Виведення рівняння гравітаційних хвиль в ЗТВ

Матеріал з Вікіпідручника

Теоретичні викладки[ред.]

Одним із теоретичних висновків рівняння Ейнштейна для гравітаційного поля:

є існування гравітаційних хвиль. Ці хвилі мають зазвичай дуже малу амплітуду, винятком може бути хіба що екзотичний випадок обертання двох дуже близько розташованих чорних дірок. Ця амплітуда настільки мала, що ще і досі гравітаційні хвилі не виявлені експериментально.

Проблема виведення рівняння гравітаційних хвиль малої амплітуди[ред.]

Для виведення рівняння гравітаційних хвиль малої амплітуди ми можемо скористатися лінеаризованим рівнянням Ейнштейна зі статті Слабке гравітаційне поле, але не відкидатимемо ніяких лінійних доданків. Для варіації тензора Річчі маємо формулу (для зручності ця формула помножена на два):

де симетричний тензор пов'язаний з варіацією метричного тензора і має до того ж нульову дивергенцію:

з формули (2) легко можна одержати і варіацію тензора Ейнштейна :

Формулу (4) треба прирівняти до варіації тензора енергії-імпульсу з відповідним (формула 1) коефіцієнтом пропорційності:

Права частина цього рівняння становить проблему у випадку присутності матерії, тобто ненульового тензора . Дійсно, розглянемо дві ситуації, для незбуреної метрики без гравітаційних хвиль і для збуреної метрики в присутності гравітаційної хвилі. В обох випадках дивергенція тезора енергії-імпульсу повинна дорівнювати нулю:

Зазначимо, що у формулах (6) різні не лише тензори , але і оператори набла - оскільки в них входять залежні від метрики символи Крістофеля. Отже маємо:

Якщо тензор енергії-імпульсу не дорівнює нулю і варіація символів Крістофеля не дорівнює нулю , то у загальному випадку два останні доданки формули (7) теж будуть ненульовими і не компенсуються взаємно. Це означає, що і варіація . Але кількість рівнянь (7) дорівнює чотирьом (), а тому з цих рівнянь не слідує однозначно, якими повинні бути всі десять компонент варіації тензора енергії-імпульсу .

Це принципова проблема, яка ще чекає свого дослідника: для її вирішення слід залучати якісь сторонні (окрім рівняння Ейнштейна) фізичні міркування.

Гравітаційні хвилі в пустоті[ред.]

У пустоті , а тому два останні доданки у правій частині формули (7) дорівнюють нулю. Ми можемо вважати, не входячи в суперечність з формулою (7), що при проходженні гравітаційної хвилі варіація тензора енергії-імпульса теж дорівнює нулю:

Далі, із рівняння Ейнштейна (1) слідує, що в пустоті скалярна кривина і тензор Річчі дорівнюють нулю:

Підставляючи (8) і (9) в формулу (5) одержуємо рівняння гравітаційних хвиль в пустоті:

Хвилі у плоскому просторі Мінковського[ред.]

Рівняння (10) все ще складне, і оскільки у земних умовах гравітаційне викривлення простору невелике, то не буде великої похибки, якщо ми обмежимося плоским простором Мінковського з метрикою:

Для цієї метрики тензор внутрішньої кривини дорівнює нулю, коваріантні похідні збігаються з частинними похідними , а лапласіан стає оператором Даламбера:

Отже система рівняннь (10) записується так:

і розпадається на десять незалежних рівнянь, по одному на кожну незалежну компоненту симетричного тензора . Ці рівняння можна розв'язувати незалежно, а потім на загальний розв'язок накласти умову бездивергентності:

Плоска хвиля[ред.]

Загальний розв'язок[ред.]

Розглянемо гравітаційну хвилю, що рухається вздовж однієї просторової координати , тобто величини залежать лише від часу і цієї координати , і не залежать від двох інших просторових координат :

Тоді рівняння (13) стає одновимірним хвильовим рівнянням:

і як відомо, має наступний загальний розв'язок:

Перший доданок описує хвилю довільної форми, що рухається по осі з плюс нескінченності в мінус нескінченність, причому зі швидкістю світла, оскільки . Другий доданок описує аналогічну хвилю, яка рухається у зустрічному напрямку.

Оскільки пряма і зустрічна хвилі повністю аналогічні і не взаємодіють між собою, то у подальшому аналізі можна обмежитися тільки однією з них, і вважати всі величини функціями однієї змінної:

Похідні по позначатимемо штрихом, тоді:

Накладення умов бездивергентності[ред.]

Рівняння (14) для хвилі з врахуванням (19) і (20) запишеться так:

і легко інтегрується:

де - константи інтегрування.

Отже, гравітаційна хвиля описується десятьма функціями , чотири із яких за формулами (15) виражаються через решту. Отже маємо шість функцій і чотири константи. Покажемо, що чотири із цих шести функцій, а також усі константи можна обнулити, якщо правильно замінити систему координат.

Залишок свободи у виборі системи координат[ред.]

Як відомо (дивіться статтю Метричний тензор), при зміщенні системи координат на малий вектор :

Метричний тензор також змінюється:

і згідно з формулою (3), тензор змінюється так:

Беручи дивергенцію від (25), знаходимо:

У плоскому просторі Мінковського коваріантні похідні можна переставляти, тому другий і четвертий доданки в правій частині формули (26) взаємо-знищуються і ми маємо таке рівняння:

Цим рівнянням ми вже користувалися в статті Слабке гравітаційне поле, щоб зробити нульовою дивергенцію від . Проте і після обнулення дивергенції залишається свобода змінювати за формулою (25), якщо вектор задовольняє рівняння Лапласа (щоб не змінювати 27):

Тепер подумаємо, яким може бути вектор в нашому випадку плоскої хвилі. По-перше він може бути функцією однієї змінної , так щоб нові величини за формулою (25) теж були функціями цієї однієї змінної.

По-друге, вектор може бути лінійною комбінацією усіх координат:

Ясно що ця лінійна функція задовольняє рівнянню Лапласа (28), а в формулу (25) вносить лише повстійні доданки, так що Далі, в формулі (29) ми можемо обмежитися тільки симетричною матрицею коефіцієнтів , оскільки для антисиметричної матриці маємо нульову зміну у формулі (25):

Підсумовуючи, ми можемо для трансформації системи координат взяти наступний вектор:

де матриця симетрична.

Обнулення неістотних компонент гравітаційної хвилі[ред.]

Спочатку для використання в наступних формулах знайдемо дивергенцію формули (31):

Підставимо в формулу (25) вектор (31), і розпишемо одержане рівняння покомпонентно, враховуючи також формули (22). Маємо наступні десять рівнянь:

У правих частинах всіх цих рівнянь дужками виділено функціональну складову (від ), а далі йдуть повтійні доданки. Як видно, серед функціональних складових трапляються однакові, наприклад у формулах (33.1 - 33.3). Тому ми можемо вибором функцій обнулити ці складові в семи перших рівняннях (33.1 - 33.7), а також в наступному рівнянні, що є півсумою (33.8) і (33.9):

Отже маємо систему чотирьох рівнянь:

яка лекго розв'язується:

Постійні складові цих же восьми рівнянь (33.1 - 33.7), (34) також можуть бути обнулені належним вибором десяти коефіцієнтів . Маємо наступні вісім рівнянь, накладені на коефіцієнти:

із яких слідує:

Дві поляризації гравітаційної хвилі[ред.]

Отже нам вдалося підбором системи координат (вектор ) обнулити всі компоненти , крім наступних трьох: . Причому . Тобто тензор у плоскій гравітаційній хвилі має такий вигляд:

Компонента не може бути обнулена, бо у формулі (33.10) можна підбирати лише константу , яка не здатна знищити функціональну залежність. Те саме стосується компоненти , яку можна знайти як піврізницю формул (33.8) і (33.9):

Слід тензора (39) дорівнює нулю:

а тому варіація метричного тензора збігається з тензором :

а сам метричний тензор дорівнює:

Якщо компонента коливається, то згідно з формулою (43) простір по черзі, у одній фазі коливань, стискається по осі і розтягується по осі , а потім, у іншій фазі коливань, розтягується по осі і стискається по осі . Це одна поляризація гравітаційної хвилі.

Компонента описує аналогічні коливання, але вздовж діагональних осей, що повернуті на 45° - це друга поляризація гравітаційної хвилі.

Викривлення простору у гравітаційній хвилі[ред.]

Обчислимо тензор внутрішньої кривини (тензор Рімана) через варіацію метрики (43). Маємо формули:

тоді

У плоскому просторі комутатор дорівнює нулю, а варіація тензора кривини дорівнює самому тензору. Тому наближено коваріантний тензор Рімана дорівнює:

Які компоненти цього тензора можуть бути відмінні від нуля? По-перше, хоча б два індекси повинні бути числами {0, 1} щоб не було обнулення усіх других похідних. Нехай це будуть індекси - тоді третій доданок у дужках формули (47) може бути відмінним від нуля. Але зважаючи на матрицю (43), варіація у цьому третьому доданку повинна бути однією з наступних компонент: . Отже індекси мають дорівнювати 2 або 3. Випишемо ці ненульові компоненти тензора Рімана:

Решта одинадцять компонент тензора Рімана дорівнюють нулю.