Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпідручника
Вилучено вміст Додано вміст
Shybetsky (обговорення | внесок)
Немає опису редагування
Shybetsky (обговорення | внесок)
Немає опису редагування
Рядок 32: Рядок 32:
Припустимо, що найменший додатній період функції <math>y=tg \phi</math> дорівнює <math>T</math>. Тоді для всіх допустимих значень <math> \phi</math> повинно бути <math> tg(\phi+ \pi ) = tg \phi</math>. Зокрема, при <math> \phi =0</math>, дістаємо: <math> tg T = tg 0 = 0</math>. Але тангенс додатного кута дорівнює нулю лише тоді, коли синус цього кута дорівнює нулю, тобто при <math> T= \pi, 2 \pi, 3 \pi, 4 \pi,</math> і т.д. Отже, ніякий додатній кут, менший за <math> \pi</math>, не може бути періодом функції <math>y=tg \phi</math>. Залишається визнати, що '''''періодом (найменшим додатнім) функції <math>y=tg \phi</math> є число <math> \pi</math>'''''.<br>
Припустимо, що найменший додатній період функції <math>y=tg \phi</math> дорівнює <math>T</math>. Тоді для всіх допустимих значень <math> \phi</math> повинно бути <math> tg(\phi+ \pi ) = tg \phi</math>. Зокрема, при <math> \phi =0</math>, дістаємо: <math> tg T = tg 0 = 0</math>. Але тангенс додатного кута дорівнює нулю лише тоді, коли синус цього кута дорівнює нулю, тобто при <math> T= \pi, 2 \pi, 3 \pi, 4 \pi,</math> і т.д. Отже, ніякий додатній кут, менший за <math> \pi</math>, не може бути періодом функції <math>y=tg \phi</math>. Залишається визнати, що '''''періодом (найменшим додатнім) функції <math>y=tg \phi</math> є число <math> \pi</math>'''''.<br>
Аналогічно можна довести, що '''''періодом функції <math>y=ctg \phi</math> також є число <math> \pi</math>'''''. Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.<br>
Аналогічно можна довести, що '''''періодом функції <math>y=ctg \phi</math> також є число <math> \pi</math>'''''. Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.<br>
==Формули зведення==
[[File:До формул зведення.png|thumb|До формул зведення]]
'''Теорема 1.''' ''Для будь-якого кута <math> \phi</math> виконується тотожність''<br>
<math>sin( \frac{ \pi}{2} + \phi) = cos \phi</math>. (19)<br>
''Доведення.'' Якщо кут <math> \phi</math> закінчується в I квадранті, то кут <math> \frac{ \pi}{2} + \phi </math> повинен закінчуватися у II квадранті. Розглянемо кути <math> \phi</math> та <math> \frac{ \pi}{2} + \phi </math> на одиничному колі (''див. мал. До формул зведення''). Зрозуміло, що <math>sin( \frac{ \pi}{2} + \phi) = BD</math>, <math> cos \phi = OC</math>. Але <math> \triangle AOC = \triangle BOD </math> – рівні як прямокутні з рівними гіпотенузами і прилеглими до них кутами. У рівних трикутниках відповідні сторони рівні, тому <math>BD = OC</math>. А це означає, що виконується тотожність (19).<br>

Версія за 19:28, 1 січня 2019

Парність і непарність тригонометричних функцій

Надамо означення парної та непарної функцій. Нехай задана на симетричній множині , тобто, якщо , то й .
Парною називається функція , якщо для будь-якого з області визначення функції виконується співвідношення:

.  (17)

Непарною називається функція , якщо для будь-якого з області визначення функції виконується співвідношення:

.  (18)

Функція, для якої не виконуються співвідношення (17) та (18), називається ні парною, ні непарною.

Дослідження на парність

Дослідимо на парність та непарність тригонометричні функції. Кути і утворюються при повороті променя в двох взаємно протилежних напрямках(за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки). Тому кінцеві сторони та цих кутів симетричні відносно осі абсцис. Координати одиничних векторів та задовольняють співвідношення , . Тому , . Отже, синус є непарною функцією, а косинус – парною. Далі маємо: , . Тому тангенс і котангенс є непарними функціями.

Приклад 1. Обчислити значення тангенса кута .
Розв’язання.Враховуючи, що і , отримаємо, що .

Вправи

18. Обчислити значення синуса кута .
19. Обчислити значення косинуса кута .

Періодичність тригонометричних функцій

Введемо означення періодичної функції.
Нехай задано функцію , . Функція називається періодичною, якщо разом з довільним одночасно і , а також , де . Число називається періодом функції .
Зрозуміло, що при такому означенні будь яке число , теж є періодом функції . Дійсно,

.
Тригонометричне коло

Тому надалі, говорячи про період функції, ми матимемо на увазі найменший додатній період функції.
Дослідимо на періодичність функції та . Розглянемо тригонометричне коло та одиничний вектор , який утворює з віссю абсцис кут . Якщо зробити повний оберт вектора навколо початку координат проти годинникової стрілки, то дістанемо кут . Але вектор при цьому займе первісне положення, а тому його координати і не зміняться. Отже, , .
При повних обертах вектора проти годинникової стрілки утвориться кут , , а за годинниковою стрілкою – кут , . У кожному з цих випадків координати і вектора не змінюються, а тому , , .
Як бачимо, є періодом функцій синус та косинус. Чи є він найменшим додатнім періодом? Припустимо, що для функції і – додатній період. Маємо, що . Зокрема, при , маємо . Але нулю дорівнюють синуси лише тих кутів, які кратні радіанів (переконайтесь у цьому за допомогою тригонометричного кола). Якщо , то . Зокрема, при , , тобто . А це не так. Отже, найменшим додатнім періодом функції є число .
Аналогічно можна довести, що найменшим додатнім періодом функції також є число . Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.

Лінія тангенсів

Дослідимо на періодичність функції та .
Ми знаємо, що тангенс кута дорівнює ординаті точки перетину кінцевої сторони кута з лінією тангенсів. При повороті вектора , що утворює з віссю абсцис кут , на радіанів проти годинникової стрілки вектор змінює свій напрям на протилежний, але відповідна точка на осі тангенсів залишається попередньою. Тоді не зміниться і тангенс кута. Отже, при довільному маємо, що . Це означає, що функція є періодичною з періодом . Але чи буде число найменшим додатнім періодом цієї функції?
Припустимо, що найменший додатній період функції дорівнює . Тоді для всіх допустимих значень повинно бути . Зокрема, при , дістаємо: . Але тангенс додатного кута дорівнює нулю лише тоді, коли синус цього кута дорівнює нулю, тобто при і т.д. Отже, ніякий додатній кут, менший за , не може бути періодом функції . Залишається визнати, що періодом (найменшим додатнім) функції є число .
Аналогічно можна довести, що періодом функції також є число . Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.

Формули зведення

До формул зведення

Теорема 1. Для будь-якого кута виконується тотожність

. (19)

Доведення. Якщо кут закінчується в I квадранті, то кут повинен закінчуватися у II квадранті. Розглянемо кути та на одиничному колі (див. мал. До формул зведення). Зрозуміло, що , . Але – рівні як прямокутні з рівними гіпотенузами і прилеглими до них кутами. У рівних трикутниках відповідні сторони рівні, тому . А це означає, що виконується тотожність (19).