Виведення рівняння гравітаційних хвиль в ЗТВ

Теоретичні викладки

Одним із теоретичних висновків рівняння Ейнштейна для гравітаційного поля:

$(1)\qquad G_{ij}=R_{ij}-{R \over 2}g_{ij}={8\pi G \over c^{4}}T_{ij}$

є існування гравітаційних хвиль. Ці хвилі мають зазвичай дуже малу амплітуду, винятком може бути хіба що екзотичний випадок обертання двох дуже близько розташованих чорних дірок. Ця амплітуда настільки мала, що ще і досі гравітаційні хвилі не виявлені експериментально.

Проблема виведення рівняння гравітаційних хвиль малої амплітуди

Для виведення рівняння гравітаційних хвиль малої амплітуди ми можемо скористатися лінеаризованим рівнянням Ейнштейна зі статті Слабке гравітаційне поле, але не відкидатимемо ніяких лінійних доданків. Для варіації тензора Річчі маємо формулу (для зручності ця формула помножена на два):

$(2)\qquad 2\delta R_{ij}=-\nabla ^{2}\delta g_{ij}+R_{i}^{s}h_{sj}+R_{j}^{s}h_{si}-2R_{\;i\;j}^{s\;p\;}h_{sp}$

де симетричний тензор $h_{ij}$ пов'язаний з варіацією $\delta g_{ij}$ метричного тензора і має до того ж нульову дивергенцію:

$(3)\qquad h_{ij}=\delta g_{ij}-{1 \over 2}(g^{ps}\delta g_{ps})g_{ij};\qquad \nabla ^{j}h_{ij}=0$

з формули (2) легко можна одержати і варіацію тензора Ейнштейна $G_{ij}$:

$(4)\qquad 2\delta G_{ij}=\delta \left(R_{ij}-{R \over 2}g_{ij}\right)=-\nabla ^{2}h_{ij}+R_{i}^{s}h_{sj}+R_{j}^{s}h_{si}-2R_{\;i\;j}^{s\;p\;}h_{sp}+\left(R^{sp}h_{sp}\right)g_{ij}-Rh_{ij}$

Формулу (4) треба прирівняти до варіації $\delta T_{ij}$ тензора енергії-імпульсу з відповідним (формула 1) коефіцієнтом пропорційності:

$(5)\qquad -\nabla ^{2}h_{ij}+R_{i}^{s}h_{sj}+R_{j}^{s}h_{si}-2R_{\;i\;j}^{s\;p\;}h_{sp}+\left(R^{sp}h_{sp}\right)g_{ij}-Rh_{ij}={16\pi G \over c^{4}}\delta T_{ij}$

Права частина цього рівняння становить проблему у випадку присутності матерії, тобто ненульового тензора $T_{ij}$. Дійсно, розглянемо дві ситуації, для незбуреної метрики $g_{ij}$ без гравітаційних хвиль і для збуреної метрики ${\tilde {g}}_{ij}=g_{ij}+\delta g_{ij},\;\delta g_{ij}\neq 0$ в присутності гравітаційної хвилі. В обох випадках дивергенція тезора енергії-імпульсу повинна дорівнювати нулю:

$(6)\qquad \nabla _{j}T_{i}^{j}=0,\qquad {\tilde {\nabla }}_{j}{\tilde {T}}_{i}^{j}=0$

Зазначимо, що у формулах (6) різні не лише тензори $T_{i}^{j}$, але і оператори набла $\nabla _{j}$ - оскільки в них входять залежні від метрики символи Крістофеля. Отже маємо:

$(7)\qquad 0=\delta \left(\nabla _{j}T_{i}^{j}\right)=\partial _{j}\delta T_{i}^{j}+\delta \left(\Gamma _{js}^{j}T_{i}^{s}\right)-\delta \left(\Gamma _{ji}^{s}T_{s}^{j}\right)=\nabla _{j}\delta T_{i}^{j}+T_{i}^{s}\delta \Gamma _{js}^{j}-T_{s}^{j}\delta \Gamma _{ji}^{s}$

Якщо тензор енергії-імпульсу не дорівнює нулю $T_{i}^{j}\neq 0$ і варіація символів Крістофеля не дорівнює нулю $\delta \Gamma _{ij}^{s}\neq 0$, то у загальному випадку два останні доданки формули (7) теж будуть ненульовими і не компенсуються взаємно. Це означає, що і варіація $\delta T_{i}^{j}\neq 0$. Але кількість рівнянь (7) дорівнює чотирьом ($i=\{0,1,2,3\}$), а тому з цих рівнянь не слідує однозначно, якими повинні бути всі десять компонент варіації тензора енергії-імпульсу $\delta T_{i}^{j}$.

Це принципова проблема, яка ще чекає свого дослідника: для її вирішення слід залучати якісь сторонні (окрім рівняння Ейнштейна) фізичні міркування.

Гравітаційні хвилі в пустоті

У пустоті $T_{ij}=0$, а тому два останні доданки у правій частині формули (7) дорівнюють нулю. Ми можемо вважати, не входячи в суперечність з формулою (7), що при проходженні гравітаційної хвилі варіація тензора енергії-імпульса теж дорівнює нулю:

$(8)\qquad \delta T_{ij}=0$

Далі, із рівняння Ейнштейна (1) слідує, що в пустоті скалярна кривина $R$ і тензор Річчі $R_{ij}$ дорівнюють нулю:

$(9)\qquad R_{ij}-{R \over 2}g_{ij}=0$

$(9a)\qquad g^{ij}\left(R_{ij}-{R \over 2}g_{ij}\right)=R-{R \over 2}4=-R=0$

$(9b)\qquad R_{ij}={R \over 2}g_{ij}={0 \over 2}g_{ij}=0$

Підставляючи (8) і (9) в формулу (5) одержуємо рівняння гравітаційних хвиль в пустоті:

$(10)\qquad \nabla ^{2}h_{ij}+2R_{\;i\;j}^{s\;p\;}h_{sp}=0$

Хвилі у плоскому просторі Мінковського

Рівняння (10) все ще складне, і оскільки у земних умовах гравітаційне викривлення простору невелике, то не буде великої похибки, якщо ми обмежимося плоским простором Мінковського з метрикою:

$(11)\qquad (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

Для цієї метрики тензор внутрішньої кривини $R_{ijkl}$ дорівнює нулю, коваріантні похідні $\nabla _{i}$ збігаються з частинними похідними ${\partial \over \partial x^{i}}$, а лапласіан $\nabla ^{2}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}$ стає оператором Даламбера:

$(12)\qquad \Box ={\partial ^{2} \over \partial (x^{0})^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial (x^{1})^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial (x^{2})^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial (x^{3})^{2}}={1 \over c^{2}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}$

Отже система рівняннь (10) записується так:

$(13)\qquad \Box h_{ij}=0$

і розпадається на десять незалежних рівнянь, по одному на кожну незалежну компоненту симетричного тензора $h_{ij}$. Ці рівняння можна розв'язувати незалежно, а потім на загальний розв'язок накласти умову бездивергентності:

$(14)\qquad \nabla ^{j}h_{ij}=g^{jk}\nabla _{k}h_{ij}=\partial _{0}h_{i0}-\partial _{1}h_{i1}-\partial _{2}h_{i2}-\partial _{3}h_{i3}=0$

Плоска хвиля

Загальний розв'язок

Розглянемо гравітаційну хвилю, що рухається вздовж однієї просторової координати $x^{1}$, тобто величини $h_{ij}$ залежать лише від часу $x^{0}=ct$ і цієї координати $x^{1}$, і не залежать від двох інших просторових координат $x^{2},\,x^{3}$:

$(15)\qquad h_{ij}=h_{ij}(x^{0},x^{1})$

Тоді рівняння (13) стає одновимірним хвильовим рівнянням:

$(16)\qquad {\partial ^{2}h_{ij} \over \partial (x^{0})^{2}}-{\partial ^{2}h_{ij} \over \partial (x^{1})^{2}}=0$

і як відомо, має наступний загальний розв'язок:

$(17)\qquad h_{ij}=F(x^{0}+x^{1})+G(x^{0}-x^{1})$

Перший доданок $F(x^{0}+x^{1})$ описує хвилю довільної форми, що рухається по осі $x^{1}$ з плюс нескінченності в мінус нескінченність, причому зі швидкістю світла, оскільки $x^{0}=ct$. Другий доданок описує аналогічну хвилю, яка рухається у зустрічному напрямку.

Оскільки пряма і зустрічна хвилі повністю аналогічні і не взаємодіють між собою, то у подальшому аналізі можна обмежитися тільки однією з них, і вважати всі величини $h_{ij}$ функціями однієї змінної:

$(18)\qquad h_{ij}=h_{ij}(\xi ),\qquad \xi =x^{0}+x^{1}$

Похідні по $\xi$ позначатимемо штрихом, тоді:

$(19)\qquad \partial _{0}h_{ij}=\partial _{1}h_{ij}=h_{ij}'={dh_{ij} \over d\xi }$

$(20)\qquad \partial _{2}h_{ij}=\partial _{3}h_{ij}=0$

Накладення умов бездивергентності

Рівняння (14) для хвилі з врахуванням (19) і (20) запишеться так:

$(21)\qquad h_{i0}'-h_{i1}'=0$

і легко інтегрується:

$(22)\qquad h_{i1}=h_{i0}+c_{i}$

де $c_{i}$ - константи інтегрування.

Отже, гравітаційна хвиля описується десятьма функціями $h_{ij}(\xi )$, чотири із яких за формулами (15) виражаються через решту. Отже маємо шість функцій і чотири константи. Покажемо, що чотири із цих шести функцій, а також усі константи можна обнулити, якщо правильно замінити систему координат.

Залишок свободи у виборі системи координат

Як відомо (дивіться статтю Метричний тензор), при зміщенні системи координат $x^{i}$ на малий вектор $v^{i}$:

$(23)\qquad {\tilde {x}}^{i}=x^{i}+v^{i}$

Метричний тензор $g_{ij}$ також змінюється:

$(24)\qquad {\tilde {g}}_{ij}=g_{ij}-\nabla _{i}v_{j}-\nabla _{j}v_{i}$

і згідно з формулою (3), тензор $h_{ij}$ змінюється так:

$(25)\qquad {\tilde {h}}_{ij}=h_{ij}-\nabla _{i}v_{j}-\nabla _{j}v_{i}+\left(\nabla ^{s}v_{s}\right)g_{ij}$

Беручи дивергенцію від (25), знаходимо:

$(26)\qquad \nabla ^{j}{\tilde {h}}_{ij}=\nabla ^{j}h_{ij}-\nabla ^{j}\nabla _{i}v_{j}-\nabla ^{2}v_{i}+\nabla _{i}\nabla ^{s}v_{s}$

У плоскому просторі Мінковського коваріантні похідні можна переставляти, тому другий і четвертий доданки в правій частині формули (26) взаємо-знищуються і ми маємо таке рівняння:

$(27)\qquad \nabla ^{j}{\tilde {h}}_{ij}=\nabla ^{j}h_{ij}-\nabla ^{2}v_{i}$

Цим рівнянням ми вже користувалися в статті Слабке гравітаційне поле, щоб зробити нульовою дивергенцію від $h_{ij}$. Проте і після обнулення дивергенції залишається свобода змінювати $h_{ij}$ за формулою (25), якщо вектор $v_{i}$ задовольняє рівняння Лапласа (щоб не змінювати 27):

$(28)\qquad \nabla ^{2}v_{i}=\Box v_{i}=0$

Тепер подумаємо, яким може бути вектор $v_{i}$ в нашому випадку плоскої хвилі. По-перше він може бути функцією однієї змінної $v_{i}=v_{i}(\xi )$, так щоб нові величини ${\tilde {h}}_{ij}$ за формулою (25) теж були функціями цієї однієї змінної.

По-друге, вектор $v_{i}$ може бути лінійною комбінацією усіх координат:

$(29)\qquad v_{i}=a_{ij}x^{j}$

Ясно що ця лінійна функція задовольняє рівнянню Лапласа (28), а в формулу (25) вносить лише повстійні доданки, так що ${\tilde {h}}_{ij}={\tilde {h}}_{ij}(\xi )$ Далі, в формулі (29) ми можемо обмежитися тільки симетричною матрицею коефіцієнтів $a_{ij}$, оскільки для антисиметричної матриці маємо нульову зміну у формулі (25):

$(30)\qquad -\partial _{i}(a_{jk}x^{k})-\partial _{j}(a_{ik}x^{k})+g_{ij}g^{ps}\partial _{p}(a_{sk}x^{k})=-(a_{ji}+a_{ij})+g_{ij}g^{ps}a_{ps}=0$

Підсумовуючи, ми можемо для трансформації системи координат взяти наступний вектор:

$(31)\qquad v_{i}=u_{i}(\xi )+a_{ik}x^{k}$

де матриця $a_{ik}$ симетрична.

Обнулення неістотних компонент гравітаційної хвилі

Спочатку для використання в наступних формулах знайдемо дивергенцію формули (31):

$(32)\qquad \nabla ^{i}v_{i}=g^{ij}\partial _{j}v_{i}=u_{0}'-u_{1}'+a_{00}-a_{11}-a_{22}-a_{33}$

Підставимо в формулу (25) вектор (31), і розпишемо одержане рівняння покомпонентно, враховуючи також формули (22). Маємо наступні десять рівнянь:

$(33.1)\qquad {\tilde {h}}_{00}=h_{00}-2\partial _{0}v_{0}+g_{00}\nabla ^{i}v_{i}=(h_{00}-u_{0}'-u_{1}')-a_{00}-a_{11}-a_{22}-a_{33}$

$(33.2)\qquad {\tilde {h}}_{01}=h_{01}-\partial _{0}v_{1}-\partial _{1}v_{0}=(h_{00}-u_{0}'-u_{1}')+c_{0}-2a_{01}$

$(33.3)\qquad {\tilde {h}}_{11}=h_{11}-2\partial _{1}v_{1}+g_{11}\nabla ^{i}v_{i}=(h_{00}-u_{0}'-u_{1}')+c_{0}+c_{1}-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}$

$(33.4)\qquad {\tilde {h}}_{02}=h_{02}-\partial _{0}v_{2}-\partial _{2}v_{0}=(h_{02}-u_{2}')-2a_{02}$

$(33.5)\qquad {\tilde {h}}_{03}=h_{03}-\partial _{0}v_{3}-\partial _{3}v_{0}=(h_{03}-u_{3}')-2a_{03}$

$(33.6)\qquad {\tilde {h}}_{12}=h_{12}-\partial _{1}v_{2}-\partial _{2}v_{1}=(h_{02}-u_{2}')+c_{2}-2a_{12}$

$(33.7)\qquad {\tilde {h}}_{13}=h_{13}-\partial _{1}v_{3}-\partial _{3}v_{1}=(h_{03}-u_{3}')+c_{3}-2a_{13}$

$(33.8)\qquad {\tilde {h}}_{22}=h_{22}-2\partial _{2}v_{2}+g_{22}\nabla ^{i}v_{i}=(h_{22}-u_{0}'+u_{1}')-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}$

$(33.9)\qquad {\tilde {h}}_{33}=h_{33}-2\partial _{3}v_{3}+g_{33}\nabla ^{i}v_{i}=(h_{33}-u_{0}'+u_{1}')-a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}$

$(33.10)\qquad {\tilde {h}}_{23}=\left(h_{23}\right)-\partial _{2}v_{3}-\partial _{3}v_{2}=h_{23}-2a_{23}$

У правих частинах всіх цих рівнянь дужками виділено функціональну складову (від $\xi =x^{0}+x^{1}$), а далі йдуть повтійні доданки. Як видно, серед функціональних складових трапляються однакові, наприклад у формулах (33.1 - 33.3). Тому ми можемо вибором функцій $u_{i}=u_{i}(\xi )$ обнулити ці складові в семи перших рівняннях (33.1 - 33.7), а також в наступному рівнянні, що є півсумою (33.8) і (33.9):

$(34)\qquad {{\tilde {h}}_{22}+{\tilde {h}}_{33} \over 2}=\left({h_{22}+h_{33} \over 2}-u_{0}'+u_{1}'\right)-a_{00}+a_{11}$

Отже маємо систему чотирьох рівнянь:

$(35.1)\qquad h_{00}-u_{0}'-u_{1}'=0$

$(35.2)\qquad h_{02}-u_{2}'=0$

$(35.3)\qquad h_{03}-u_{3}'=0$

$(35.4)\qquad {h_{22}+h_{33} \over 2}-u_{0}'+u_{1}'=0$

яка лекго розв'язується:

$(36.1)\qquad u_{0}=u_{0}(\xi )=\int {2h_{00}+h_{22}+h_{33} \over 4}d\xi$

$(36.2)\qquad u_{1}=u_{1}(\xi )=\int {2h_{00}-h_{22}-h_{33} \over 4}d\xi$

$(36.3)\qquad u_{0}=u_{0}(\xi )=\int h_{02}d\xi$

$(36.4)\qquad u_{0}=u_{0}(\xi )=\int h_{03}d\xi$

Постійні складові цих же восьми рівнянь (33.1 - 33.7), (34) також можуть бути обнулені належним вибором десяти коефіцієнтів $a_{ij}$. Маємо наступні вісім рівнянь, накладені на коефіцієнти:

$(37.1)\qquad -a_{00}-a_{11}-a_{22}-a_{33}=0$

$(37.2)\qquad c_{0}-a_{01}=0$

$(37.3)\qquad c_{0}+c_{1}-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$

$(37.4)\qquad -2a_{02}=0$

$(37.5)\qquad -2a_{03}=0$

$(37.6)\qquad c_{2}-2a_{12}=0$

$(37.7)\qquad c_{3}-2a_{13}=0$

$(37.8)\qquad -a_{00}+a_{11}=0$

із яких слідує:

$(38.1)\qquad a_{00}=a_{11}=(c_{0}+c_{1})/4$

$(38.2)\qquad a_{22}+a_{33}=-(c_{0}+c_{1})/2$

$(38.3)\qquad a_{02}=a_{03}=0;\qquad a_{12}=c_{2}/2;\qquad a_{13}=c_{3}/2$

Дві поляризації гравітаційної хвилі

Отже нам вдалося підбором системи координат (вектор $v_{i}$) обнулити всі компоненти $h_{ij}$, крім наступних трьох: $h_{22},h_{33},h_{23}$. Причому $h_{22}+h_{33}=0$. Тобто тензор $h_{ij}$ у плоскій гравітаційній хвилі має такий вигляд:

$(39)\qquad (h_{ij})={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&h_{22}&h_{23}\\0&0&h_{23}&-h_{22}\end{bmatrix}}$

Компонента $h_{23}$ не може бути обнулена, бо у формулі (33.10) можна підбирати лише константу $a_{23}$, яка не здатна знищити функціональну залежність. Те саме стосується компоненти $h_{22}=-h_{33}$, яку можна знайти як піврізницю формул (33.8) і (33.9):

$(40)\qquad {\tilde {h}}_{22}={h_{22}-h_{33} \over 2}-a_{22}+a_{33}$

Слід тензора (39) дорівнює нулю:

$(41)\qquad h=g^{ij}h_{ij}=g^{22}h_{22}+g^{33}h_{33}=-h_{22}-(-h_{22})=0$

а тому варіація $\delta g_{ij}$ метричного тензора збігається з тензором $h_{ij}$:

$(42)\qquad \delta g_{ij}=h_{ij}-{h \over 2}g_{ij}=h_{ij}$

а сам метричний тензор дорівнює:

$(43)\qquad (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1+h_{22}&h_{23}\\0&0&h_{23}&-1-h_{22}\end{bmatrix}}$

Якщо компонента $h_{22}=A\sin \xi$ коливається, то згідно з формулою (43) простір по черзі, у одній фазі коливань, стискається по осі $y$ і розтягується по осі $z$, а потім, у іншій фазі коливань, розтягується по осі $y$ і стискається по осі $z$. Це одна поляризація гравітаційної хвилі.

Компонента $h_{23}$ описує аналогічні коливання, але вздовж діагональних осей, що повернуті на 45° - це друга поляризація гравітаційної хвилі.

Викривлення простору у гравітаційній хвилі

Обчислимо тензор внутрішньої кривини (тензор Рімана) через варіацію метрики (43). Маємо формули:

$(44)\qquad \delta R_{\;ijk}^{s}=\nabla _{j}\delta \Gamma _{ki}^{s}-\nabla _{k}\delta \Gamma _{ji}^{s}$

$(45)\qquad \delta \Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}g^{sk}\left(\nabla _{i}\delta g_{kj}+\nabla _{j}\delta g_{ik}-\nabla _{k}\delta g_{ij}\right)$

тоді

$(46)\qquad \delta R_{\;ijk}^{s}={1 \over 2}g^{sp}\left([\nabla _{j}\nabla _{k}]\delta g_{pi}+\nabla _{j}\nabla _{i}\delta g_{kp}+\nabla _{k}\nabla _{p}\delta g_{ij}-\nabla _{j}\nabla _{p}\delta g_{ik}-\nabla _{k}\nabla _{i}\delta g_{jp}\right)$

У плоскому просторі комутатор $[\nabla _{j}\nabla _{k}]$ дорівнює нулю, а варіація тензора кривини дорівнює самому тензору. Тому наближено коваріантний тензор Рімана дорівнює:

$(47)\qquad R_{pijk}\approx {1 \over 2}\left(\nabla _{j}\nabla _{i}\delta g_{kp}+\nabla _{k}\nabla _{p}\delta g_{ij}-\nabla _{j}\nabla _{p}\delta g_{ik}-\nabla _{k}\nabla _{i}\delta g_{jp}\right)$

Які компоненти цього тензора можуть бути відмінні від нуля? По-перше, хоча б два індекси повинні бути числами {0, 1} щоб не було обнулення усіх других похідних. Нехай це будуть індекси $(p,j)$ - тоді третій доданок у дужках формули (47) може бути відмінним від нуля. Але зважаючи на матрицю (43), варіація $\delta g_{ik}$ у цьому третьому доданку повинна бути однією з наступних компонент: $\delta g_{22},\delta g_{33},\delta g_{23}$. Отже індекси $(i,k)$ мають дорівнювати 2 або 3. Випишемо ці ненульові компоненти тензора Рімана:

$(48)\qquad R_{0202}=R_{0212}=R_{1212}=-(\delta g_{22})''=-h_{22}''$

$(49)\qquad R_{0303}=R_{0313}=R_{1313}=-(\delta g_{33})''=h_{22}''$

$(50)\qquad R_{0203}=R_{0213}=R_{1203}=R_{1213}=-(\delta g_{23})''=-h_{23}''$

Решта одинадцять компонент тензора Рімана дорівнюють нулю.