Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпідручника
Вилучено вміст Додано вміст
Shybetsky (обговорення | внесок)
Немає опису редагування
Shybetsky (обговорення | внесок)
Немає опису редагування
Рядок 19: Рядок 19:
<math> f(x+ \tau) = f(x+nT) = f(x+(n-1)T+T) = f(x+(n-1)T) = ... = f(x+T) = f(x)</math>.
<math> f(x+ \tau) = f(x+nT) = f(x+(n-1)T+T) = f(x+(n-1)T) = ... = f(x+T) = f(x)</math>.
[[File:Тригонометричне коло.png|thumb|Тригонометричне коло]]
[[File:Тригонометричне коло.png|thumb|Тригонометричне коло]]
Тому надалі, говорячи про період функції, ми матимемо на увазі найменший додатній період функції.<br>
Дослідимо на періодичність функції <math>y=sin \phi</math> та <math>y=cos \phi</math>. Розглянемо тригонометричне коло та одиничний вектор <math>\overrightarrow{O A}</math>, який утворює з віссю абсцис кут <math> \phi</math>. Якщо зробити повний оберт вектора <math>\overrightarrow{O A}</math> навколо початку координат проти годинникової стрілки, то дістанемо кут <math> \phi +2 \pi</math>. Але вектор <math>\overrightarrow{O A}</math> при цьому займе первісне положення, а тому його координати <math>x</math> і <math>y</math> не зміняться. Отже, <math> y=sin \phi=sin(\phi+ 2 \pi)</math>, <math>x=cos\phi=cos(\phi+ 2 \pi)</math>.<br>
При <math>n</math> повних обертах вектора <math>\overrightarrow{O A}</math> проти годинникової стрілки утвориться кут <math> \phi +2 \pi n</math>, <math>n\in \mathbb{N}</math>, а за годинниковою стрілкою – кут <math> \phi -2 \pi n</math>, <math>n\in \mathbb{N}</math>. У кожному з цих випадків координати <math>x</math> і <math>y</math> вектора не змінюються, а тому <math> y=sin \phi=sin(\phi+ 2 \pi n)</math>, <math>x=cos\phi=cos(\phi+ 2 \pi n)</math>, <math>n\in \mathbb{Z}</math>.<br>

Версія за 19:45, 30 грудня 2018

Парність і непарність тригонометричних функцій

Надамо означення парної та непарної функцій. Нехай задана на симетричній множині , тобто, якщо , то й .
Парною називається функція , якщо для будь-якого з області визначення функції виконується співвідношення:

.  (17)

Непарною називається функція , якщо для будь-якого з області визначення функції виконується співвідношення:

.  (18)

Функція, для якої не виконуються співвідношення (17) та (18), називається ні парною, ні непарною.

Дослідження на парність

Дослідимо на парність та непарність тригонометричні функції. Кути і утворюються при повороті променя в двох взаємно протилежних напрямках(за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки). Тому кінцеві сторони та цих кутів симетричні відносно осі абсцис. Координати одиничних векторів та задовольняють співвідношення , . Тому , . Отже, синус є непарною функцією, а косинус – парною. Далі маємо: , . Тому тангенс і котангенс є непарними функціями.
Приклад 1. Обчислити значення тангенса кута .
Розв’язання.Враховуючи, що і , отримаємо, що .

Вправи

18. Обчислити значення синуса кута . 19. Обчислити значення косинуса кута .

Періодичність тригонометричних функцій

Введемо означення періодичної функції.
Нехай задано функцію , . Функція називається періодичною, якщо разом з довільним одночасно і , а також , де . Число називається періодом функції .
Зрозуміло, що при такому означенні будь яке число , теж є періодом функції . Дійсно,

.
Тригонометричне коло

Тому надалі, говорячи про період функції, ми матимемо на увазі найменший додатній період функції.
Дослідимо на періодичність функції та . Розглянемо тригонометричне коло та одиничний вектор , який утворює з віссю абсцис кут . Якщо зробити повний оберт вектора навколо початку координат проти годинникової стрілки, то дістанемо кут . Але вектор при цьому займе первісне положення, а тому його координати і не зміняться. Отже, , .
При повних обертах вектора проти годинникової стрілки утвориться кут , , а за годинниковою стрілкою – кут , . У кожному з цих випадків координати і вектора не змінюються, а тому , , .