Алгебричні системи

Алгебричні системи

У елементарній алгебрі розглядаються різні конкретні множини: множина цілих, раціональних, дійсних й комплексних чисел, множина поліномів, дробово-раціональних функцій тощо. Над елементами цих множин виконуються операції, які називаються алгебричними. Загальне визначення алгебричної операції можна сформулювати наступним чином. Нехай $A$ - множина. Говорять, що у $A$ визначена алгебрична операція, якщо вказаний закон, за яким будь-яким двом (різним або однаковим) елементам $a_{1}$ та $a_{2}$ цієї множини, взятим у певному порядку, ставиться у відповідність цілком визначений елемент цієї ж множини $A.$ У цьому формулюванні містяться вимоги щодо однозначності операції та її виконуваності для будь-яких двох елементів даної множини. Тут міститься також вказівка на порядок, у якому беруться елементи $a_{1}$ та $a_{2}$ множини $A$ при виконанні над ними операції. Це значить, що елементам $(a_{1},a_{2})$ та $(a_{2},a_{1})$ можуть бути поставлені у відповідність різні елементи цієї множини $A.$ Таким чином, алгебрична операція, визначена у множині $A,$ може бути некомутативною.

На думку відомого американського математика Майкла Атії, що для будь-якої алгебричної системи необхідне виконання послідовних операцій (додавання, віднімання тощо) та що ці операції сприймаються як виконувані одна за іншою. Іншими словами, алгебрі необхідний час, щоб надати їй змісту, що визначає її метафізичність (грец. Τά μετά τά φυσικά - "те, що понад фізикою"). У царині фізики геометрія займається дослідженням простору, алгебра досліджує час, а математичний аналіз - континуум.

Алгебричну операцію, визначену у множині $A,$ можна назвати додаванням, і тоді $a_{3}$ називають сумою елементів $a_{1}$ та $a_{2},$ символічно записуючи $a_{1}+a_{2}=a_{3};$ її можна назвати й добутком елементів $a_{1}$ та $a_{2},$ символічно $a_{1}\cdot a_{2}=a_{3}.$ Операції додавання й віднімання виконуються у багатьох числових множинах, що розглядаються у елементарній алгебрі. Вони також алгебричні, однак їх не варто вважати новими незалежними діями, оскільки вони можуть бути визначені через операції додавання й множення. Наприклад, ми говоримо, що у множині $A$ (у якій вже визначена операція додавання) виконується операція віднімання, якщо для будь-якої пари $a_{1},a_{2}$ цієї множини існує у цій множині єдиний елемент $a_{4}$ такий, що $a_{2}+a_{4}=a_{1}.$ Елемент $a_{4}$ називається різницею елементів $a_{1}$ та $a_{2},$ формально $a_{4}=a_{1}-a_{2}.$ Таким самим чином, у множині $A$ (у якій вже визначена операція множення) виконується операція ділення, якщо для будь-яких двох елементів $a_{1}$ та $a_{2}$ цієї множини існує єдиний елемент $a_{5}$ такий, що $a_{2}\cdot a_{5}=a_{1}.$ Елемент $a_{5}$ називається часткою елементів $a_{1}$ та $a_{2}$ й позначається $a_{5}={\frac {a_{1}}{a_{2}}}$ або $a_{5}=a_{1}:a_{2}.$

Таким чином, операції віднімання й ділення визначаються посередництвом операцій додавання й віднімання. Операції віднімання й діленя називаються зворотними (оберненими) операціями відповідно додавання й множення.

Піднесення до цілого степеня й взяття кореня - алгебричні операції, які також можуть бути визначеними через уведені раніше. Тобто піднесення до цілого додатного степеня $n$ зводиться до добутку $a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \cdot \cdot a} _{n\,{\text{множників}}},$ а операція взяття кореня степені $n$ з чисел є зворотною до операції піднесення до степеня.

З визначення числових систем зрозуміло, що є множини, у яких додавання й множення визначені, а віднімання і ділення - ні. Такою є, наприклад, множина натуральних чисел. У множині цілих чисел (додатних й від'ємних) визначена операція додавання і виконується зворотна до неї операція - операція віднімання. У множині відмінних від нуля раціональних чисел визначена операція множення й виконується зворотна до неї операція - операція ділення.

Найпростішою алгебричною (екваціональною) системою є структура, яка є моделлю системи аксіом-рівностей, наприклад, як у теорії груп:

• $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c,$
• $a\cdot a^{-1}=e,$
• $a\cdot e=a,$
• $e\cdot a=a$

для усіх $a,b,c\in M$ системи $\langle M,\cdot \rangle .$ Такі моделі будуть розглянуті у підрозділі, присвяченому основним поняттям теорії категорій.

Кільце

Непуста множина $K\neq \emptyset$ називається кільцем, якщо у ній визначені операції додавання й множення, які підпорядковуються наступним законам:

• комутативність операції додаваня: $a+b=b+a$
• асоціативність операції додавання: $a+(b+c)=(a+b)+c$
• для операції додавання у множині $K$ виконується зворотна до неї операція - віднімання
• операція множення асоціативна, тобто для $a,b\in K$ справджується рівність $(ab)c=a(bc).$
• множення дистрибутивне відносно додавання: $(a+b)c=ac+bc,\quad c(a+b)=ca+cb.$

Кільце називається комутативним, якщо операція множення комутативна, тобто якщо $ab=ba$ для усіх $a,b\in K.$

Прикладами кілець є множина цілих чисел, множина парних чисел, множина раціональних чисел, множина поліномів.

У будь-якому кільці міститься єдиний елемент $0$ такий, що сума будь-якого іншого елемента $a$ із $0$ дає у сумі знову $a,$ тобто $a+0=a.$ Елемент $0$ називається нулем кільця. Крім того, для будь-якого елемента $a$ кільця у кільці існує елемент $-a$ такий, що $a+(-a)=0.$ Елемент $-a$ називається протилежним елементу $a.$

Ідемпотент у кільці - це елемент, який задовільняє співвідношенню $e^{2}=e.$ Булеве кільце (комутативне кільце із одиницею) є кільцем, у якому будь-який елемент є ідемпотентом. У булевому кільці виконується співвідношення $2x=0$ для будь-якого $x.$ Справді, $0=(x+1)^{2}-x-1=(x^{2}-x)+2x=2x.$

У цільці із одиницею $e$ для елемента $a\neq 0$ може існувати зворотний до нього елемент $a^{-1}$ із властивістю $aa^{-1}=a^{-1}a=e.$ Елементи кільця із одиницею, для яких у цьому кільці існує зворотний елемент, називається кільцем дільника одиниці. Зокрема, у кільці усіх квадратних матриць порядку $n,$ тобто $A_{n\times n},$ одиницею є одинична матриця $E,$ для якої $AE=EA=A.$ Зворотний елемент $A^{-1}$ існує для будь-якої невиродженої матриці; для вироджених матриць зворотних до них елементів не існує.

Ізоморфізми та гомоморфізми кілець

Кільця $K_{1}$ та $K_{2}$ називають ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність таку, що якщо елементам $a_{1},a_{2}\in K_{1}$ відповідають елементи $b_{1},b_{2}\in K_{2},$ то елементові $(a_{1}+a_{2})$ відповідає елемент $(b_{1}+b_{2})$ та елементові $(a_{1}a_{2})$ відповідає елемент $(b_{1}b_{2}).$

Кільце $K_{1}$ є гомоморфно відображеним у кільце $K_{2},$ якщо кожному елементові кільця $a\in K_{1}$ ставиться у відповідність однозначно визначений елемент кільця $b\in K_{2},$ причому якщо елементам $a_{1},a_{2}\in K_{1}$ відповідають елементи $b_{1},b_{2}\in K_{2},$ то елементові $a_{1}+a_{2}$ відповідає $b_{1}+b_{2},$ а елементові $a_{1}a_{2}$ відповідає елемент $b_{1}b_{2}.$ У випадку, якщо кожний елемент кільця $K_{2}$ має хоча б один образ у $K_{1},$ то говорять про гомоморфне відображення кільця $K_{1}$ на кільце $K_{2}$; гомоморфізм у цьому випадку називають епіморфізмом.

Наприклад, якщо кожному поліномові $P(x)$ від однієї змінної $x$ із довільними комплексними коефіцієнтами $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ поставити у взаємно однозначну відповідність вільний член цього полінома, то одержимо гомоморфне відображення кільця усіх поліномів із комплексними коефіцієнтами $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ на систему комплексних чисел $\mathbb {C} .$

Якщо кільце $K_{1}$ гомоморфно (ізоморфно) відображене на кільце $K_{2},$ причому кільце $K_{1}$ є асоціативним, то тоді й кільце $K_{2}$ є асоціативним; якщо кільце $K_{1}$ є комутативним, то й $K_{2}$ є комутативним; якщо кільце $K_{1}$ із одиницею, то й $K_{2}$ у цьому випадку буде також кільцем із одиницею, причому одиницею кільця $K_{2}$ буде образ одиниці кільця $K_{1}.$

У випадку, якщо кільце може бути гомоморфно (ізоморфно) відображене на декотру множину $M,$ на якій визначені дві алгебричні операції, то множина $M$ сама є кільцем відносно цих двох операцій.

Якщо кільце $K_{1}$ гомоморфно відображене у кільце $K_{2},$ то множина усіх елементів $a_{i}\in K_{1},$ які переходять у нульовий елемент $0\in K_{2},$ називається ядром цього гомоморфізму.

Поле

Комутативне кільця, що містить принаймні один відмінний від нуля елемент, у якому виконується операція ділення, окрім ділення на нуль, називається полем. Прикладами полів є множина раціональних чисел, множина дійсних чисел, множина комплексних чисел, множина дробово-раціональних функцій. Алгебрична геометрія у значній мірі базується на комутативній алгебрі, яка вивчає комутативні кільця й поля.

У будь-якому полі існує єдиний елемент $e$ (одиниця поля) такий, що для будь-якого елемента $a$ даного поля $a\cdot e=a.$ Крім того, для будь-якого елемента $a$ даного поля існує єдиний зворотний елемент $a^{-1}$ такий, що $a\cdot a^{-1}=e.$

Таким чином, у будь-якому полі добуток двох елементів дорівнює нулю лише тоді, коли принаймні один з співмножників дорівнює нулю.

Впорядковане поле. У впорядкованих полях визначене відношення порядку, яке доцільно пов'язане із алгебричними операціями, визначеними у полі. Впорядковане поле можна визначити наступним чином. Поле $P$ називається впорядкованим, якщо для його елементів визначене відношення порядку $a<b$ ("$a$ менше $b$") із наступними властивостями:

• для будь-яких елементів $a,b$ поля $P$ співвідношення $a=b\,\,\,a<b,\,\,b<a$ є взаємовиключними (тобто не можуть бути справедливими одночасно)
• якщо $a<b$ та $b<c,$ то $a<c;$
• якщо $a<b,$ то $a+c<b+c$ для будь-якого $c\in P;$
• якщо $a<b$ та $c>0,$ то $ac<bc.$

Останні дві властивості пов'язують відношення порядку із операціями, визначеними у полі. Передостання властивість називається законом монотонності додавання, а остання - законом монотонності множення.

Якщо $a<b,$ то говорять, що $b$ більше від $a,$ формльно $b>a.$ Визначене таким чином відношення $a>b$ у впорядкованому полі $P$ має наступні властивості:

• для будь-яких елементів $a$ та $b$ поля $P$ справедливе лише одне із співвідношень: $a=b,$ чи $a>b,$ чи $b>a;$
• якщо $a>b$ та $b>c$ то $a>c;$ справді, з $a>b$ та $b>c$ слідує $c<b$ та $b<a;$ тому й $c<a$ та $a>c;$
• якщо $a>b,$ то $a+c>b+c$ для будь-якого $c\in P;$
• якщо $a>b$ та $c>0,$ то $ac>bc.$

До основи визначення впорядкованого поля можна також покласти $a>b$ й визначити впорядковане поле наступним чином: поле $P$ є впорядкованим, якщо для його елементів встановлене відношення $a>b$ ("$a$ більше $b$"), яке задовільняє чотирьом наведеним його властивостям. Таким чином, поле, впорядковане відношенням $<$ може бути впорядковане й зворотним відношенням $>.$

Елемент $a$ впорядкованого поля називається додатним, якщо він більший від нуля, $a>0;$ його називають від'ємним, якщо він менший від нуля $a<0.$

Елемент $a$ впорядкованого поля $P$ лише тоді більший від елемента $b,$ коли $a-b>0.$ Справді, якщо $a-b>0,$ то $(a-b)+b>0+b,$ тобто $a>b.$ І навпаки, якщо $a>b,$ то $a+(-b)>b+(-b),$ тобто $a-b>0.$

З визначення впорядкованого поля слідують усі основні властивості нерівностей. Інакше кажучи, на властивостях, про які йде мова у визначенні впорядкованого поля, базується доказ основних властивостей нерівностей. Відтак теорію нерівностей можна побудувати лише у впорядкованих полях. Серед числових полів впорядкованими є поле раціональних й поле дійсних чисел. Поле ж комплексних чисел не може бути впорядкованим. Переконаймося у цьому. З визначення впорядкованого поля слідують наступні властивості:
a) якщо $a<b$ та $c<d,$ то $a+c<b+d;$
b) у впорядкованому полі елементи $a$ й $-a$ не можуть бути обидва додатними або обидва від'ємними; справді, якщо вважати $a<0$ та $-a<0,$ то в силу властивості (a) маємо $a+(-a)<0;$ якщо ж вважати, що $0<a$ та $0<-a,$ то в силу цієї ж властивості (b) маємо $0<a+(-a);$ але $a+(-a)=0,$ тому кожне із припущень приводить до суперечливості;
c) якщо $a>0$ та $b>0,$ то $ab>0;$ справді, $0\cdot b<a\cdot b,$ тобто $ab>0;$
d) якщо $a\neq 0$ то $a^{2}>0;$ справді, якщо $a>0,$ то в силу властивості (c) маємо $a^{2}=a\cdot a>0;$ якщо ж $a<0,$ то в силу властивості (b) маємо $-a>0$ та, відповідно, $a^{2}=(-a)\cdot (-a)>0;$
e) сума квадратів будь-яких відмінних від $0$ елементів впорядкованого поля $P$ є додатною; справді, якщо кожний із елементів $a,b,c,,...,z$ є відмінним від нуля, то в силу властивості (d) маємо $a^{2}>0,\,\,b^{2}>0,\,\,c^{2},...,z^{2}>0;$ відтак в силу властивості (a) маємо $a^{2}+b^{2}+c^{2}+...+z^{2}>0.$

З властвості (e) слідує, що поле комплексних чисел не може бути впорядкованим; справді, у цьому полі є числа $i$ та $1,$ сума квадратів яких дорівнює нулю ($i^{2}=-1$ та $1^{2}=1,$ сума $i^{2}+1^{2}=0$), чого в силу властивості (e) у впорядкованому полі бути не може.

Нормування полів

Нормування поля $P$ називається архімедовим, якщо функція нормування $||_{v}:P\to \mathbb {R}$ задовільняє наступним умовам:

• $|x|_{v}\geq 0,$ причому $x=0$ лише у випадку, якщо $x=0$;
• $|xy|_{v}=|x|_{v}|y|_{v}$
• $|x+y|_{v}\leq |x|_{v}+|y|_{v}.$

За неархімедового нормування остання умова замінюється на більш сильну:

• $|x+y|_{v}\leq \max\{|x|_{v},\,|y|_{v}\}.$

Наприклад, архімедове нормування на $\mathbb {Q}$ - нормування $||_{\infty },$ індуковане абсолютною величиною. Просте число $p$ є цілим додатним числом, яке не має дільників, окрім самого себе й одиниці. Кожне ціле число може єдиним чином бути розкладене у добуток простих за основною теоремою арифметики. Простих чисел є нескінченна кількість, вони розподілені нерегулярно. За теоремою Островського, простими числами можна описати способи увести поняття неперервності на множині $\mathbb {Q} .$ Розгляньмо функцію $|a|_{p}$ від раціонального числа $a\in \mathbb {Q} ,$ яка задовільняє наступній умові: для усіх $c,d\in \mathbb {Z} ,$ які не діляться на $p,$ одержимо рівність $|a|_{p}=p^{-n},$ якщо $a=p^{n}cd^{-1}.$ Ця функція має властивість норми, зокрема $|ad|_{p}=|a|_{p}|b|_{p}$ та $|a+b|_{p}\leq \max(|a|_{p},|b|_{p}).$ Ця норма визначає на множині $\mathbb {Q}$ топологію, у якій $a_{i}\to 0,$ якщо $|a_{i}|_{p}\to 0.$ Така топологія називається $p$-адичною, а додавання й множення є $p$-адично неперервними, відстак можна визначити фундаментальні послідовності й множину границь таких послідовностей, які називаються $p$-адичними числами. Множина $p$-адичних чисел є аналогією до дійсних чисел $\mathbb {R}$ і конструюються на основі поняття абсолютної величини, яку позначають $|a|_{\infty }.$ Повертаючись до теореми Островського, необхідно відзначити, що вона стверджує, що будь-яке нормування на множині $\mathbb {Q}$ задає таку саму топологію, що й $||_{\infty }$ (архімедове нормування) чи $||_{p}$ ($p$-адичне нормування). Два нормування $||_{1}$ та $||_{2}$ на полі $P$ є еквівалентними, якщо вони індукують на цьому полі однакову топологію, тобто $||_{1}=||_{2}^{\lambda }$ для відповідного додатного дійсного числа $\lambda .$ Аналогія між $\mathbb {Q} _{p}$ та $\mathbb {R}$ є неповною, оскільки $p$-адичні числа утворюють польський простір (зокрема, множину Кантора, або, іншими словами, фрактал).

Формула $|a|_{\infty }=\prod _{p}|a|_{p}^{-1}$ означає, що знання звичайної абсолютної величини раціонального числа є еквівалентним знанню усіх його $p$-адичних величин. Іншими словами, $\prod _{\nu }|a|_{\nu }=1,$ де $\nu =\infty$ чи $p=2,3,5,7,...\,.$ У цій формулі розглядається раціональне число $a,$ яке чергується як дійсне, $2$-адичне, $3$-адичне тощо. Нескінченні вектори $(a_{1},a_{2},...),$ де $a_{\infty }\in \mathbb {R}$ та $a_{p}\in \mathbb {Q} _{p},$ називаються аделем, якщо $|a|_{p}\leq 1$ для достатньо великих простих чисел $p.$ Компонентами аделя $\alpha =(a_{\nu })$ є дійсна компонента $a_{\infty }$ та $p$-адичні $p$ для усіх $p.$ Множина усіх аделей утворює топологічне кільце $A_{\mathbb {Q} }$ з покомпонентними додаванням й добутком, комбінуючи у собі архімедові й фрактальні властивості.

Група

Групою називається множина $G$, на якій визначена бінарна операція (тобто тернарне відношення $G^{3},$ або відображення $G\times G\to G$), що називається множенням і позначається $a\cdot b$ (або із опусканням знаку множення, тобто $ab$), маючи наступні властивості:

• асоціативність: для довільних елементів $a,b,c\in G$ виконується $a(bc)=(ab)c;$
• існування нейтрального елемента (ідемпотента): існує елемент $e\in G$ такий, що для кожного елемента $a\in G$ виконується $\ ea=ae=a;$
• існування оберненого елемента: для кожного елемента $a\in G$ існує елемент $a^{-1}$ такий, що $a^{-1}a=aa^{-1}=e.$

Якщо операція має властивість комутативності, тобто $ab=ba$ для довільних $a,b\in G,$ то вона називається абелевою. Якщо чисельність $G$ є скінченною, то група називається скінченною (у протилежному випадку - нескінченною). Чисельність елементів $G$ називається порядком групи.

Для визначення усіх елементів групи буває достатньо взяти лише декотрі з них, а інші отримуються шляхом їх перемноження. Ті елементи, за допомогою яких можна отримати повний набір елементів даної групи, називаються утворюючими елементами групи (або генераторами групи).

Прикладом групи є система $\langle \mathbb {Z} ,+\rangle ,$ що складається з множини цілих чисел та визначеної на ній операції додавання. Справді, для кожного елемента $m$ цієї множини існує протилежний до нього $-m,$ відтак $m-m=0.$ Таким чином, ідемпотентом у цій групі є число $e=0$ (взагалі, число $0$ вважається протилежним самому собі). Операція додавання на множині цілих чисел підпорядковується комутативному й асоціативному законам:

• переставна властивість: $a+b=b+a$ для усіх $a,b\in \mathbb {Z} ;$
• сполучна властивість: $a+(b+c)=(a+b)+c$ для усіх $a,b,c\in \mathbb {Z} .$

Таким чином, група $\langle \mathbb {Z} ,+\rangle$ є абелевою (комутативною).

Комутативна група $G$ є кільцем, якщо у $G$ визначена ще одна операція - добутку, яка наділена переставною, сполучною й розподільною властивостями:

• переставна властивість: $ab=ba$;
• сполучна властивість: $a(bc)=(ab)c$;
• розподільна властивість (відносно додавання): $a(b+c)=ab+ac.$

Варто зауважити, що розподільна властивість може бути лівою чи правою, тобто:

• $a(b+c)=ab+ac$;
• чи $(b+c)a=ba+ca$

для будь-яких $a,b$ та $c,$ які містяться у $G.$ У комутативному кільці $\langle \mathbb {Z} ,+,\cdot \rangle$ обидва (лівий та правий) варіанти розподільності співпадають, однак у загальному випадку їх завжди потрібно розрізняти, оскільки операція добутку може бути некомутативною (як у випадку добутку матриць), тобто за $ab\neq ba.$

Візьмімо довільний елемент $a_{i}\in G$ й утворімо різні степені цього елемента: $a_{i},a_{i}^{2},a_{i}^{3},...,$ де $a_{i}^{2}=a_{i}\cdot a_{i},\,\,\,a_{i}^{3}=a_{i}\cdot a_{i}\cdot a_{i}$ тощо. Якщо група скінченна то члени цієї послідовності будуть повторюватися. У такому випадку говорять, що множина $G$ замкнута відносно операції множення.

Розгляньмо множину ${\mathfrak {C}}=\{1,\,-1,\,i,\,-i\}$ та операцію множення, визначену на цій множині, тобто систему $\langle {\mathfrak {C}},\cdot \rangle .$ Складемо таблицю множення для цієї системи. Можна помітити, що множина ${\mathfrak {C}}$ замкнута відносно операції множення. Ідемпотентом є одиниця $e=1.$

$\cdot$	${\textbf {1}}$	${\textbf {-1}}$	${\textbf {i}}$	${\textbf {-i}}$
${\textbf {1}}$	$1$	$-1$	$i$	$-i$
${\textbf {-1}}$	$-1$	$1$	$-i$	$i$
${\textbf {i}}$	$i$	$-i$	$-1$	$1$
${\textbf {-i}}$	$-i$	$i$	$1$	$-1$

Найменший показник степені $h,$ за якого справджується рівність $a_{i}^{h}=e$ називається порядком елемента $a_{i}\in G.$ Сукупність елементів $a_{i},a_{i}^{2},a_{i}^{3},...,a_{i}^{h}$ є циклом (періодом) елемента $a_{i}.$ Період (цикл) елемента $a_{i}$ утворює підгрупу групи $G.$ Підгрупа є комутативною. Для кожного елемента визначений зворотний: $(a_{i}^{k})^{-1}=a_{i}^{h-k}\,\,\,(k<h).$ Порядок ідемпотента дорівнює одиниці: $h(e)=1.$

Розгляньмо підмножину ${\mathfrak {P}}\subseteq {\mathfrak {C}},$ де ${\mathfrak {P}}=\{1,-1\}.$ Розгляньмо операцію множення на ній за допомогою наступної таблиці.

$\cdot$	${\textbf {1}}$	${\textbf {-1}}$
${\textbf {1}}$	$1$	$-1$
${\textbf {-1}}$	$-1$	$1$

Можна помітити, що підмножина ${\mathfrak {P}}\subseteq {\mathfrak {C}}$ має групові властивості і тому складає підгрупу $\langle {\mathfrak {P}},\cdot \rangle$ групи $\langle {\mathfrak {C}},\cdot \rangle .$

Нехай $G$ - довільна група та $a$ є одним з її елементів, $a\in G.$ Кожний елемент $b,$ який визначається як $b=g^{-1}ag,$ де $g\in G,$ називається спряженим із елементом $a.$ Ще говорять, що елемент $b$ отримується шляхом трансформування елемента $a$ за допомогою елемента $g.$ Позначмо відношення спряженості символом $\sim ,$ тобто $b\sim a.$ Це відношення $\sim$ має наступні властивості:

• кожний елемент є спряженим самому собі, тобто $a\sim a$ (рефлексивність відношення $\sim$), оскільки $a=e^{-1}ae$;
• якщо $b\sim a,$ то $a\sim b$ (симетричність відношення $\sim$), оскільки з рівності $b=g^{-1}ag$ слідує, що $a=gbg^{-1}=(g^{-1})^{-1}bg^{-1}$;
• якщо $a\sim b$ та $b\sim c,$ то $a\sim c$ (транзитивність відношення $\sim$), оскільки з $a=g_{1}^{-1}bg_{1}$ та $b=g_{2}^{-1}cg_{2}$ слідує, що $a=g_{1}^{-1}g_{2}^{-1}cg_{2}g_{1}=(g_{2}g_{1})^{-1}c(g_{2}g_{1}).$

Таким чином, відношення спряженості $\sim$ є рефлексивним, симетричним й транзитивним, а значить, воно є відношенням еквівалентності й визначає розбиття групи $G$ на непересічні підмножини - класи спряжених між собою елементів. Множина елементів, спряжених із даним елементом $a$ (тобто елементів виду $g^{-1}ag,$ де $g\in G$), позначається $[a].$ Таким чином, $a\in [a].$ Число елементів у класі називається порядком класу. Будь-яка скінченна група може бути розбита на декілька класів спряжених елементів.

Одиничний елемент (тобто ідемпотент $e$) завжди сам по собі утворює клас, оскільки $g^{-1}eg=e$ за будь-якого $g\in G.$ Взагалі кажучи, кожний елемент, переставний із усіма іншими елементами групи, утворює окремий клас. У абелевій (комутативній) групі кожний елемент утворює окремий клас, а значить, у комутативній групі число класів спряжених елементів дорівнює порядку групи. У некомутативній групі число класів менше від порядка групи.

Порядки спряжених між собою елементів є однаковими. Справді, якщо $a^{h}=e$ та $b=g^{-1}ag,$ то $b^{h}=g^{-1}ag\cdot g^{-1}ag\cdot \cdot \cdot g^{-1}ag=g^{-1}a^{h}g=e.$ І навпаки, якщо $b^{n}=e,$ то й $a^{n}=e,$ порядки елементів $a$ та $b$ є однаковими.

Підгрупи

Підмножина $A$ групи $G$ називається підгрупою, якщо разом із кожним елементом $a\in A$ вона містить також зворотний до нього елемент $a^{-1}$ та разом із кожними двома $a,b\in A$ містить їх добуток $ab.$ Ці дві вимоги можуть бути виражені однією: для довільних елементів $a,b\in A$ елемент $ab^{-1}$ повинен міститися у $A.$ Будь-яка підгрупа групи $G,$ у свою чергу, сама є групою відсносно операції, яка визначена у $G.$

У будь-якій групі підмножина, яка складається лише з елемента $e$ групи, є підгрупою. Цю підгрупу називають одиничною підгрупою даної групи. Сама група $G$ також завжди є своєю підгрупою, а будь-яка підгрупа, відмінна від усієї групи, називається істинною підгрупою групи $G.$

Циклічні групи

Елемент $g\in G$ та усі його степені ($g^{n}$ за $n>0$ - добуток елементів, який дорівнює $g,$ а $g^{-n}$ - добуток $n$ елементів, рівних $g^{-1}$), то також одержимо підгрупу групи $G.$ Ця підгрупа називається циклічною підгрупою, породженою елементом $g.$ Якщо циклічна підгрупа співпадає із усією групою $G,$ то й сама група $G$ називається циклічною групою.

Якщо для елемента $g\in G$ існує таке натуральне число $n,$ що $g^{n}=e,$ то $g$ називається елементом скінченного порядку. Найменший елемент $n$ із властивістю $g^{n}$ називається порядком елемента $g.$ Якщо немає такого натурального числа $n,$ для якого $g^{n}=e,$ то $g$ називається елементом нескінченного порядку; у цьому випадку усі степені елемента $g$ (разом із від'ємними) є різними; зокрема, жодний степінь не дорівнює $e,$ окрім $g^{0}=e.$

У випадку, коли елемент $g\in G$ має нескінченний порядок, то циклічна підгрупа групи $G$ є нескінченною. Якщо $g$ має порядок $n,$ то підгрупа групи $G$ також має порядок; підрупа у цьому випадку складається із різних елементів $e,g,g^{2},...,g^{n-1},$ яким дорівнюють усі інші степені елемента $g,$ як додатні, так й від'ємні.

Послідовності підгруп

Нехай $M$ - непуста підмножина групи $G.$ Сукупність елементів групи $G,$ які дорівнюють добуткам (додатний й від'ємних) степенів елементів $m\in M$ (до кожного добутку входить скінченне число множників), утворюють підгрупу групи $G.$ Ця підгрупа називається підгрупою, яка породжена множиною $M$ й позначається $\{M\}$. Елемент підгрупи $\{M\}$ має вигляд $m_{\alpha _{1}}^{k_{1}}\cdot \cdot \cdot m_{\alpha _{n}}^{k_{n}},$ де кожне $k_{i}$ за $i={\overline {1,n}}$ є цілим числом, а $m_{\alpha _{1}},...,m_{\alpha _{n}}$ - елементи множини $M.$ Серед елементів $m_{\alpha _{1}},...,m_{\alpha _{n}}$ можуть бути й однакові, зокрема $m_{1}^{2},m_{2}^{-1},m_{1}^{-3},m_{3},m_{2}^{2}\in \{M\},$ якщо $m_{1},m_{2},m_{3}\in M.$ Підгрупа $\{M\}$ міститься у будь-якій підгрупі групи $G,$ яка містить цілком множину $M,$ та є перетином усіх підгруп групи $G,$ які містять $M.$

Множину $M$ називають системою генераторів (утворюючих) підгрупи $\{M\}.$ У випадку, коли підгрупа $\{M\}$ співпадає із усією групою $G,$ то $M$ є системою утворюючих групи $G.$ Якщо множина $M$ скінченна, то $G$ називається групою із скінченною системою генераторів. Зокрема, наприклад, множина усіх елементів групи $G$ завжди є її системою генераторів.

У випадку, коли множина $M$ складається лише одного елемента, то породжена цим елементом підгрупа є циклічною підгрупою, породженою цим елементом. Якщо множина $M$ складається з усіх елементів, які належать декотрим підгрупам $A,B,C,...$ групи $G,$ то підгрупа $\{M\}$ є підгрупою, яка породжена заданими підгрупами, і позначається $\{A,B,C,...\}.$ Підгрупа, яка є породженою декотрою множиною підгрупа групи $G,$ складається з усіх елементів групи, які дорівнюють добуткам елементів, які належать до цих підгруп. Зокрема, така підгрупа є мінімальною підгрупою групи $G,$ яка містить усі задані пігрупи.

Нехай $A_{1},A_{2},...,A_{n},...$ - підгрупи групи $G$ такі, що $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq ...\subseteq A_{n}\subseteq ...$ (зростаюча послідовність підгруп). У цьому випадку підгрупа, яка породжена цими підгрупами, співпадає із множиною усіх елементів групи $G,$ кожний з яких належить хоча б до однієї з цих підгруп, і називається об'єднанням зростаючої послідовності підгруп. Наприклад, адитивна група усіх раціональних чисел - об'єднання зростаючої послідовності своїх циклічних підгруп: $\{1\}\subset \{{\frac {1}{2}}\}\subset \{{\frac {1}{6}}\}\subset ...\{{\frac {1}{n!}}\}\subset ...\,.$

Гомоморфізми та ізоморфізми груп

Для вирішення задач буває зручно представляти елементи групи $G$ елементами деякої іншої групи ${\tilde {G}},$ які задовільняють тій самій таблиці множення, що й елементи групи $G.$ При цьому якщо між елементами групи $G$ та ${\tilde {G}}$ встановлюється бієктивна відповідність (взаємно однозначне відображення) $g_{i}\leftrightarrow {\tilde {g}}_{i},$ що не змінюється за групового множення:

$(g_{i}\cdot g_{k}=g_{m})\leftrightarrow ({\tilde {g}}_{i}\cdot {\tilde {g}}_{k}={\tilde {g}}_{m}),$

то такі групи $G$ та ${\tilde {G}}$ називаються ізоморфними. Відношення ізоморфізму наділене властивостями рефлексивності, симетрії й транзитивності й позначається символами $\simeq$ чи $\leftrightarrow$. Нехай $M,P,Q$ - довільні множини. Тоді:

• $M\simeq M$ (рефлексивність);
• якщо $M\simeq P,$ то $P\simeq M$ (симетричність);
• якщо $M\simeq P$ та $P\simeq Q,$ то $M\simeq Q$ (транзитивність).

Якщо кожному елементові групи $G$ відповідає лише один елемент групи ${\tilde {G}},$ а кожному елементові групи ${\tilde {G}}$ відповідає декілька елементів групи $G,$ тобто ${\tilde {g}}_{m}\leftrightarrow g_{m_{1}},g_{m_{2}},...,$ за збереження цієї властивості при груповому множенні, то групи ${\tilde {G}}$ та $G$ називаються гомоморфними. При цьому кажуть, що більша група гомоморфна на меншу (накладання).

Ізоморфізм є частковим випадком гомоморфізму (відповідно, бієктивне відображення - частковий випадок сюр'єктивного), за якого відповідність між елементами груп є взаємно однозначною. Встановлення ізоморфізму груп дозволяє звести дослідження однієї групи до дослідження іншою.

Представленням групи називається відображення $f$ групи $G$ на декотру множину квадратних матриць, що задовільняє наступним умовам:

• $f(g_{1},g_{2})=f(g_{1})f(g_{2});$
• $f(g^{-1})=f(g)^{-1}$

для довільних $g_{1},g_{2},g^{-1}\in G.$ Елементи $g_{1}\cdot g_{2}$ та $g^{-1}$ позначають відповідно добуток елементів $g_{1}$ й $g_{2}$ та зворотний елемент у групі, а $f(g_{1})\cdot f(g_{2})$ та $f(g)^{-1}$ - добуток матриць й зворотну матрицю. Іншими словами, представлення групи є гомоморфізмом групи у групу усіх невироджених матриць порядку $n,$ де $n$ - розмірність представлення.

Наприклад, група перестановок $G$, що складається з трьох елементів $a,b,c\in G,$ може бути представлена наступним чином:

${\begin{matrix}f_{1}(G)=(abc)={\begin{pmatrix}100\\010\\001\end{pmatrix}},\quad \quad f_{2}(G)=(cab)={\begin{pmatrix}001\\100\\010\end{pmatrix}},\quad \quad f_{3}(G)=(bca)={\begin{pmatrix}010\\001\\100\end{pmatrix}},\quad \quad f_{4}(G)=(cba)={\begin{pmatrix}001\\010\\100\end{pmatrix}}\\\,\\f_{5}(G)=(acb)={\begin{pmatrix}100\\001\\010\end{pmatrix}},\quad \quad f_{6}(G)=(bac)={\begin{pmatrix}010\\100\\001\end{pmatrix}}.\end{matrix}}$

Набір функцій $\{f_{i}\},$ за допомогою яких побудовані матриці $M_{i}=f_{i}(g_{i}),$ називається базисом представлення. При цьому кажуть, що множина функцій $\{f_{i}\}$ перетворюється по представленню $M.$ Якщо усі матриці $M$ є різними, то представлення є ізоморфним групі (таке представлення називається точним). Таким чином, кожній операції $g_{i}$ (у нашому прикладі - підстановці) групи $G$ ставиться у відповідність квадратна матриця $M$ розмірності $n,$ тобто $M_{i}=f_{i}(g_{i}).$ Сукупність таких матриць $M$ утворює представлення групи $G.$

Будь-яка група $G$ має представлення, яке визначається рівністю $f(g)=E$ для усіх елементів $g\in G,$ де $E$ - одинична матриця порядку $n.$ Таке представлення називається тривіальним.

Якщо представлення $M$ побудоване у базисі $\{f_{i}\}$ розмірності $n,$ а представлення $M^{*}$ - у базисі $\{f_{i}^{*}\},$ що отримується за допомогою лінійного перетворення

${\begin{cases}f_{1}^{*}=a_{11}f_{1}+a_{12}f_{2}+...+a_{1n}f_{n},\\f_{2}^{*}=a_{21}f_{1}+a_{22}f_{2}+...+a_{2n}f_{n},\\.....................\\f_{n}^{*}=a_{n1}f_{1}+a_{n2}f_{2}+...+a_{nn}f_{n},\end{cases}}$

або, у загальному вигляді $\bigwedge _{i=1}^{n}f_{i}^{*}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}f_{k},$ то такі представлення $M$ та $M^{*}$ називаються еквівалентними. Перетворення представлення $M$ до будь-якого еквівалентного називається подібним (спряженим) перетворенням, тобто $M^{*}=A^{-1}\cdot M\cdot A.$ Таким чином, квадратна матриця (представлення) $M^{*}$ отримується шляхом трансформування (лінійного перетворення) матриці $M$ за допомогою матриці переходу $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{pmatrix}}.$

Автоморфізми

Нехай $G$ - група, а $M$ - множина. Через $\mathrm {Aut} (M)$ позначається група усіх взаємно однозначних відображень $M$ у себе. Гомоморфізм $f:G\to \mathrm {Aut} (M)$ називається дією групи $G$ на множині $M$ або представленням групи $G$ автоморфізмами множини $M.$ Автоморфізм є різновидом гомоморфізму. Відображення $f(g):M\to M,$ яке відповідає елементу $g\in G$ за дії $f$ можна записати наступним чином: $f_{g}:M\to M.$ Факт того, що зіставлення $g\mapsto f_{g}$ є гомоморфізмом груп, значить, що $f_{gh}=f_{g}\circ f_{h}$ для усіх $g,\,h\in G.$

Дія є транзитивною, якщо будь-який елемент множини $M$ можна перетворити у будь-який інший елемент яким-небудь перетворенням з групи $G.$ Наприклад, нехай $x_{1},x_{2}\in M,$ тоді перетворення елемента $x_{1}$ у елемент $x_{2}$ посередництвом перетворення $g$ з групи $G$ запишеться рівністю $gx_{1}=x_{2}.$

Дія є вільною, якщо кожний відмінний від одиниці елемент $g$ групи $G$ дії на $M$ без рухомих елементів, тобто для усіх $g\in G$ та $x\in M$ справджується $gx=x\Rightarrow g=e.$

Дія $f:g\to \mathrm {Aut} (M)$ є точною (або ефективною), якщо кожний відмінний від нуля елемент групи діє на $M$ нетотожно, тобто коли ядро відображення $\mathrm {ker} \,f=e.$ Ядром $\mathrm {ker}$ називається прообраз одиниці $e\in G,$ тобто $\mathrm {ker} \,f\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\,f^{-1}(e)=\{g\in G\,|\,f(g)=e\}.$ Точне представлення ототожнює групу $G$ із групою перетворень $f(G)\subset \mathrm {Aut} (M).$ Необхідно відзначити, будь-яка вільна діє є точною.

Деякі групи

Вільні групи

Група $G$ називається вільною групою, якщо існує підмножина $M\in G$ така, що кожен елемент $G$ записується як добуток скінченного числа елементів $m_{i}\in M$ та їх обернених елементів $m_{i}^{-1}.$.

Нехай $G$ - довільна множина, елементи якої називаються генераторами. Розгляньмо множину усіх скінченних слів $s,$ утворених з елементів $a$ множини $G,$ а також зворотних до них $a^{-1}.$ Слова розглядаються як добутки генераторыв й зворотних до них. Добутком слів $s_{1}$ та $s_{2}$ називається слово, одержане з $s_{1}$ приписуванням до нього праворуч слова $s_{2}.$ При цьому слова розглядаються із точністю до елементарних скорочень, тобто усувань підслів виду $aa^{-1}$ та $a^{-1}a.$ Такі скорочення називаються редукціями, і у випадку, коли вони усі виконані, то слово називається редукованим. Нейтральним елементом буде слово, яке прийнято позначати $\lambda .$ Зворотним елементом до слова $s=a_{i_{1}}\cdot \cdot \cdot a_{i_{k}}$ є слово $s^{-1}=a_{i_{k}}^{-1}\cdot \cdot \cdot a_{i_{1}}^{-1}.$ Таким чином, множина редукованих слыв (або множина класів слів), розглядуваних із точністю до редукції, утворює групу, яка називається вільною групою над $G.$ Потужність множини $G$ називається рангом вільної групи. Вільні групи однакового рангу є ізоморфними.

Нехай тепер $G$ та $H$ - вільні групи. Розгляньмо множину ${\overline {G*H}},$ яка складається з послідовностей (слів) $g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{n}h_{n},$ де $g_{i}\in G$ та $h_{i}\in H.$ Якщо $h_{i}=\lambda ,$ то

$g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}...g_{i}h_{i}g_{i+1}h_{i+1}\cdot \cdot \cdot g_{n}h_{n}\sim g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdot \cdot \cdot g_{i}g_{i+1}h_{i+1}\cdot \cdot \cdot g_{n}h_{n}$;

якщо $g_{i+1}=\lambda ,$ то

$g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdot \cdot \cdot g_{i}h_{i}g_{i+1}h_{i+1}\cdot \cdot \cdot g_{n}h_{n}\sim g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdot \cdot \cdot g_{i}h_{i}h_{i+1}g_{i+2}\cdot \cdot \cdot g_{n}h_{n}.$

Тут у кожному слові усі комбінації виду $g_{1}\lambda g_{2}$ можна замінити на $g_{1}g_{2},$ a $h_{1}\lambda h_{2}$ - на $h_{1}h_{2}.$ Множина класів еквівалентності позначається $G*H.$ Група $G*H$ називається вільним добутком груп $G$ та $H$.

Диференціальна група

Диференціальна група - система $\langle {\mathcal {Ab}},d\rangle ,$ у якій елементи підгрупи $d({\mathcal {Ab}})$ називаються границями (елемент $da$ називається границею елемента $a\in A$), а елементи підгрупи $d^{-1}(0)$ називаються циклами (тобто циклами називаються елементи, границі яких дорівнюють нулю). Через $d$ позначається диференціал (ендоморфізм). Довільні елементи диференціальної групи (не обов'язково цикли чи границі) називаються також ланцюгами. Квадрат ендоморфізму $d^{2}=0.$ Іншими словами, диференціальна група - це абелева група ${\mathcal {Ab}},$ наділена диференціалом (ендоморфізмом).

Множина підгруп $({\mathcal {Ab}}^{p}),$ де $p$ - ціле число (від'ємне чи додатне), визначає на ${\mathcal {Ab}}$ зростаючу послідовність (фільтрацію), якщо справджуються наступні умови:

$\bigcup _{p}{\mathcal {Ab}}^{p}={\mathcal {Ab}},\quad \quad {\mathcal {Ab}}^{p}\subset {\mathcal {Ab}}^{p+1},\quad \quad d({\mathcal {Ab}}^{p})\subset {\mathcal {Ab}}^{p},\quad \quad {\mathcal {Ab}}^{-\infty }=0,\quad \quad {\mathcal {Ab}}^{+\infty }={\mathcal {Ab}}.$

Нехай $a\in {\mathcal {Ab}}.$ Через $\inf(a)$ позначмо нижню грань таких цілих чисел $p,$ що $a\in {\mathcal {Ab}}^{p}.$ Відображення $a\to \inf(a)$ має наступні властивості:

$\inf(a-b)\leq \max(\inf(a),\,\inf(b)),\quad \quad \inf(da)\leq \inf(a),\quad \quad \inf(0)=-\infty .$

Та навпаки, якщо на ${\mathcal {Ab}}$ задана функція $\inf(a)$ із цілочисельними значеннями (у тому числі $-\infty$), яка є наділеною двома вказаними властивостями, то вона визначає на ${\mathcal {Ab}}$ зростаючу послідовність. Тоді ${\mathcal {Ab}}^{p}$ можна визначити як множину таких елементів $a,$ для яких $\inf(a)\leq p.$

Алгебра

Нехай $a$ - довільний елемент кільця $A.$ Тоді у цьому кільці будуть міститися наступні елементии: $a+a=2a=a2$ та $a+a+a=3a=a3$ тощо, тобто елементи $an=na,$ де $n$ є цілим раціональним числом. Разом із елементом $a\in A$ кільце містить також елементи $\alpha \cdot a=a\cdot \alpha ,$ де $\alpha$ - довільний елемент декотрого поля $P.$ Кільця для яких справедливі ці умови, називаються алгебрами над полем $P.$ Елементи поля $P$ є переставними (комутативними) відносно множення із елементами алгебри $A.$

Розгляньмо алгебру $A$ із елементом $a_{1}$ та усі елементи $\alpha _{1}a,$ де $\alpha _{1}\in P.$ Алгебра не вичерпується елементами $\alpha _{1}a_{1},$ яка віднайдеться елемент $a_{2},$ який не представляється у формі $\alpha _{1}a_{1}.$ Відтак у $A$ містяться також елементи $\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2},$ де $\alpha _{2},\alpha _{2}$ приймають довільні значення з поля $P.$ Різним $\alpha _{1}$ та $\alpha _{2}$ відповідають різні елементи алгебри $A,$ оскільки з рівності $\alpha _{1}a_{1}=\alpha _{2}a_{2}=\beta _{1}a_{1}+\beta _{2}a_{2}$ за $\alpha _{1}\neq \beta _{1}$ та $\alpha _{2}\neq \beta _{2}$ можна було одержати $a_{2}={\frac {\alpha _{1}-\beta _{1}}{\beta _{2}-\alpha _{2}}}\cdot a_{1},$ відтак ми одержали би суперечливість із умовою, що $a_{2}$ не може бути представлене у вигляді $\alpha _{1}\cdot a_{1}.$

Якщо алгебра $A$ не вичерпується елементами $\alpha _{1}a_{2}+\alpha _{2}a_{2},$ то у ній міститься елемент $a_{3}$ із елементами $\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2}+\alpha _{3}a_{3},$ де $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\in P,$ причому різним елементам $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ відповідають різні елементи алгебри $A.$ Якщо продовжувати ці міркування, то ми вичерпаємо алгебру $A$ за допомогою скінченного числа елементів $a_{1},a_{2},a_{3},...,$ чи не вичерпаємо, скільки б не знаходилося елементів $a_{i}.$ Якщо алгебра вичерпна у вказаному сенсі, вона називається алгеброю скінченного порядку, де порядок - чисельність $n$ елементів $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ такі, що усі елементи $\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2}+...\alpha _{n}a_{n},$ які є незалежними, тобто $\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2}+...+\alpha _{n}a_{n}=0,$ вичерпають алгебру $A.$ Множина елементів $[a_{1},a_{2},...,a_{n}]$ називається базисом алгебри. Якщо алгебра $A$ містить нескінченне число незалежних елементів, то вона називається алгеброю нескінченного порядку.

Далі, якщо у кільці $K$ для довільного елемента $a$ справджується умова $a^{2}=0$ та для довільних елементів справджується рівність $a(bc)+b(ca)+c(ab)=0,$ яка називається тотожністю Якобі, то таке кільце називається кільцем Лі. Наприклад, усі цілі числа, а також усі раціональні, усі дійсні та комплексні числа відносно звичайних операцій додавання та множення чисел утворюють комутативне кільце. Абелева група, яка утвориться, якщо розглядати лише одну операцію додавання, називається адитивною групою кільця. Нулевий елемент цієї групи називається нулем кільця, а добуток довільного елемента $a$ кільця на нуль дорівнює нулю, тобто $a\cdot 0=0.$ Якщо для елементів $a,b\in K$ справджується рівність $ab=0,$ але $a\neq 0$ та $b\neq 0,$ то $a$ та $b$ називаються дільниками нуля ($a$ - лівий дільник нуля, а $b$ - правий). Якщо у $K$ немає дільників нуля, тоді $K$ називають кільцем без дільників нуля. Комутативне кільце без дільників нуля називається областю цілочисельності. Зокрема, будь-яке кільце, у якому елементи є числами, а операції - звичайними операціями додавання й множення числ, є областю цілочисельності. Поліноми, визначені й неперервні на сегменті $[-1,1]$ відносно звичайних операцій додавання та множення поліномів утворюють кільце із дільниками нуля, зокрема, добуток поліномів

$P_{1}(x)={\begin{cases}-1\leq x\leq 0\Rightarrow 0,\\0<x\leq 1\Rightarrow x;\end{cases}}\quad P_{2}(x)={\begin{cases}-1\leq x\leq 0\Rightarrow x,\\0<x\leq 1\Rightarrow 0,\end{cases}}$

жодний з яких не дорівнює нулю кільця, є нулем.

Зрозуміло, що кільце $A$ є алгеброю над полем $P,$ якщо воно містить адитивну групу, тобто векторний простір над полем $P,$ та якщо множення у $A$ є пов'язаним із множенням на елементи з $P$ формулою $\alpha (ab)=(\alpha a)b=a(\alpha b),$ де $a,b\in A$ та $\alpha \in P.$ Якщо векторний простір є адитивною групою у алгебрі $A$ та є скінченновимірним (розмірності $n$), то число $n$ називають рангом алгебри $A.$ Множина усіх квадратних матриць порядку $n$ із комплексними елементами, у якій визначені звичайні операції додавання та множення матриць та операція множення матриці на комплексне число, є алгеброю рангу $n^{2}$ над полем комплексних чисел $\mathbb {C} .$ Довільне поле є алгеброю рангу $1$ над самим собою.

Алгебри скінченного рангу називаються гіперкомплексними системами. Якщо алгебра $A$ є кільцем Лі, то вона називається алгеброю Лі. Наприклад, множина усіх векторів трьохвимірного простору, у якій вектори додаються та множаться на числа звичайним чином, а добуток двох векторів є векторним добутком, то ця множина називається алгеброю Лі над полем дійсних чисел $\mathbb {R} .$

Якщо векторний простір над полем $P,$ який є адитивною групою алгебри $A,$ містить базис $e_{1}\land e_{2}\land ...\land e_{n},$ то достатньо знати значення добутку довільного елемента алгебри $A$ на довільний інший її елемент. Зокрема, якщо $a,b\in A,$ причому $a=\alpha _{1}e_{1}+...\alpha _{n}e_{n}$ та $b=\beta _{1}e_{1}+...+\beta _{n}e_{n},$ де $i={\overline {1,n}},$ то тоді $ab=\alpha _{1}\beta _{1}e_{1}^{2}+\alpha _{1}\beta _{2}e_{1}e_{2}+...+\alpha _{1}\beta _{n}e_{1}e_{n}+\alpha _{2}\beta _{1}e_{2}e_{1}+...+\alpha _{n}\beta _{n}e_{n}^{2}.$ Таким чином, задання алгебри скінченного рангу таблицею множення, де для довільних двох елементів $e_{i}$ та $e_{j}$ базису векторного простору, який є адитивною групою алгебри, вказується лінійна комбінація елементів цього базису, яка дорівнює добутку $e_{i}e_{j}.$ Наприклад, якщо у алгебрі усіх комплексних чисел $\mathbb {C}$ над полем $\mathbb {R}$ в якості базису обрати елементи $1$ та $i$ (уявну одиницю), то тоді таблиця множення буде мати вигляд:

$\cdot$	${\textbf {1}}$	${\textbf {i}}$
${\textbf {1}}$	$1$	$i$
${\textbf {i}}$	$i$	$-1$

Коли для добутку елементів базису справджуються сполучний та переставний закони, то взагалі множення, визначене у алгебрі, є відповідно асоціативним й комутативним.

Алгебра, адитивною групою якої є чотирьохвимірний векторний простір над полем дійсних чисел $\mathbb {R}$ із базисом $1,i,j,k$ та у якій множення задане наступною таблицею множення

$\cdot$	${\textbf {1}}$	${\textbf {i}}$	${\textbf {j}}$	${\textbf {k}}$
${\textbf {1}}$	$1$	$i$	$j$	$k$
${\textbf {i}}$	$i$	$-1$	$k$	$-j$
${\textbf {j}}$	$j$	$-k$	$-1$	$i$
${\textbf {k}}$	$k$	$j$	$-i$	$-1$

називається алгеброю кватерніонів. Алгебра кватерніонів є некомутативною, але асоціативною алгеброю із діленням, елементами якої є кватерніони, які записуються у вигляді $z=1\cdot \beta i+\gamma j+\delta k,$ де $\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R} .$ Кватерніон $z^{*}=\alpha \cdot 1-\beta i-\gamma j-\delta k$ називається спряженим до $z$; добуток $zz^{*}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}=|z|^{2}.$ Зворотним до кватерніона $z\neq 0$ у алгебрі є кватерніон $z^{-1}={\frac {z^{*}}{|z|^{2}}}.$

За теоремою Фробеніуса, поле дійсних чисел $\mathbb {R}$ та поле комплексних чисел $\mathbb {C}$ й алгебра кватерніонів є єдиними асоціативними алгебрами із діленням скінченного рангу над полем дійсних чисел.

Алгебри $A$ та ${\mathfrak {A}}$ над одним і тим самим полем $P$ називають ізоморфними, якщо між їхніми елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність, яка дає ізоморфізм $A\simeq {\mathfrak {A}}$ кілець, причому якщо будь-якому елементові $a\in A$ відповідає елемент ${\mathfrak {a}}\in {\mathfrak {A}},$ то для будь-якого $\alpha \in P$ елементу $\alpha a$ відповідає $\alpha {\mathfrak {a}}.$

Наприклад, алгебра усіх комплексних чисел над полем $\mathbb {R}$ є ізоморфною алгебрі усіх квадратних матриць другого порядку ${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-\beta &\alpha \end{pmatrix}}$ із дійсними $\alpha ,\beta \in \mathbb {R} .$

Кажуть, що алгебра $A$ над полем $P$ є гомоморфно відображена на алгебру $B$ над тим самим полем, якщо кільце $A$ гомоморфно відображене на кільце $B.$ У цьому випадку елементу $a\in A$ відповідає елемент $b\in B,$ причому для будь-якого $\alpha \in P$ елементові $\alpha a$ відповідає елемент $\alpha b.$

Підкільце $C$ алгебри $A$ над полем $P$ називається підалгеброю алгебри $A,$ якщо адитивна група підкільця є підпростором простору, який є адитивною групою алгебри $A.$ Якщо підалгебра $C$ є лівим, правим чи двостороннім ідеалом кільця $A,$ то вона називається відповідно лівим, правим чи двостороннім ідеалом алгебри $A.$ Таким чином, підалгебра $C$ алгебри $A$ лише тоді є лівим ідеалом цієї алгебри, якщо вона містить разом із кожними двома елементами $c_{1},c_{2}\in C$ їхню різницю, $(c_{1}-c_{2})\in C,$ та разом із кожним елементом $c\in C$ містить також добуток $ac\in C$ будь-якого елемента $a\in A$ на елемент $c,$ а також добуток $\alpha c$ довільного елемента $\alpha$ з поля $P$ на елемент $c.$ Зокрема, наприклад, кватерніони виду $\alpha \cdot 1+\beta i$ у алгебрі кватерніонів утворюють підалгебру (яка є ізоморфною алгебрі усіх комплексних чисел над полем $\mathbb {R}$). Алгебра усіх квадратних матриць другого порядку над полем $\mathbb {C}$ матриці ${\begin{pmatrix}0&\alpha \\0&\beta \end{pmatrix}}$ утворюють лівий ідеал.

У випадку, якщо $C\subset A$ є двостороннім ідеалом над полем $P,$ то можна розглядати фактор-кільце $A/C.$ Якщо увести у цьому факторкільці операцію множення на елементи з поля $P$ за правилом $\alpha (a+C)=\alpha a+C,$ де $\alpha \in P$ та $a\in A,$ то одержимо алгебру над полем $P,$ яка називається фактор-алгеброю алгебри $A$ по ідеалу $C.$