Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення: відмінності між версіями
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 7: | Рядок 7: | ||
''Функція, для якої не виконуються співвідношення (17) та (18), називається ні парною, ні непарною.'' |
''Функція, для якої не виконуються співвідношення (17) та (18), називається ні парною, ні непарною.'' |
||
[[File:Дослідження на парність.png|thumb|Дослідження на парність]] |
[[File:Дослідження на парність.png|thumb|Дослідження на парність]] |
||
Дослідимо на парність та непарність тригонометричні функції. Кути <math>\phi</math> і <math>- \phi</math> утворюються при повороті променя в двох взаємно протилежних напрямках(за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки). Тому кінцеві сторони <math>\overrightarrow{O A _{1}}</math> та <math>\overrightarrow{O A _{2}}</math> цих кутів симетричні відносно осі абсцис. Координати одиничних векторів <math>\overrightarrow{O A _{1}}=(x _{1}, y _{1})</math> та <math>\overrightarrow{O A _{2}}=( |
Дослідимо на парність та непарність тригонометричні функції. Кути <math>\phi</math> і <math>- \phi</math> утворюються при повороті променя в двох взаємно протилежних напрямках(за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки). Тому кінцеві сторони <math>\overrightarrow{O A _{1}}</math> та <math>\overrightarrow{O A _{2}}</math> цих кутів симетричні відносно осі абсцис. Координати одиничних векторів <math>\overrightarrow{O A _{1}}=(x _{1}, y _{1})</math> та <math>\overrightarrow{O A _{2}}=(x _{2},y _{2})</math> задовольняють співвідношення <math>x _{2}=x _{1}</math>, <math>y _{2}=-y _{1}</math>. Тому <math>cos(-\phi)=cos \phi</math>, <math>sin(-\phi)=-sin \phi</math>. Отже, синус є непарною функцією, а косинус – парною. Далі маємо: <math>tg(- \phi) = \frac{sin(- \phi)}{cos(- \phi)} = \frac{-sin \phi}{cos \phi}=-tg \phi</math>, <math>ctg(- \phi) = \frac{cos(- \phi)}{sin(- \phi)} = \frac{cos \phi}{-sin \phi}=-ctg \phi</math>. Тому тангенс і котангенс є непарними функціями. |
Версія за 13:04, 30 грудня 2018
Парність і непарність тригонометричних функцій
Надамо означення парної та непарної функцій. Нехай задана на симетричній множині , тобто, якщо , то й .
Парною називається функція , якщо для будь-якого з області визначення функції виконується співвідношення:
. (17)
Непарною називається функція , якщо для будь-якого з області визначення функції виконується співвідношення:
. (18)
Функція, для якої не виконуються співвідношення (17) та (18), називається ні парною, ні непарною.
Дослідимо на парність та непарність тригонометричні функції. Кути і утворюються при повороті променя в двох взаємно протилежних напрямках(за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки). Тому кінцеві сторони та цих кутів симетричні відносно осі абсцис. Координати одиничних векторів та задовольняють співвідношення , . Тому , . Отже, синус є непарною функцією, а косинус – парною. Далі маємо: , . Тому тангенс і котангенс є непарними функціями.