Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей

Найпростіші тригонометричні нерівності

Найпростішими тригонометричними нерівностями будемо називати нерівності вигляду $\sin x>a$ , $\sin x<a$ , $\cos x>a$ , $\cos x<a$ , $tgx>a$ , $tgx<a$ , $ctgx>a$ , $ctgx<a$ .

Дослідимо наявність розв’язків нерівності $\sin x>a$ .

Нехай $a>1$ . Тоді нерівність розв’язків не має, оскільки $\sin x\leq 1$ .

Нехай $\left\vert a\right\vert <1$ . Розглянемо тригонометричне коло. Як видно з малюнка, $\sin x$ буде приймати значення, більші за $a$ , якщо кут $x$ буде лежати в межах від $x_{1}$ до $x_{2}$ , або в проміжку від $x_{1}+2\pi$ до $x_{2}+2\pi$ і т.д. від $x_{1}+2\pi n$ до $x_{2}+2\pi n$ , $n\in \mathbb {Z}$ . Залишилося з’ясувати, які значення мають $x_{1}$ та $x_{2}$ . Для цього потрібно розв’язати відповідне рівняння $\sin x=a$ , яке має корені: $x_{1}=\arcsin a+2\pi n$ та $x_{2}=\pi -\arcsin a+2\pi n$ , $n\in \mathbb {Z}$ . Отже, нерівність $\sin x>a$ задовольняють кути $x$ з проміжку $\left(\arcsin a+2\pi n;\pi -\arcsin a+2\pi n\right)$ , $n\in \mathbb {Z}$ .

При $a<-1$ нерівність $\sin x>a$ задовольняє будь-яке число $x\in \mathbb {R}$ , оскільки завжди $\sin x\geq -1$ .

При $a=-1$ дана нерівність має розв’язком будь-яке дійсне число, крім чисел виду $x=-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n$ , $n\in \mathbb {Z}$ (поясніть це самостійно).

Дослідимо на наявність розв’язків нерівність $\sin x<a$ .

Нехай $a>1$ . Тоді нерівність має розв’язком будь-яке $x\in \mathbb {R}$ (поясніть це самостійно).

При $a=1$ нерівність матиме розв’язком будь-яке дійсне число $x$ , крім чисел виду $x={\frac {\pi }{2}}+2\pi n$ , $n\in \mathbb {Z}$ .

Нехай $\left\vert a\right\vert <1$ . Розглянемо тригонометричне коло. Як видно з малюнка, $\sin x$ буде приймати значення, менші за $a$ , якщо кут $x$ буде лежати в межах від $x_{2}+2\pi k$ до $x_{1}+2\pi k$ , $k\in \mathbb {Z}$ . Зрозуміло, що за $x_{2}$ в цьому випадку потрібно взяти не $\pi -\arcsin a$ , а $-\pi -\arcsin a$ . Тоді множина розв’язків запишеться у вигляді: $\left(-\pi -\arcsin a+2\pi k;\arcsin a+2\pi k\right)$ , $k\in \mathbb {Z}$ .

При $a<-1$ нерівність коренів не має, позаяк при будь-якому $x\in \mathbb {R}$ $\sin x\geq -1$ .

Аналогічно можна розв’язати й інші найпростіші тригонометричні нерівності. Залишимо це на самостійне опрацювання, наведемо лише таблицю розв’язків найпростіших тригонометричних нерівностей:

Вигляд нерівності	Множина розв’язків нерівності ( $n\in \mathbb {Z}$ )
$\sin x>a$ , де $\left\vert a\right\vert <1$	$x\in \left(\arcsin a+2\pi n;\pi -\arcsin a+2\pi n\right)$
$\sin x<a$ , де $\left\vert a\right\vert <1$	$x\in \left(-\pi -\arcsin a+2\pi n;\arcsin a+2\pi n\right)$
$\cos x>a$ , де $\left\vert a\right\vert <1$	$x\in \left(-\arccos a+2\pi n;\arccos a+2\pi n\right)$
$\cos x<a$ , де $\left\vert a\right\vert <1$	$x\in \left(\arccos a+2\pi n;2\pi -\arccos a+2\pi n\right)$
$tgx>a$	$x\in \left(arctga+\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)$
$tgx<a$	$x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;arctga+2\pi n\right)$
$ctgx>a$	$x\in \left(\pi n;arcctga+\pi n\right)$
$ctgx<a$	$x\in \left(arcctga+\pi n;\pi +\pi n\right)$

Метод інтервалів

Відомо, що коли функція $F(x)$ є неперервна на проміжку $X$ і не перетворюється на ньому в нуль, то вона зберігає на цьому проміжку знак. На цій властивості неперервних функцій ґрунтується метод інтервалів – універсальний метод розв’язування різних видів нерівностей. Суть методу полягає в тому, щоб визначити нулі рівняння $F(x)=0$ на області визначення функції $F(x)$ та з’ясувати знаки, яких набуває функція на кожному з утворених проміжків.

При розв’язуванні тригонометричних нерівностей доцільно застосовувати алгоритм модифікованого методу інтервалів:

Звести нерівність до вигляду $F(x)>0$ .
Встановити область визначення функції $F(x)$ .
Знайти найменший додатній період функції $F(x)$ (він потрібний для запису розв’язку).
Знайти нулі функції $F(x)$ , розв’язавши відповідне рівняння $F(x)=0$ /
На одиничному колі (або числовій прямій) відмітити область визначення та нулі функції $F(x)$ в межах одного періоду.
Виділити інтервали знакосталості та встановити знак функції $F(x)$ на кожному з них.
Записати відповідь згідно знаку нерівності.

Приклад 1. Розв’язати нерівність $\cos 2x\leq \cos 3x-\cos 4x$ .

Розв’язання. Перенесемо всі доданки в ліву частину нерівності: $\cos 2x-\cos 3x+\cos 4x\leq 0$ . Так як всі доданки визначені при будь-якому $x$ , то множина визначення виразу – $\mathbb {R}$ . Щодо періодів, то $T_{1}=\pi ,T_{2}={\frac {2}{3}}\pi ,T_{3}={\frac {\pi }{2}}$ . Найменший додатній період буде рівний найменшому спільному кратному цих чисел – $2\pi$ . Щоб знайти нулі, розв’яжемо відповідне рівняння: $\cos 2x-\cos 3x+\cos 4x=0$ . Звідси $2\cos 3x\cos x-\cos 3x=0$ , тобто $\cos 3x\left(2\cos x-1\right)=0$ . Зрозуміло, що множина розв’язків рівняння тотожна множині розв’язків сукупності

$\cos 3x=0$ , звідки $x={\frac {\pi }{6}}+{\frac {n\pi }{3}}$ , $n\in \mathbb {Z}$ і одночасно

$\cos x={\frac {1}{2}}$ , звідки $x=\pm {\frac {\pi }{3}}+2\pi k$ , $k\in \mathbb {Z}$ .

Зобразимо нулі виразу на одиничному колі (в межах одного періоду виразу).

Як бачимо, нашу нерівність задовольняють числа

$x\in \left[{\frac {\pi }{6}}+2\pi n;{\frac {\pi }{3}}+2\pi n\right]\cup \left[{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {5}{6}}\pi +2\pi n\right]\cup \left[{\frac {7}{6}}\pi +2\pi n;{\frac {3}{2}}\pi +2\pi n\right]\cup \left[{\frac {5}{3}}\pi +2\pi n;{\frac {11}{6}}\pi +2\pi n\right]$ , $n\in \mathbb {Z}$ .

Вправи

Розв’яжіть нерівність:

132. $\sin x>-{\frac {1}{2}}$ .

133. $ctgx>-3$ .

134. $\sin x^{2}\leq {\frac {1}{2}}$ .

135. $\cos \left(\sin x\right)>0$ .

136. $tgx>2$ .

137. $\sin \left(x-1\right)>-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ .

138. $\sin x+\cos x>-{\sqrt {2}}$ .

139. $\sin \left(\cos x\right)\geq 0$ .

140. $\cos x+\cos 2x+\cos 3x>0$ .

141. $\sin x\sin 2x-\cos x\cos 2x>\sin 6x$ .

142. $2\sin x\sin 2x\sin 3x<\sin 4x$ .

143. $\sin x\sin 3x>\sin 5x\sin 7x$ .

144. $\cos ^{3}x\sin 3x+\cos 3x\sin ^{3}x<{\frac {3}{8}}$ .

145. $2tg2x\leq 3tgx$ .

146. $\sin x\geq \cos 2x$ .

147. $\sin x<\mid \cos x\mid$ .

Тригонометричні нерівності, що зводяться до раціональних

Нерівність вигляду $R(y)>0$ , $R(y)<0$ , де $R$ – деяка раціональна функція, а $y$ – одна з тригонометричних функцій, розв’язуються в два етапи – спочатку розв’язується раціональна нерівність відносно змінної $y$ , а потім – найпростіша тригонометрична нерівність.

Приклад 2. Розв’язати нерівність $2\sin ^{2}x-7\sin x+3>0$ .

Розв’язання. Позначивши $\sin x=y$ , отримаємо нерівність $2y^{2}-7y+3>0$ , множина розв’язків якої $y\in \left(-\infty ;{\frac {1}{2}}\right)\cup \left(3;+\infty \right)$ . Повертаючись до вихідної нерівності, отримуємо, що дана нерівність еквівалентна сукупності двох нерівностей: $\sin x<{\frac {1}{2}}$ та $\sin x>3$ . Друга нерівність розв’язків не має, а розв’язок першої $x\in \left(-{\frac {7}{6}}\pi +2\pi n;{\frac {\pi }{6}}+2\pi n\right)$ , $n\in \mathbb {Z}$ .