Допоміжні інтеграли з варіаціями

Ця стаття має технічний характер і використовується для обчислення варіації інтегралів Ґаусса. Також, результати цієї статті можна використати для лінеаризації рівняння Ейнштейна при вивченні слабкого гравітаційного поля в фізиці.

Деформація многовида

Нехай нам дано гладкий многовид, який вміщено в охоплюючий евклідів простір. Виберемо деяку систему координат $u^{1},u^{2},\dots u^{n}$ на многовиді (або точніше, карту на деякому фрагменті многовида). Точки многовида виявляються «занумерованими» набором чисел $u^{1},u^{2},\dots u^{n}$, тобто точка многовиду однозначно знаходиться за своїми координатами:

$(1)\qquad \mathbf {r} =\mathbf {r} (u^{1},u^{2},\dots ,u^{n})$

Розглянемо невелику гладку деформацію многовида (1), при якій наша система координат залишається «вмороженою» і деформується одночасно з многовидом. Координати $u^{1},u^{2},\dots u^{n}$ будь-якої точки $P$ залишаються при цьому незмінними. А от положення точки $P$ в евклідовому просторі змінюється (переходить в близьку точку $P'$) на малу величину (варіацію зміщення), яка є функцією координат:

$(2)\qquad \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\delta \mathbf {r} ;\qquad \delta \mathbf {r} =\delta \mathbf {r} (u^{1},u^{2},\dots ,u^{n})$

Також змінюються і відстані між сусідніми точками многовида, що можна повністю описати через варіацію метричного тензора:

$(3)\qquad \delta g_{ij}=\delta \left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)=(\delta \mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})+(\mathbf {r} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{j})$

Варіаційні тензори

Одночасно з метричним тензором $g_{ij}$ змінюються і залежні від нього символи Крістофеля $\Gamma _{ij}^{k}$ та тензор Рімана $R_{\,ijk}^{s}$. Ми можемо розглядати варіації $\delta g_{ij},\;\delta \Gamma _{ij}^{k},\;\delta R_{\,ijk}^{s}$ які є просто деякими наборами маленьких чисел в обраній системі координат.

Покажемо, що ці варіації є тензорами. Для цього розглянемо дві різні «вморожені» системи координат $u^{1},u^{2},\dots u^{n}$ і ${\hat {u}}^{1},{\hat {u}}^{2},\dots {\hat {u}}^{n}$. При деформації усі ці числа залишаються прив'язаними до точок многовиду, а тому залишаються сталими одночасно з усіма похідними переходу між цими системами координат:

$(4)\qquad u^{i},\,{\hat {u}}^{j},\,{\partial u^{i} \over \partial {\hat {u}}^{j}},\,{\partial {\hat {u}}^{i} \over \partial u^{j}},\,{\partial ^{2}u^{l} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}={\mbox{const}}$

Тому із формул для перетворень величин:

$(5a)\qquad {\hat {g}}_{ij}={\partial u^{p} \over \partial {\hat {u}}^{i}}{\partial u^{s} \over \partial {\hat {u}}^{j}}g_{ps}$

$(5b)\qquad {\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}={\partial {\hat {u}}^{k} \over \partial u^{l}}\left({\partial ^{2}u^{l} \over \partial {\hat {u}}^{i}\partial {\hat {u}}^{j}}+{\partial u^{p} \over \partial {\hat {u}}^{i}}{\partial u^{s} \over {\hat {u}}^{j}}\Gamma _{ps}^{l}\right)$

$(5c)\qquad {\hat {R}}_{\,ijk}^{s}={\partial {\hat {u}}^{s} \over \partial u^{\alpha }}{\partial u^{\beta } \over \partial {\hat {u}}^{i}}{\partial u^{\gamma } \over \partial {\hat {u}}^{j}}{\partial u^{\delta } \over \partial {\hat {u}}^{k}}R_{\,\beta \gamma \delta }^{\alpha }$

беручи варіацію від лівої та правої частин рівнянь (5) і враховуючи (4) одержуємо, що варіації $\delta g_{ij},\;\delta \Gamma _{ij}^{k},\;\delta R_{\,ijk}^{s}$ є тензорами.

Зв'язок між варіаціями метричного тензора, символів Крістофеля і тензора Рімана

Розпишемо коваріантну похідну від варіації метричного тензора і врахуємо, що (як і самі координати) частинні похідні $\partial _{k}$ комутують зі значком взяття варіації $\delta$:

$(6)\qquad \nabla _{k}(\delta g_{ij})=\partial _{k}(\delta g_{ij})-\Gamma _{ki}^{s}\delta g_{sj}-\Gamma _{kj}^{s}\delta g_{is}=\delta \left(\partial _{k}g_{ij}\right)-\Gamma _{ki}^{s}\delta g_{sj}-\Gamma _{kj}^{s}\delta g_{is}$

звідки виражаємо варіацію від частинної похідної $\partial _{k}g_{ij}$ метричного тензора:

$(7)\qquad \delta \left(\partial _{k}g_{ij}\right)=\nabla _{k}\left(\delta g_{ij}\right)+\Gamma _{ki}^{s}\delta g_{sj}+\Gamma _{kj}^{s}\delta g_{is}$

і варіацію від символа Крістофеля першого роду:

$(8)\qquad 2\delta \Gamma _{ij,k}=\delta \left(\partial _{i}g_{kj}+\partial _{j}g_{ik}-\partial _{k}g_{ij}\right)=\left(\nabla _{i}\delta g_{kj}+\Gamma _{ik}^{s}\delta g_{sj}+\Gamma _{ij}^{s}\delta g_{sk}\right)+$

$\left(\nabla _{j}\delta g_{ik}+\Gamma _{ji}^{s}\delta g_{sk}+\Gamma _{jk}^{s}\delta g_{si}\right)-\left(\nabla _{k}\delta g_{ij}+\Gamma _{ki}^{s}\delta g_{sj}+\Gamma _{kj}^{s}\delta g_{si}\right)$

Користуючись цією формулою, легко знайти:

$(9)\qquad {1 \over 2}\left(\nabla _{i}(\delta g_{kj})+\nabla _{j}(\delta g_{ik})-\nabla _{k}(\delta g_{ij})\right)=\delta \Gamma _{ij,k}-\Gamma _{ij}^{s}\delta g_{ks}$

ліва частина цього рівняння дорінює:

$(10)\qquad \delta \Gamma _{ij,k}-\Gamma _{ij}^{s}\delta g_{ks}=\delta \left(g_{ks}\Gamma _{ij}^{s}\right)-\Gamma _{ij}^{s}\delta g_{ks}=g_{ks}\delta \Gamma _{ij}^{s}+\left(\delta g_{ks}\right)\Gamma _{ij}^{s}-\Gamma _{ij}^{s}\delta g_{ks}=g_{ks}\delta \Gamma _{ij}^{s}$

комбінуючи формули (9) і (10), знаходимо варіацію символів Крістофеля:

$(11)\qquad \delta \Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}g^{sk}\left(\nabla _{i}(\delta g_{kj})+\nabla _{j}(\delta g_{ik})-\nabla _{k}(\delta g_{ij})\right)$

Тепер перейдемо до варіації тензора Рімана. При взятті варіації формули

$(12)\qquad R_{\,ijk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{ki}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{ki}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{ji}^{p}$

враховуємо, що як і раніше, частинна похідна $\partial _{j}$ комутує зі значком варіації $\delta$:

$(13)\qquad \delta R_{\,ijk}^{s}=\partial _{j}\left(\delta \Gamma _{ki}^{s}\right)-\partial _{k}\left(\delta \Gamma _{ji}^{s}\right)+\left(\Gamma _{jp}^{s}\delta \Gamma _{ki}^{p}+\Gamma _{ki}^{p}\delta \Gamma _{jp}^{s}\right)-\left(\Gamma _{kp}^{s}\delta \Gamma _{ji}^{p}+\Gamma _{ji}^{p}\delta \Gamma _{kp}^{s}\right)=$

$\left[\partial _{j}\left(\delta \Gamma _{ki}^{s}\right)+\Gamma _{jp}^{s}\delta \Gamma _{ki}^{p}-\Gamma _{jk}^{p}\delta \Gamma ^{s}{pi}-\Gamma _{ji}^{p}\delta \Gamma _{kp}^{s}\right]-$

$[\partial _{k}\left(\delta \Gamma _{ji}^{s}\right)+\Gamma _{kp}^{s}\delta \Gamma _{ji}^{p}-\Gamma _{kj}^{p}\delta \Gamma _{pi}^{s}-\Gamma _{ki}^{p}\delta \Gamma _{jp}^{s}]$

в останньому перетворенні ми перегрупували доданки в дві групи, взяті у квадратні дужки. Крім того, в кожну із цих груп ми додали третім доданком однаковий член $\Gamma _{jk}^{p}\delta \Gamma _{pi}^{s}$ — очевидно результат від такого додавання не зміниться, оскільки групи віднімаються одна від одної. Кожна з цих груп є коваріатною похідною тензора $\delta \Gamma _{ij}^{s}$, тому формулу (13) можна записати простіше:

$(14)\qquad \delta R_{\,ijk}^{s}=\nabla _{j}\left(\delta \Gamma _{ki}^{s}\right)-\nabla _{k}\left(\delta \Gamma _{ji}^{s}\right)$

Зауважимо, що формули (11) і (14) є тензорними.

Інтеграл з варіацією символа Крістофеля

Розглянемо наступний інтеграл по деякій області $\Omega$ многовида:

$(15)\qquad I=\int _{\Omega }a_{\;\,s}^{ij}\left(\delta \Gamma _{ij}^{s}\right){\sqrt {g}}\,du^{1}du^{2}\cdots du^{n}=\int _{\Omega }a_{\;\,s}^{ij}\left(\delta \Gamma _{ij}^{s}\right)d\tau$

В цій формулі величина $a_{\;\,s}^{ij}$ є довільним тензором, а тому її згортка з варіацією символа Крістофеля є скаляром. Інтегрування поширюється на деяку область многовида. Підставимо замість $\delta \Gamma _{ij}^{s}$ формулу (11), тоді підінтегральний вираз запишеться так:

$(16)\qquad a_{\;\,s}^{ij}\left(\delta \Gamma _{ij}^{s}\right)={1 \over 2}a^{ijk}\left(\nabla _{i}(\delta g_{kj})+\nabla _{j}(\delta g_{ik})-\nabla _{k}(\delta g_{ij})\right)=$

$\qquad ={1 \over 2}\left(a^{kji}+a^{ikj}-a^{ijk}\right)\,\nabla _{k}(\delta g_{ij})$

тут при переході до останньої рівності ми розкрили дужки і перейменували індекси в перших двох доданках.

Позначимо

$(17)\qquad v^{ijk}={1 \over 2}\left(a^{kji}+a^{ikj}-a^{ijk}\right)$

і проінтегруємо інтеграл (14) частинами:

$(18)\qquad I=\int v^{ijk}\,\nabla _{k}(\delta g_{ij})\;d\tau =\int \nabla _{k}\left(v^{ijk}\,\delta g_{ij}\right)\,d\tau -\int \left(\nabla _{k}v^{ijk}\right)\delta g_{ij}\;d\tau$

Перший інтеграл є інтегралом від дивергенції вектора, а тому його можна перетворити в інтеграл по межі $S$ області, скориставшись теоремою Остроградського-Ґаусса. Остаточно маємо:

$(19)\qquad \int _{\Omega }a_{\;\,s}^{ij}\left(\delta \Gamma _{ij}^{s}\right)d\tau =\oint _{S}v^{ijk}\,\delta g_{ij}\,n_{k}\,dS-\int _{\Omega }\left(\nabla _{k}v^{ijk}\right)\delta g_{ij}\;d\tau$

де $n_{k}$ — одиничний вектор нормалі до підмноговида $S$.

Інтеграл з варіацією тензора Рімана

Аналогічно розглядається інтеграл з варіацією тензора Рімана:

$(20)\qquad J=\int _{\Omega }c_{s}^{\;ijk}\left(\delta R_{\;ijk}^{s}\right)\,d\tau$

де $c_{s}^{\;ijk}$ — довільний тензор. Застосовуємо формулу (14) для перетворення підінтегрального виразу:

$(21)\qquad c_{s}^{\;ijk}\,\delta R_{\;ijk}^{s}=c_{s}^{\;ijk}\left(\nabla _{j}\left(\delta \Gamma _{ki}^{s}\right)-\nabla _{k}\left(\delta \Gamma _{ji}^{s}\right)\right)=\left(c_{s}^{\;ikj}-c_{s}^{\;ijk}\right)\;\nabla _{k}\delta \Gamma _{ij}^{s}$

Вводимо позначення:

$(22)\qquad w_{s}^{\;ijk}=c_{s}^{\;ikj}-c_{s}^{\;ijk}$

і нарешті маємо:

$(23)\qquad \int _{\Omega }c_{s}^{\;ijk}\left(\delta R_{\;ijk}^{s}\right)\,d\tau =\oint _{S}w_{s}^{\;ijk}\,\delta \Gamma _{ij}^{s}\;n_{k}\;dS-\int _{\Omega }\left(\nabla _{k}w_{s}^{\;ijk}\right)\,\delta \Gamma _{ij}^{s}\;d\tau$

Останній інтеграл можна при бажанні далі перетворити за формулою (19).