Математичний аналіз/Вступ до аналізу

Основні означення та позначення

Спочатку визначимо символи, які будемо використовувати на протязі усього курсу математичного аналізу:

$\forall$ - квантор загальності, вживається для заміни слів “для будь-якого”;

$\exists$ - квантор існування, вживається для заміни слів “існує”;

$\exists !$ - „існує єдиний”;

$\Rightarrow$ - символ імплікації, запис означає: “якщо $\ A$, то $\ B$”;

$\Leftrightarrow$ - символ еквівалентності, запис $A\Leftrightarrow B$ , означає одночасне виконання $A\Rightarrow B$ і $B\Rightarrow A$ , або для того, щоб $\ A$ необхідно та достатньо, щоб $\ B$ ;

$\lor$ - символ диз’юнкції, запис $A\lor B$ , означає $\ A$ або $\ B$ ( не в строгому розумінні);

$\land$ - символ кон'юнкції, запис $A\land B$ , означає $\ A$ і $\ B$;

${\stackrel {\mathrm {def} }{=}}$( ${\stackrel {\mathrm {def} }{\Leftrightarrow }}$) - дорівнює за означенням (визначається за означенням);

$\mathbb {N}$ - множина натуральних чисел;

$\mathbb {Z}$ - множина цілих чисел;

$\mathbb {Q}$ - множина раціональних чисел;

$\mathbb {R}$- множина дійсних чисел;

$\mathbb {C}$- множина комплексних чисел;

$\mathbb {X} ^{+}$ ( $\mathbb {X} ^{-}$ ) - додавання до значків

Більшості з нас добре відомий „парадокс Рассела”, що пов’язаний як раз з множинами. Нагадаємо його: розглянемо множину усіх множин. Нехай тоді для множини $\ M$ запис $\ P(M)$ означає, що $\ M$ не містить себе в якості елемента. Далі розглянемо сукупність $\ K={M|P(M)}$ . Якщо $\ K$ - множина, то істинно або $\ P(K)$ , або його заперечення. Але це суперечить побудові сукупності $\ K$ . Дійсно, якщо $\ P(K)$ - вірно, тобто $\ K$ не містить себе в якості елемента, то воно повинно міститись у $\ K$, згідно визначенню сукупності $\ K$, а тому є вірним також і заперечення $\ K$ . Таким чином ми одержали суперечність, точніше парадокс. До цього парадоксу призводить наївне визначення поняття множини, як сукупність будь-чого. В сучасний математиці фундаментальне поняття множини піддається ретельному аналізу, але ми углиблятися у нього не будемо. В існуючих математичних теоріях множина визначається як математичний об’єкт, що має відповідний набір властивостей, описання цих властивостей складає аксіоматику теорії множин. Ядром аксіоматики теорії множин виступає правила, за якими можна з множин будувати нові множини. Це дозволяє уникнути суперечностей, що можуть виникнути, а також забезпечити відповідно свободу оперування поняттям множина. Є декілька різних аксіоматик, але усі вони заперечують існування множини усіх підмножин, а також, множина усіх підмножин деякої множини є цілком слушною множиною.

Поняття функції

Під $\ (x,y)$ будемо позначати впорядковану пару, основною (визначальною) властивістю якої є: $(x_{1},y_{1})=(x_{2},y_{2})\Leftrightarrow (x_{1}=x_{2})\land (y_{1}=y_{2})$ . Елемент $\ x$ при цьому називається першою координатою (компонентою), а елемент $\ y$ - другою. Аналогічно визначається кортеж $\ (x_{1},x_{2},...,x_{n})$ , що складається з $\ n$ координат.

Декартовим добутком множин $\ X$ та $\ Y$ називається множина

$X\times Y{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\{(x,y)|x\in X\land y\in Y\}$.

Так само декартовим добутком $\ n$ множин $\ X_{1},X_{2},...,X_{n}$ називається множина $\ X_{1}\times X_{2}\times ...\times X_{n}$ . Якщо множини $\ X,Y$ співпадають ( ), то їх декартів добуток позначається як ( ).

Множина $\ \Gamma$ називається бінарним відношенням між елементами множин $\ X$ та $\ Y$, якщо $\ \Gamma \subset X\times Y$.

Упорядкована трійка множин $\ (X,Y,\Gamma )$ називається відображенням (або функцією) з множини $\ X$ в множину $\ Y$ , якщо $\ \Gamma$ є функціональним бінарним відношенням між елементами множин $\ X$ та $\ Y$ . При цьому множина $\ X$ називається областю відправлення, $\ Y$ - областю прибуття, а $\ \Gamma$ - графіком відображення.

Перша (друга) проекція графіка відображення $\ f$ називається областю або множиною визначення (областю або множиною значень) відображення $\ f$ та позначається $\ D_{f}(E_{f})$ .

Числові послідовності

Теорема 5. (Збіжність неспадної послідовності).

Нехай послідовність $\ (x_{n})$ неспадна і $\ \sup x_{n}=a\in {\overline {\mathbb {R} }}$ . Тоді $\ \exists \lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ .

Доведення  

Розглянемо випадок $\ a\in \mathbb {R}$ . Виберемо довільне число $\ \varepsilon >0$ . Тоді інтервал $\ (a-\varepsilon ;a+\varepsilon )$ є околом точки $\ a=\sup x_{n}$ і за топологічною властивістю верхньої межі вона є точкою дотикання, з чого слідує, що

$\ (a-\varepsilon ;a+\varepsilon )\cap \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\neq \varnothing \Rightarrow$

$\ \Rightarrow \exists N:x_{N}\in (a-\varepsilon ;a+\varepsilon )\Rightarrow$

$\ \Rightarrow \forall n\geqslant N$ $\ a-\varepsilon <x_{N}\leqslant x_{n}\leqslant a\Rightarrow$

$\ \Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon \Rightarrow \lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ .

Повністю аналогічно проводиться доведення у випадку $\ a\in \{\pm \infty \}$ .

Теорема доведена.

Наслідок 2. теорема Вейєрштрасса.

Кожна монотонна і обмежена послідовність має скінчену границю.

Критерій Коші, теореми Коші та Штольца

Математичний аналіз/Вступ до аналізу

Математичний аналіз/Інтеграл Рімана

Коротка енциклопедиція з прикладної математики

Blender/Стартовий посібник (український інтерфейс)