Радіанне вимірювання дуг і кутів. Довжина дуги і площа сектора.: відмінності між версіями

Перейти до навігації Перейти до пошуку
нема опису редагування
(Сторінка очищена)
Мітка: Очищення
Немає опису редагування
 
==Радіанне вимірювання дуг і кутів==
[[File:Радіан.png|thumb|Кут 1 радіан]]Так само, як і відстані не завжди зручно вимірювати сантиметрами, час секундами, масу грамами і т.д., кути і дуги не завжди зручно вимірювати [[w:Градус (геометрія)|градусами]]. Тому поряд з градусом дуже часто вживають і іншу одиницю вимірювання кутів і дуг – радіан.<br>
''1 радіан – це [[w:Центральний кут|центральний кут]], що спирається на таку [[w:Дуга кола|дугу кола]], довжина якої дорівнює [[w:радіус|радіусу]] цього кола.''<br>
Кут в 1 радіан не залежить від радіуса кола. Дійсно, коло радіуса <math>R</math> має довжину <math> 2\pi R</math>. Тому його дуга завдовжки <math>R</math> становить <math>\frac{1}{2\pi}</math> частин кола; але в такому випадку центральний кут, що їй відповідає, повинен становити <math>\frac{1}{2\pi}</math> частин повного кута, тобто кута <math>360</math>° . Звідси<br>
''1 радіан =''<math> \frac{360}{2\pi}</math>≈'''57 &deg; 17′ 45″'''(1)<br>
Зрозуміло, що цей кут не залежить від <math>R</math>. Використавши (1) маємо, що <math>2\pi</math> ''радіанів ='''''360°.''' Тому 1°=<math> \frac{2\pi}{360}</math>≈<math>0,017</math> радіана.<br>
Зв’язок між градусною та радіанною мірою кута виражають співвідношення:<br>
<math>\phi\ _{deg}=\frac{180}{\pi}\phi\ _{rad} </math> та <math>\phi\ _{rad}=\frac{\pi}{180}\phi\ _{deg} </math>, (2)<br>
де <math>\phi\ _{rad} </math> та <math>\phi\ _{deg} </math> – відповідно радіанна та градусна міра кута (спробуйте довести це самостійно).<br>
Так як між дугою та центральним кутом кола можна встановити взаємно однозначну відповідність, то наведені вище міркування розповсюджуються не тільки на кути, а й на відповідні їм дуги.<br><br>
'''Приклад 1.''' Обчислити радіанну міру кута 135°.<br>
''Розв’язання.''
Використавши співвідношення (2), маємо <math>\phi\ _{rad}=\frac{\pi}{180}\cdot 135 </math>°= <math>\frac{3}{4}\cdot \pi </math> радіанів.<br><br>
'''Приклад 2.''' Обчислити градусну міру кута <math>2\pi</math> радіанів.<br>
''Розв’язання.''
Використавши співвідношення (2), маємо <math>\phi\ _{deg}=\frac{180}{\pi}\cdot 2\pi =</math>360°.<br><br>
 
===Вправи===
1. Обчислити радіанну міру кута:<br>
# 0°
# 30°
# 45°
# 90°
# 180°
# 270°
# 360°
<br><br>
2. Обчислити градусну міру кута:<br>
# 0 радіанів
# <math>\frac{\pi}{4}</math> радіанів
# <math>\frac{\pi}{3}</math> радіанів
# <math>\frac{\pi}{2}</math> радіанів
# <math>\frac{3\pi}{2}</math> радіанів
# <math>\pi</math> радіанів
 
 
== Довжина дуги і площа сектора ==
 
[[File:Сектор обмежений кутом.png|thumb|Сектор обмежений кутом]]Щоб переконатись у доцільності використання радіанної міри кута замість градусної, розглянемо задачу про довжину дуги кола та задачу про площу сектора круга.<br>
Нехай <math>\phi\ _{rad} </math> та <math>\phi\ _{deg} </math> – відповідно радіанна та градусна міра центрального кута <math>\phi</math> кола <math>R</math>. Обчислимо довжину <math>L</math> дуги кола. Як відомо з курсу геометрії, довжина кола радіуса <math>R</math> дорівнює <math> 2\pi R</math>. Тоді куту 360° відповідає дуга <math> 2\pi R</math>(все коло!), а куту <math>\phi\ _{deg} </math> – дуга <math>L</math>.<br>
Складемо пропорцію <math>\frac{360}{\phi\ _{deg}}=\frac{2\pi R}{L}</math> , звідки
<math>L=\frac{2\pi R}{360}\cdot \phi\ _{deg}</math>. (3)
Коли кут задано радіанною мірою, то маємо, що довжині кола відповідає кут <math>2\pi</math> радіанів і пропорція набуде вигляду <math>\frac{2\pi}{\phi\ _{rad}}=\frac{2\pi R}{L}</math>, звідки
<math>L=R\phi\ _{rad} </math>. (3’)
Як бачимо, формула (3’) для обчислення довжини дуги значно простіша за формулу (3), тобто в цьому випадку використовувати радіанну міру кута доцільніше, ніж градусну.<br>
[[File:Площа сектора.png|thumb|Площа сектора]]Обчислимо площу сектора круга, обмеженого кутом <math>\phi\ _{rad} </math>. Куту <math>2\pi</math> відповідає площа всього круга <math>\pi R^2</math> .
Маємо пропорцію <math>\frac{2\pi}{\phi\ _{rad}}=\frac{\pi R^2}{S}</math>, тобто
<math>S=\frac{R^2 \cdot\phi\ _{rad} }{2}</math>. (4)
Виведіть самостійно формулу для площі сектора круга, обмеженого кутом <math>\phi\ _{deg} </math>. Отриману формулу порівняйте з (4).<br><br>
'''Приклад 1.''' Обчислити довжину дуги кола з <math>R=5</math>, що спирається на центральний кут 135°.<br>
''Розв’язання.''
Використавши співвідношення (3), маємо <math>L=\frac{2\pi \cdot 5}{360}\cdot 135=\frac{15}{4}\cdot \pi</math>.<br><br>
'''Приклад 2'''. Обчислити довжину дуги кола з <math>R=2</math>, що спирається на центральний кут <math>\frac{\pi}{2}</math>.<br>
''Розв’язання.''
Використавши співвідношення (3’), маємо <math>L=2 \cdot \frac{\pi}{2}=\pi</math>.<br><br>
'''Приклад 3.''' Обчислити градусну і радіанну міру центрального кута <math>\phi</math> кола з <math>R=10</math>, якщо дуга <math>L=2</math>.<br>
''Розв’язання.''
Використавши співвідношення (3) та (3’), маємо <math>\phi\ _{deg}=\frac{360L}{2\pi R}</math>, <math>\phi\ _{rad}=\frac{L}{R}</math>, звідки отримаємо <math>\phi\ _{deg}=\frac{360\cdot 2}{2\pi\cdot 10}=(\frac{36}{\pi})</math>°, <math>\phi\ _{rad}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}</math> радіанів.<br><br>
===Вправи===
3. Обчисліть довжину дуги кола з <math>R=10</math>, що спирається на центральний кут:
# 30°
# 40°
# 90°
<br>
<br>
4. Обчисліть довжину дуги кола з <math>R=10</math>, що спирається на центральний кут:
# <math>\frac{\pi}{4}</math>
# <math>\frac{\pi}{6}</math>
# <math>\frac{\pi}{5}</math>
<br>
<br>
5. Обчислити площу сектора круга радіуса 1, обмеженого центральним кутом:
# <math>\frac{\pi}{6}</math>
# <math>\frac{\pi}{4}</math>
# <math>\frac{\pi}{3}</math>
<br>
<br>
6. Обчислити градусну і радіанну міру центрального кута φ кола з <math>R=5</math>, якщо:
# дуга <math>L=10</math>
# сектор <math>S=25</math>.
<br>
<br>
[[Основи тригонометрії|Зміст]]
[[Тригонометричні функції довільного аргументу. Знаки тригонометричних функцій|Наступна]]
 
[[Категорія:Математика]]
[[Категорія:Основи тригонометрії]]
224

редагування

Навігаційне меню