Інтегрування за об'ємом многовида

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Елемент об'єму дається формулою:

Відповідно інтеграл від скалярного поля по об'єму многовида дорівнює:

Доведення обчисленням[ред.]

В околі точки многовида можна вибрати таку систему координат , що в цій точці метричний тензор буде одиничною матрицею:

В цій системі координат елемент об'єму дорівнює (як і для декартових координат в евклідовому просторі) добутку диференціалів координат:

При переході до іншої системи координат , як відомо з курсу математичного аналізу, елемент об'єму дорівнює добутку якобіана (модуля визначника матриці переходу) на добуток диференціалів нових координат:

Оскільки метричний тензор при зміні системи координат змінюється за законом:

то матриця метричного тензора є матричним добутком транспонованої матриці переходу на саму цю матрицю переходу:

Звідси обчислюємо визначник:

або

Формулу (1) доведено.

Шаблон:Ізольована стаття