Математичний аналіз/Похідна

Визначення похідної, правила диференціювання

Нехай функція $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, x_0 \in D_f.$

Функція називається диференційованою в точці $\ x_0$, якщо існує така неперервна в точці $\ x_0$ функція $D_f \stackrel{\mathrm{\phi}}{\rightarrow} \mathbb R$, що $\forall x \in D_f$ виконується рівність:

$\ f(x)-f(x_0)=(x-x_0)\phi(x)$

Якщо $\ x_0$ - гранична точка можини $\ D_f$, то число $\ \phi (x_0)$ називається похідною функції $\ f$ в точці $\ x_0$ і позначається символом $\ f'(x_0)= \phi (x_0)$

Теорема 1 (обчислення похідної)

Нехай $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, x_0 \in D_f$ і є граничною точкою цієї множини. Якщо $\ f$ - диференційована в точці $\ x_0$, то

$\lim_{x \to x_0} {\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0)$

Доведення  

Безпосередній наслідок формули $\ f(x)-f(x_0)=(x-x_0)\phi(x)$

Наслідок.(Необхідна умова диференційованості).

Якщо функція $\ f$ диференційована в точці $\ x_0 \in D_f$, граничній для множини $\ D_f$, то вона неперервна в точці $\ x_0$ і її похідна $\ f'(x_0)$ визначена однозначно.

Приклад