Метод Фур'є (відокремлення змінних)

Метод Фур'є - один з основних методів розв'язування диференціальних рівнянь з частинними похідними. І незважаючи на те, що він доволі громіздкий його знання в будь-якому разі необхідне щоб здати СРП.

Рівняння гіперболічного типу

На прикладі задачі про вільні коливання струни, кінці якої жорстко закріплені.

Ця умова означає, що на струну не діють зовнішні сили, і вона рухається під дією власної сили натягу, яка з'явилась через початкове відхилення, та початкової швидкості. Кінці не рухаються. В рівняннях це означає:

${\frac {\delta ^{2}u}{\delta t^{2}}}=a^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x^{2}}}\ 0<x<l,\ t>0$ (1)

вільні коливання

$u(x,0)=\varphi (x),\ \left.{\frac {\delta u}{\delta t}}\right\vert _{t=0}=\psi (x),\ 0\leq x\leq l$ (2)

початкове положення та швидкість

$u(0,t)=u(l,t)=0,\ t\geq 0$ (3)

закріплені кінці.

Відокремлення змінних

Спочатку шукаємо частинні розв'язки рівняння (1), які нерівні тотожньо нулеві, і задовольняють умови (3), у вигляді:

$u(x,t)=X(x)T(t)$ (4)

Через формулу (4) метод назвали методом відокремлення змінних. Ця формула - один з ключових моментів.

Підставляємо (4) в (1), і отримуємо

$T''(t)X(x)=a^{2}T(t)X''(x)$

Ділимо обидві частини на $a^{2}X(x)T(t)$, дістанемо

${\frac {T''(t)}{a^{2}T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}$ (5)

Для того, щоб функція $u(x,t)=X(x)T(t)$ була розв'язком рівняння (1) рівність (5) повинна задовольнятися тотожно, тобто для всіх значень незалежних змінних $0<x<l$. Права частина рівності (5) є функцією тільки змінної t, а ліва - тільки x. Фіксуючи деяке значення x, і змінюючи t (або навпаки), дістанемо, що права і ліва частини рівності (5) при зміні своїх аргументів зберігають стале значення.

${\frac {T''(t)}{a^{2}T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}=-\lambda$ (6)

де $\lambda$ - стала, яка для зручності вибирається зі знаком "мінус", при цьому нічого не припускається про її знак.

Із співвідношення (6) дістаємо рівняння для визначення функцій $X(x)$, та $T(t)$:

$X''(x)+\lambda X(x)=0\ X(x)\not \equiv 0$ (7)

$T''(t)+a^{2}\lambda T(t)=0\ T(t)\not \equiv 0$ (8)

Крайові умови (3) дають:

$u(0,t)=X(0)T(t)=0$

$u(l,t)=X(l)T(t)=0$

Звідси випливає, що $X(0)=X(l)=0$, бо інакше було б

$T(t)\equiv 0,\ u(x,t)\equiv 0$

але ж задача полягає у знаходженні нетривіальних розв'язків.

Таким чином для функції $X(x)$ одержали так звану задачу Штурма-Ліувілля (задачу про власні значення): знайти ті значення параметра $\lambda$, при яких існують нетривіальні розв'язки задачі:

${\begin{cases}X''(x)+\lambda X(x)=0,\\X(0)=X(l)=0,\end{cases}}$ (9)

а також знайти ці розв'язки. Такі значення параметра $\lambda$ називаються власними значеннями, а відповідні їм нетривіальні розв'язки - власними функціями задачі (9).

Розглянемо окремо випадки, коли параметр $\lambda$ від'ємний, дорівнює нулю, або додатній.

Випадок $\lambda <0$

Загальний розв'язок рівняння (7) має вигляд

$X(x)=C_{1}e^{{\sqrt {-\lambda }}x}+C_{2}e^{-{\sqrt {-\lambda }}x}$

Крайові умови дають

$X(0)=C_{1}+C_{2}=0,$

$X(l)=C_{1}e^{\alpha }+C_{2}e^{-\alpha }=0\ (\alpha =l{\sqrt {-\lambda }})$

тобто $C_{1}=-C_{2}$ і $C_{1}(e^{\alpha }+e^{-\alpha })=0$. Але в розглянутому вище випадку $\alpha$ - дійсне і додатне, а тому $e^{\alpha }-e^{-\alpha }\neq 0$ Тому $C_{1}=0$ і $C_{2}=0$. Отже, $X(x)\equiv 0$ і, значить в цьому випадку задача не має нетривіальних розв'язків.

Випадок $\lambda =0$

В цьому випадку загальний розв'язок рівняння (7) має вигляд:

$X(x)=C_{1}x+C_{2}$

Крайові умови дають

$X(0)=C_{2}=0,$

$X(l)=C_{1}l=0,$

тобто $C_{1}=0$. Отже, $C_{1}=C_{2}=0$, і значить $X(x)\equiv 0$, тобто також не існує нетривіальних розв'язків.

Випадок $\lambda >0$

І нарешті останнє. Загальний розв'язок рівняння (7) в такому разі виглядає:

$X(x)=C_{1}\sin {\sqrt {\lambda }}x+C_{2}\cos {\sqrt {\lambda }}x$

Крайові умови дають

$X(0)=C_{2}=0$

$X(l)=C_{1}\sin {\sqrt {\lambda }}l=0$

Якщо $C_{1}=0$, то і в цьому випадку буде $X(x)\equiv 0$. Ми шукаємо нетривіальні розв'язки, тому $C_{1}\neq 0$ і

$\sin {\sqrt {\lambda }}l=0$

або ${\sqrt {\lambda }}={\frac {\pi n}{l}}$, де $n=\pm 1,\pm 2,\ldots ,n\neq 0$, тому що за умовою $\lambda >0$.

Отже, нетривіальні розв'язки задачі (9) можливі лише при значеннях

$\lambda =\lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}$

Цим власним значенням відповідають власні функції

$X_{n}(x)=D_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}x,$ (10)

де $D_{n}$ - довільна стала.

Надалі будемо надавати n тільки додатні значення, оскільки при від'ємних n дістанемо розв'язки, які мають такий самий вигляд (адже $D_{n}$ - довільні сталі, які можуть мати будь-який знак).

Знаходимо T(t)

Підставивши знайдені значення $\lambda _{n}$ в (8), дістанемо рівняння

$T''_{n}(t)+\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}T_{n}(t)=0$

загальний розв'язок якого має вигляд

$T_{n}(t)=C_{n}\sin {\frac {\pi na}{l}}t+K_{n}\cos {\frac {\pi na}{l}}t,\ n=1,2,\ldots$

де $C_{n}$ та $K_{n}$ - довільні сталі.

Частинні розв'язки

Підставивши (10) і (11) в (4) знайдемо частинні розв'язки рівняння (1), які задовольняють крайові умови (3). При цьому кожному значенню $n=1,2,\ldots$ буде відповідати розв'язок

$u_{n}(x,t)=\left(C_{n}\sin {\frac {\pi na}{l}}t+K_{n}\cos {\frac {\pi na}{l}}t\right)D_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}x$

Введемо позначення $A_{n}=C_{n}D_{n},\,B_{n}=K_{n}D_{n}$. Тоді $u_{n}(x,t)$ можна записати у вигляді

$u_{n}(x,t)=\left(A_{n}\sin {\frac {\pi na}{l}}t+B_{n}\cos {\frac {\pi na}{l}}t\right)\sin {\frac {\pi n}{l}}x$ (12)

Функції $u_{n}(x,t)$ задовольняють початкові умови (2) вихідної задачі тільки для окремих випадків початкових функцій $\varphi (x)$ і $\psi (x)$.

За допомогою розв'язків (12) побудуємо розв'язок, який задовольняє початкові умови (2). Розв'язок рівняння (1), який задовольняє умови (2) і (3) шукатимемо у вигляді ряду:

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\sin {\frac {\pi na}{l}}t+B_{n}\cos {\frac {\pi na}{l}}t\right)\sin {\frac {\pi n}{l}}x$ (13)

Якщо ряд (13) збігається рівномірно, і його можна двічі продиференціювати по x і по t почленно, то сума ряду буде задовольняти рівняння (1) і крайові умови (3). Поставимо вимогу, щоб функція $u(x,t)$, яка визначена рядом (13) задовольняла початкові умови (2):

${\begin{array}{l}\displaystyle u(x,0)=\varphi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}x\\\displaystyle \left.{\frac {\delta u}{\delta t}}\right\vert _{t=0}=\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\pi na}{l}}A_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}x\end{array}}$ (14)

Ряд Фур'є

Припустимо, що функції $\varphi (x)$ і $\psi (x)$ задовольняють умови розкладу в w:ряд Фур'є за синусами на проміжку (0,l). Тоді

$\varphi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}x,\ \varphi _{n}={\frac {2}{l}}\int _{0}^{l}\varphi (\xi )\sin {\frac {\pi n}{l}}\xi d\xi ,$ (15)

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\psi _{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}x,\ \psi _{n}={\frac {2}{l}}\int _{0}^{l}\psi (\xi )\sin {\frac {\pi n}{l}}\xi d\xi ,$ (16)

Порівняння рядів (15) і (16) з формулами (14) показує, що для виконання початкових умов треба покласти

${\begin{array}{l}B_{n}=\varphi _{n},\ n=1,2,\ldots \\A_{n}={\frac {l}{\pi na}}\psi _{n},\ n=1,2,\ldots \end{array}}$ (17)

Таким чином розв'язок задачі (1)-(3), одержаний методом відокремлення змінних, має вигляд

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\left({\frac {2}{\pi na}}\int _{0}^{l}\psi (\xi )\sin {\frac {\pi n}{l}}\xi d\xi \right)\sin {\frac {\pi na}{l}}t+\left({\frac {2}{t}}\int _{0}^{l}\varphi (\xi )\sin {\frac {\pi n}{l}}\xi d\xi \right)\cos {\frac {\pi na}{l}}t\right]\sin {\frac {\pi n}{l}}x$ (18)

Це був розв'язок однорідного рівняння гіперболічного типу. І хоча це не всі класи рівнянь, але спосіб яким розв'язано це - найзагальніший, і входить у розв'язки багатьох інших. Проте людина, яка оцифровувала цю методичку вже здала сесію, і іде готуватись до наступної, тому продовження читайте з тридцятої сторінки методички зі списку літератури. Формула (19).

Література

1. Методичні розробки до вивчення нормативного курсу "Рівняння математичної фізики" (класифікація рівнянь другого порядку, формули Даламбера і Пуассона, метод відокремлення змінних) для студентів факультету кібернетики. Упоряд. С.О.Войцеховський, В.І.Гаркуша, М.П.Копистра та ін.- Київ, 2001 р. 65 с.