Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення

Парність і непарність тригонометричних функцій

Надамо означення парної та непарної функцій. Нехай $f(x)$ задана на симетричній множині $X$, тобто, якщо $x\in X$, то й $(-x)\in X$.
Парною називається функція $f(x)$, якщо для будь-якого $x$ з області визначення функції виконується співвідношення:

$f(-x)=f(x)$.  (17)

Непарною називається функція $f(x)$, якщо для будь-якого $x$ з області визначення функції виконується співвідношення:

$f(-x)=-f(x)$.  (18)

Функція, для якої не виконуються співвідношення (17) та (18), називається ні парною, ні непарною.

Дослідження на парність

Дослідимо на парність та непарність тригонометричні функції. Кути $\phi$ і $-\phi$ утворюються при повороті променя в двох взаємно протилежних напрямках(за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки). Тому кінцеві сторони ${\overrightarrow {OA_{1}}}$ та ${\overrightarrow {OA_{2}}}$ цих кутів симетричні відносно осі абсцис. Координати одиничних векторів ${\overrightarrow {OA_{1}}}=(x_{1},y_{1})$ та ${\overrightarrow {OA_{2}}}=(x_{2},y_{2})$ задовольняють співвідношення $x_{2}=x_{1}$, $y_{2}=-y_{1}$. Тому $cos(-\phi )=cos\phi$, $sin(-\phi )=-sin\phi$. Отже, синус є непарною функцією, а косинус – парною. Далі маємо: $tg(-\phi )={\frac {sin(-\phi )}{cos(-\phi )}}={\frac {-sin\phi }{cos\phi }}=-tg\phi$, $ctg(-\phi )={\frac {cos(-\phi )}{sin(-\phi )}}={\frac {cos\phi }{-sin\phi }}=-ctg\phi$. Тому тангенс і котангенс є непарними функціями.

Приклад 1. Обчислити значення тангенса кута $-{\frac {\pi }{3}}$.
Розв’язання.Враховуючи, що $tg(-\phi )=-tg\phi$ і $tg{\frac {\pi }{3}}={\sqrt {3}}$, отримаємо, що $tg(-\phi )=-{\sqrt {3}}$.

Вправи

18. Обчислити значення синуса кута $-{\frac {\pi }{3}}$.
19. Обчислити значення косинуса кута $-{\frac {\pi }{6}}$.

Періодичність тригонометричних функцій

Введемо означення періодичної функції.
Нехай задано функцію $f(x)$, $x\in X$. Функція $f(x)$ називається періодичною, якщо разом з довільним $x\in X$ одночасно і $(x+T)\in X$, а також $f(x+T)=f(x)$, де $T\neq 0$. Число $T$ називається періодом функції $f(x)$.
Зрозуміло, що при такому означенні будь яке число $\tau =nT$, теж є періодом функції $f(x)$. Дійсно,

$f(x+\tau )=f(x+nT)=f(x+(n-1)T+T)=f(x+(n-1)T)=...=f(x+T)=f(x)$.

Тригонометричне коло

Тому надалі, говорячи про період функції, ми матимемо на увазі найменший додатній період функції.
Дослідимо на періодичність функції $y=sin\phi$ та $y=cos\phi$. Розглянемо тригонометричне коло та одиничний вектор ${\overrightarrow {OA}}$, який утворює з віссю абсцис кут $\phi$. Якщо зробити повний оберт вектора ${\overrightarrow {OA}}$ навколо початку координат проти годинникової стрілки, то дістанемо кут $\phi +2\pi$. Але вектор ${\overrightarrow {OA}}$ при цьому займе первісне положення, а тому його координати $x$ і $y$ не зміняться. Отже, $y=sin\phi =sin(\phi +2\pi )$, $x=cos\phi =cos(\phi +2\pi )$.
При $n$ повних обертах вектора ${\overrightarrow {OA}}$ проти годинникової стрілки утвориться кут $\phi +2\pi n$, $n\in \mathbb {N}$, а за годинниковою стрілкою – кут $\phi -2\pi n$, $n\in \mathbb {N}$. У кожному з цих випадків координати $x$ і $y$ вектора не змінюються, а тому $y=sin\phi =sin(\phi +2\pi n)$, $x=cos\phi =cos(\phi +2\pi n)$, $n\in \mathbb {Z}$.