Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення

Парність і непарність тригонометричних функцій

Надамо означення парної та непарної функцій. Нехай $f(x)$ задана на симетричній множині $X$, тобто, якщо $x\in X$, то й $(-x)\in X$.
Парною називається функція $f(x)$, якщо для будь-якого $x$ з області визначення функції виконується співвідношення:

$f(-x)=f(x)$.  (17)

Непарною називається функція $f(x)$, якщо для будь-якого $x$ з області визначення функції виконується співвідношення:

$f(-x)=-f(x)$.  (18)

Функція, для якої не виконуються співвідношення (17) та (18), називається ні парною, ні непарною.

Дослідження на парність

Дослідимо на парність та непарність тригонометричні функції. Кути $\phi$ і $-\phi$ утворюються при повороті променя в двох взаємно протилежних напрямках(за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки). Тому кінцеві сторони ${\overrightarrow {OA_{1}}}$ та ${\overrightarrow {OA_{2}}}$ цих кутів симетричні відносно осі абсцис. Координати одиничних векторів ${\overrightarrow {OA_{1}}}=(x_{1},y_{1})$ та ${\overrightarrow {OA_{2}}}=(x_{2},y_{2})$ задовольняють співвідношення $x_{2}=x_{1}$, $y_{2}=-y_{1}$. Тому $cos(-\phi )=cos\phi$, $sin(-\phi )=-sin\phi$. Отже, синус є непарною функцією, а косинус – парною. Далі маємо: $tg(-\phi )={\frac {sin(-\phi )}{cos(-\phi )}}={\frac {-sin\phi }{cos\phi }}=-tg\phi$, $ctg(-\phi )={\frac {cos(-\phi )}{sin(-\phi )}}={\frac {cos\phi }{-sin\phi }}=-ctg\phi$. Тому тангенс і котангенс є непарними функціями.
Приклад 1. Обчислити значення тангенса кута $-{\frac {\pi }{3}}$.
Розв’язання.Враховуючи, що $tg(-\phi )=-tg\phi$ і $tg{\frac {\pi }{3}}={\sqrt {3}}$, отримаємо, що $tg(-\phi )=-{\sqrt {3}}$.

Вправи

18. Обчислити значення синуса кута $-{\frac {\pi }{3}}$.

19. Обчислити значення косинуса кута $-{\frac {\pi }{6}}$.