Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення

Парність і непарність тригонометричних функцій

Надамо означення парної та непарної функцій. Нехай $f(x)$ задана на симетричній множині $X$, тобто, якщо $x\in X$, то й $(-x)\in X$.
Парною називається функція $f(x)$, якщо для будь-якого $x$ з області визначення функції виконується співвідношення:

$f(-x)=f(x)$.  (17)

Непарною називається функція $f(x)$, якщо для будь-якого $x$ з області визначення функції виконується співвідношення:

$f(-x)=-f(x)$.  (18)

Функція, для якої не виконуються співвідношення (17) та (18), називається ні парною, ні непарною.

Дослідження на парність

Дослідимо на парність та непарність тригонометричні функції. Кути $\phi$ і $-\phi$ утворюються при повороті променя в двох взаємно протилежних напрямках(за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки). Тому кінцеві сторони ${\overrightarrow {OA_{1}}}$ та ${\overrightarrow {OA_{2}}}$ цих кутів симетричні відносно осі абсцис. Координати одиничних векторів ${\overrightarrow {OA_{1}}}=(x_{1},y_{1})$ та Неможливо розібрати вираз (синтаксична помилка): {\displaystyle \overrightarrow{O A _{2}}=(х _{2},у _{2})} задовольняють співвідношення Неможливо розібрати вираз (синтаксична помилка): {\displaystyle х _{2}=х _{1}} , Неможливо розібрати вираз (синтаксична помилка): {\displaystyle у _{2}=-у _{1}} . Тому $cos(-\phi )=cos\phi$, $sin(-\phi )=-sin\phi$. Отже, синус є непарною функцією, а косинус – парною. Далі маємо: $tg(-\phi )={\frac {sin(-\phi )}{cos(-\phi )}}={\frac {-sin\phi }{cos\phi }}=-tg\phi$, $ctg(-\phi )={\frac {cos(-\phi )}{sin(-\phi )}}={\frac {cos\phi }{-sin\phi }}=-ctg\phi$. Тому тангенс і котангенс є непарними функціями.