряд. С.О.Войцеховський, В.І.Гаркуша, М.П.Копистра та ін.- Київ, 2001 р. 65 с.