Елементарна геометрія

Група перетворень множини

Нехай $M$ - довільна множина, елементи якої позначимо $x,y,z,...$ чи $x',y',z',...\,.$ Кожному елементові $x\in M$ ставиться у відповідність елемент $x'\in M.$ Тим самим визначається перетворення множини $M$ у себе. Перетворення запишемо наступним чином: $x'=f(x)$ (або просто літерою $f$). Елемент $x$ є прообразом елемента $x',$ а елемент $x'$ - образом елемента $x.$ Сукупність усіх образів $x'=f(x),$ коли $x$ пробігає множину $M,$ позначається $f(M).$ Зрозуміло, що $f(M)$ або співпадає із $M,$ або складає її частину.

Перетворення $f$ множини $M$ у себе називається взаємно однозначним перетворенням $M$ на себе, якщо справджуються наступні умови:

• різним елементам $x_{1}$ та $x_{2}$ множини $M$ відповідають різні образи $f(x_{1})$ та $f(x_{2})$;
• множина $f(M)$ співпадає із множиною $M.$

Будемо розглядати лише такі взаємно однозначні перетворення.

Нехай $f$ - перетворення множини $M.$ Оскільки $f(M)=M,$ то для довільного $x'eM$ можна віднайти лише один такий елемент $x,$ що $x'=f(x)$ (єдиність слідує з першої умови, а саме - взаємної однозначності перетворення $f$). Таким самим чином по перетворенню $f$ можна побудувати перетворення $x=\varphi (x').$ Воно називається зворотним для $f$ і є єдиним. Зворотне відображення позначається $f^{-1}.$

Розгляньмо два перетворення $f_{1}$ та $f_{2}.$ Тоді кожний елемент $x\in M$ цими перетвореннями $f_{1}$ та $f_{2}$ переводиться спочатку у елемент $x'=f_{1}(x),$ а потім у $x^{\prime \prime }=f_{2}(x').$ Відповідність $x^{\prime \prime }=f(x)$ є взаємно однозначним перетворенням $M.$ Воно називається добутком двох перетворень $f_{1}$ та $f_{2},$ взятих у певному порядку, та може бути записане наступним чином: $f(x)=f_{2}(f_{1}(x)).$ Взагалі, добуток перетворень залежить від порядку, у якому вони здійснюються, тобто в загальному $f_{2}(f_{1}(x))\neq f_{1}(f_{2}(x)).$

Перетворення $e(x)=x,$ яке залишає усі елементи нерухомими, називається тотожним. Якщо $f$ - дане перетворення та $f^{-1}$ є зворотним до нього, то за будь-якого $x\in M$ справджуються рівності $f(f^{-1}(x))=x=e(x)$ та $f^{-1}(f(x))=x=e(x).$

Вважаймо тепер, що $f_{2}\cdot f_{1}$ є добутком перетворень $f_{1}$ та $f_{2}$ множини $M,$ якщо першим здійснюється перетворення $f_{1},$ а згодом $f_{2},$ а через $f_{1}\cdot f_{2}$ - добуток $f_{1}$ та $f_{2},$ коли перетворення $f_{2}$ здійснюється першим.

Із сказаного слідує, що сукупність усіх взаємно однозначних перетворень множини $M$ на себе утворює групу, якщо добуток будь-яких двох перетворень розуміти так, як це було визначено. Справді, у сукупності взаємно однозначних перетворень $M$ на себе для кожної пари перетворень $f_{1}$ та $f_{2},$ взятих у певному порядку, визначений їх добуток $f=f_{2}\cdot f_{1},$ який є взаємно однозначним перетворенням $M$ на себе. Переконаймося у цьому. 1. Якщо $f_{1},f_{2},f_{3}$ - дані перетворення множини $M,$ то $(f_{3}\cdot f_{2})\cdot f_{1}=f_{3}\cdot (f_{2}\cdot f_{1}).$ Справді, якщо $x'=f_{1}(x),\,\,x'=f_{2}(x),\,\,x'=f_{3}(x)$ - дані перетворення, то $(f_{3}\cdot f_{2})\cdot f_{1}$ та $f_{3}\cdot (f_{2}\cdot f_{1})$ обидва зводяться до перетворення $f_{3}[f_{2}(f_{1}(x))].$ Таким чином, добуток перетворень завжди підпорядковується асоціативному законові. 2. Тотожне перетворення $e(x)=x$ відіграє роль одиниці (ідемпотента) групи. Справді, для будь-якого перетворення $x'=f(x)$ та будь-якого $x\in M$ будемо мати $x'=f(e(x))=f(x).$ Звідки слідує, що $f\cdot e=f.$ 3. Для будь-якого перетворення $f$ існує зворотне перетворення $f^{-1}$ таке, що $f\cdot f^{-1}=e.$

Нехай тепер $M$ - множина довільних елементів та $H$ - декотра група її перетворень. Будемо називати $M$ простором, а її елементи - точками. Сукупність точок назвемо називати фігурою. Фігура $A$ називається еквівалентною фігурі $B,$ якщо існує перетворення $f$ у групі $H,$ яке переводить $A$ у $B.$ Відношення еквівалентності фігур має наступні властивості:

• будь-яка фігура $A$ є еквівалентною сама собі; справді, одиниця групи $H$ - тотожне відображення множини $M$ на себе, що переводить $A$ у $A$;
• якщо фігура $A$ є еквівалентною фігурі $B,$ то й навпаки, фігура $B$ є еквівалентною фігурі $A$; справді, якщо фігура $A$ перетворенням $f\in H$ переводиться у $B,$ то оскільки $f^{-1}\in H,$ то $f_{1}$переводить фігуру $B$ у фігуру $A.$
• якщо фігура $A$ є еквівалентною фігурі $B,$ а фігура $B$ еквівалентна фігурі $C,$ то фігура $A$ є еквівалентною фігурі $C;$ справді, якщо перетворення $f\in H$ переводить $A$ у $B,$ а перетворення $g\in H$ переводить $B$ у $C,$ то перетворення $g\cdot f$ переводить $A$ у $C.$

Відношення еквівалентності розбиває усі фігури на класи еквівалентних між собою фігур, причому будь-яка фігура належить лише до одного класу.

За Ф.Клейном, геометричними властивостями фігур простору $M$ та геометричними величинами цих фігур вважаються ті, які є інваріантними відносно будь-якого перетворення з групи $H$ та які є однаковими у всіх еквівалентних фігур.

Приклади

Геометричне перетворення - бієкція $f$ множини $\Pi$ точок площини на себе (розглядають й геометричне перетворення усього простору). Оскільки $\Pi$ - множина нескінченна, геометричні перетворення не можна задавати таблицями. Часто їх задають формулами, які виражають координати $x'$ та $y'$ точки $f(M)$ через координати $x$ та $y$ точки $M.$ У загальному випадку ці формули записують наступним чином:

${\begin{cases}x'=\varphi (x,y),\\y'=\psi (x,y),\end{cases}}\quad \quad$ що те саме, що $\quad \quad (\varphi (x,y))\land (\psi (x,y)).$

Наприклад, щоб знайти образ точки $A(-2,\,4)$ за перетворення площини ${\begin{cases}x'=x+y-3,\\y'=2x+3y+4\end{cases}}$ потрібно змінити у цих рівняннях $x$ та $y$ числами $-2$ та $4$ відповідно: ${\begin{cases}x'=-2+4-3=-1,\\y'=2(-2)+3\cdot 4+4=12.\end{cases}}$ Таким чином, точка $A(-2,\,4)$ переходить у точку $B(-1,\,12).$ Щоб віднайти зворотне перетворення, потрібно вирішити систему відносно $x$ та $y$, тобто: ${\begin{cases}x=3x'-y'+13,\\y=-2x'+y'-10\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}x=3(-5)-4+13=-6,\\y=-2(-5)+4-10=4.\end{cases}}$ Таким чином, $M(-6,\,4)$ переходить у точку $N(-5,\,4).$

Функції $\varphi$ та $\psi$ не можна обирати довільно - вони повинні задовольняти умові бієктивності відображення $(x,y)\to (\varphi (x,y),\,\psi (x,y)).$ Це значить, що вони повинні бути визначені для усіх пар $(x,\,y)$ та, з іншого боку, для будь-якої пари чисел $(a',\,b')$ повинна бути визначена пара чисел $(a,\,b)$ така, що

$\varphi (a,\,b)=a'\quad \quad \psi (a,b)=b'.$

Наприклад, функції ${\begin{cases}x'={\sqrt {x+y}},\\y'={\sqrt {x-y}}\end{cases}}$ не задають перетворення площини, оскільки визначені за умов, що $x+y\geq 0$ та $x-y\geq 0.$

За геометричного перетворення $\varphi$ кожна геометрична фігура $\Phi$, яка називається прообразом, переходить у геометричну фігуру $\Phi ',$ яка називається її образом за перетворення $\varphi$.

Геометричне перетворення $\varphi$ називається переміщенням площини, якщо воно не змінює відстаней між точками площини. Іншими словами, $\varphi$ є переміщенням площини, якщо для будь-яких двох точок площини $A$ та $B$ виконується рівність $|A'B'|=|AB|,$ де $A'$ образ точки $A,$ a $B'$ - образ точки $B$ за цього переміщення, тобто $A'=\varphi (A),\,\,B'=\varphi (B).$

Нехай $\varphi$ та $\psi$ - два переміщення площини. Оскільки вони не змінюють відстаней між точками площини, то їхня композиція залишає ці відстані незмінними. Відповідно, композиція двох переміщень є переміщенням. Якщо переміщення $\varphi$ не змінює відстаней між точками площини, то й $\varphi ^{-1}$ також є переміщенням. Таким чином, переміщення площини утворюють групу.

Рівнобедрений трикутник - приклад симетричної плоскої фігури. Лінія симетрії $l$ ділить його на дві однакові частини; з точок $a$ та $b,$ узятих на даній плоскій фігурі, проведені перпендикуляри до лінії симетрії $l.$

Плоска фігура - сукупність точок, що дані у площині. Фігура є скінченною, якщо відстань між двома будь-якими точками фігури є скінченною. Недай дана фігура; у випадку, якщо можна провести пряму у площині фігури таким чином, що перпендикуляр, опущений з довільної точки фігури на цю пряму, розташований по іншу сторону, зустріне другу точку фігури, причому відстані цих точок фігури до прямої є рівними, то така лінія називається лінією симетрії. Фігура, що наділена цією властивістю, називається симетричною - такою, що має лінію симетрії.

Фігура $\Phi '$ називається конгруентною плоскій фігурі $\Phi$, якщо існує переміщення $\varphi$, яке відображає $\Phi$ на $\Phi '$, тобто таке, що $\varphi (\Phi )=\Phi '.$ Відношення конгруентності рефлексивне, симетричне й транзитивне, а відтак воно є відношенням еквівалентності, яке розшаровує сукупність усіх геометричних фігур на класи еквівалентності. Осьова симетрія є прикладом переміщення площини. Композиція двох осьових симетрій відносно пересічних прямих $l$ та $m$ є поворотом площини. Якщо замінити прямі $l$ та $m$ іншими прямими $p$ та $q,$ які перетинаються у тій самій точці $O$ й утворюють той самий кут $\alpha$ (відлічуваний від $p$ до $q$), то отримається поворот навколо тієї самої точки на той самий кут, тобто $S_{m}S_{l}=S_{q}S_{p},$ де $S$ - геометричне перетворення відносно осей, вказаних індексом. Будь-який поворот навколо точки $O$ можна представити у вигляді композиції двох осьових симетрій. Для цього достатньо провести через цю точку прямі $l$ та $m$ із кутом між ними $\alpha /2,$ де $\alpha$ - кут повороту, і зробити симетрії $S_{l}$ та $S_{m}.$ Композиція осьової симетрії $S_{l}$ й паралельного перенесення ${\vec {a}}\neq 0$ у напрямку, пралельному осі $l$, називається переносною симетрією. Таким чином, будь-яке переміщення площини є або паралельним перенесенням, або поворотом, або осьовою симетрією, або переносною симетрією (Теорема Шаля).

Тотожне перетворення площини переводить кожну фігуру у себе. Для декотрих фігур існують й інші переміщення, які суміщають фігуру із собою. Наприклад, трапеція із рівними сторонами суміщається із собою за осьової симетрії відносно прямої, яка сполучає середини її основ, а паралелограм - за [центральної симетрії відносно його центру. Для прямокутника є чотири таких переміщення: тотожне перетворення, дві осьові симетрії й центральна симетрія. Так само чотири переміщення суміщають із собою ромб. Тільки для прямокутника осями симетрії є прямі, які сполучають середини протилежних сторін, а для ромбу - його діагоналі. Квадрат комбінує у собі симетрії ромба й прямокутника, сукупність його самосуміщень складається із восьми елементів: повороти центру на кути 0, 90, 180 й 270 градусів й симетрії відносно чотирьох осей. У кола незліченна кількість самосуміщень - вона переходить у себе за будь-якого повороту навколо центру й за будь-якої осьової симетрії відносно прямої, яка проходить через її центр. Для будь-якої фігури сукупність її самосуміщень утворює групу перетворень, яка називається групою самосуміщень. Це слідує з того, що якщо перетворення $\varphi$ та $\psi$ переводять фігуру $\Phi$ у себе, то їх композиція $\varphi \circ \psi$ переводить $\Phi$ у $\Phi$. Точно так само якщо $\varphi$ переводить $\Phi$ у себе, то тією ж властивістю наділене й зворотне перетворення $\varphi ^{-1}.$ Групи самосуміщень скінченних фігур складаються лише з обертань та осьових симетрій.

Фігури, які мають поворотні симетрії, можна отримати, згинаючи лист паперу й прорізаючи його ножицями. Наприклад, якщо узяти квадратний лист паперу, скласти його по діагоналі, потім скласти отриманий рівнобедрений трикутник по висоті, а новий трикутник ще раз скласти навпіл та зробити розріз, який прорізає усі шари паперу, то отримається витинанка у формі, що має назву розетка.

Евклідовий простір

З точки зору теорії множин будь-яка геометрична фігура є множиною усіх точок, які належать їй. Інакше кажучи, будь-яка геометрична фігура не є пустою множиною. Відображення геометричної фігури на площину (чи на якусь іншу поверхню) можна одержати шляхом проектування її точок на цю площину (поверхню).

Точки, прямі й площини евклідового простору знаходяться у певному взаємовідношенні, яке може бути визначене словом приналежність, або інцидентність. Поняття інцидентності заміняє поняття "лежати на" чи "проходити через". Замість виразів "точка $A$ лежить на площині $\Pi$", говорять, що "точка $A$ є інцидентною (належить) площині $\Pi$". У символічній формі цей вираз записується наступним чином: $A\in \Pi .$

Відношення приналежності (інцидентності) між елементами евклідового простору задовільняють наступним умовам.
1. Якщо точка $A$ належить прямій $\ell ,$ а пряма $\ell$ належить площині $\Pi ,$ то точка $A$ належить площині: $A\in \ell \subset \Pi \Rightarrow A\in \Pi .$
2. Дві різні точки $A$ та $B$ завжди інцидентні лише одній прямій $\ell ,$ або прямій $\ell$ належать принаймні дві точки $A$ та $B,$ тобто $(\forall A,B)(A\neq B)\Rightarrow (\exists 1\ell )(A,B\in \ell )$
3. Три різні точки $A,B$ та $C,$ які не належать одній прямій, належать одній і тій самій площині (лише одній): $(\forall A,B,C)(A\neq B\neq C)\land (A,B,C\not \in \ell )\Rightarrow (\exists 1\Pi )(A,B,C\in \Pi ).$
4. Якщо дві точки $A$ та $B,$ які належать прямій $\ell ,$ належать площині $\Pi ,$ то пряма $\ell$ належить площині $\Pi :$ $(\forall A,B)(A\neq B)(A,B\in \ell )\land (A,B\in \Pi )\Rightarrow (\ell \in \Pi ).$

Окрім наведених умов можуть бути сформульованими й інші пропозиції приналежності для елементів евклідового простору. До таких пропозицій належать, зокрема, наступні.
5. Дві прямі, які належать одній площині, можуть належати одній точці, але цього може і не бути.
6. Дві площини можуть належати одній і тій самій прямій, але цього може і не бути.
7. Площина та пряма, які не належить цій площині, можуть належати до однієї точки, але цього може й не бути.

Останні три пропозиції виражають аксіому паралельності. Прийняття аксіоми Евкліда про паралельність з огляду на метод проекцій, який складає основу для зображення на площині геометричних фігур, розташованих у просторі, породжує труднощі, пов'язані із "неоднорідністю" евклідового простору й занурених до нього геометричних фігур.

Аналітичне перетворення

Задачу будь-якої геометрії Клейн визначав наступним чином: "Нехай даний многовид та група перетворень; вивчити властивості фігур цього многовиду, інваріантні відносно перетворень групи". Таким чином, метрична, афінна, проективна геометрії визначаються без залежності від методів, які є основними для їх вивчення.

Аналітично довільне перетворення визначається системою рівнянь $x'_{i}=f_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ де $i={\overline {1,n}}.$ Змінні $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ є вихідними, а $x'_{1},x'_{2},...,x'_{n}$ - перетвореними. Змінні $x_{i}$ можна розглядати в якості координат деякого геометричного образу (точки, прямої, площини чи сфери тощо), а $x'_{i}$ - точки того самого чи іншого образу. Ці рівняння є перетвореннями, якщо встановлюють відповідність між образами. Наприклад, проективне перетворення $f(x)$ переводить точку $x$ у точку $x',$ а корелятивне перетворення перетворює точку $x$ у площину $x'$ тощо.

Будь-яка фігура, що утворюється елементами $\{x_{i}\},$ перетворюється на фігуру, утворену елементами $\{x'_{i}\}.$ Якщо обидві фігури мають спільну властивість, скажімо, порядок кривої, то ця властивість є інваріантною відносно перетворень. Таким чином, сукупність перетворень $\{f_{i}\}$ утворює групу перетворень, якщо перетворення $\{x_{i}\}\to \{x_{i}^{\prime \prime }\},$ утворене послідовним виконанням двох перетворень (тобто спочатку $f_{1}$ переводить $x$ у точку $x',$ а згодом $f_{2}$ переводить $x'$ у точку $x^{\prime \prime }$ - добуток двох перетворень), є рівносильною одному перетворенню тієї ж сукупності, яке переводить $x$ безпосередньо у $x^{\prime \prime }.$ Група містить також тотожне перетворення.

Будемо розглядати неперервні скінченні групи перетворень. У цьому випадку перетворення $T_{a}$ є залежною від одного чи декількох параметрів $a_{1},a_{2},...,a_{n},$ та визначається рівняннями $x'_{i}=f_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n};\,a_{1},x_{2},...,a_{n}),$ де $i={\overline {1,n}}.$ Ці перетворення утворюють групу, якщо рівняння

${\begin{cases}x'_{i}=f_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n};\,a_{1},a_{2},...,a_{m}),\\x^{\prime \prime }=f_{i}(x'_{1},x'_{2},...,x'_{n};\,b_{1},b_{2},...,b_{m}),\end{cases}}\quad \quad$ $i={\overline {1,n}},$

за пропускання $x'_{i}$ буде мати вигляд $x^{\prime \prime }=f_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n};\,c_{1},c_{2},...,c_{m})$ за $i={\overline {1,n}},$ де $c_{j}$ є функціями лише від $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ та $b_{1},b_{2},...,b_{m},$ тобто

$c_{j}=\varphi _{j}(a_{1},a_{2},...,a_{m};\,b_{1},b_{2},...,b_{m}),$

де $j={\overline {1,m}}.$

Поняття групи було уведене Еверистом Галуа, який досліджував групи підстановок, зокрема, у теорії алгебричних рівнянь. Жордан запропонував застосовувати поняття групи до проблем геометрії й теорії функцій. За клейном кожна геометрія базується на деякій групі перетворень. Властивості фігур можуть називатися геометричними, якщо вони можуть розглядатися у даній геометрії, які зберігаються за усіх перетворень даної групи. Шкільна геометрія вивчає ті властивості фігур, які не залежать від положення фігур у просторі, їх розмірів й орієнтації. Таким чином, за будь-якого руху фігури як цілого, як твердого тіла, жодне подібне перетворення не змінить ці властивості. Усі ці перетворення (рух, подібність та симетрія) та їх добутки утворюють так звану фундаментальну групу простору. Іншими словами, шкільна геометрія досліджує властивості фігур, які є інваріантним відносно перетворень фундаментальної групи.

Проективна геометрія досліджує властивості фігур, які є інваріантними відносно до групи проективних перетворень, а в основі афінної геометрії - група афінних (лінійних) перетворень.

Під репером $n$-вимірного евклідового простору розуміють радіус-вектор $r\in E^{n}$ та ортонормований базис $e_{1},...,e_{n}\in T_{r}(E^{n}).$ Множина усіх реперів утворює многовид $M(E^{n}),$ який після вибору базисного репера (тобто ізоморфізму $E^{n}\cong \mathbb {R} ^{n}$) можна ототожнити із групою евклідових рухів: радіус-вектор $r$ задає зсув, а обертання переводить координатний репер у $\mathbb {R} ^{n}$ в репер $e_{1},...,e_{n}.$

Якщо зафіксований початок координат $\theta \in E^{n},$ то множин усіх реперів у $T_{0}(E^{n})$ визначається многовидом $M_{0}(E^{n}).$ Вибір базисного репера дозволяє ототожнити множину $M_{0}(E^{n})$ із ортогональною групою $O(n).$

Через $\mathbb {A} ^{n}$ позначається афінний $n$-вимірний простір, який є наділеним інваріантною відносно зсувів формою об'єму $\Omega .$ Афінний репер - набір $(r;\,e_{1},...,e_{n}),$ де $r\in \mathbb {A} ^{n},$ а вектори $e_{1},...,e_{n}\in T_{r}(\mathbb {A} ^{n})$ задають базис, для якого $\Omega (e_{1},...,e_{n})=1.$ Ця рівність записується також у вигляді $e_{1}\land e_{2}\land ...\land e_{n}=1.$ Після того, як був обраний базний репер, можна ототожнити многовид афінних реперів $M(\mathbb {A} ^{n})$ із групою $A(n)$ афінних перетворень $T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},$ які задаються формулами $T(r)=Ar+b,$ де $b\in \mathbb {R} ^{n},$ а $A\in \mathrm {SL} _{n}=\{M_{n,n}-{\text{матриці}}\,{\text{із визначником}}\,\mathrm {det} \,A=1\}.$

Лінійні перетворення

Через $P$ позначмо поле (дійсних $\mathbb {R}$ чи комплексних $\mathbb {C}$ чисел), а його елементи - грецькими літерами $\alpha ,\beta ,\gamma ,...\,.$ Нехай $V$ - декотра непуста множина, $V=\{a,b,c,...\},$ для елементів якої визначені операції додавання та множення на елементи з поля $P,$ які задовільняють наступним умовам:

• якщо $a,b\in V,$ то в результаті застосування бінарної операції $a+b$ одержуємо елемент цієї ж множини $V$;
• якщо $a\in V$ та $\alpha \in P,$ то визначена бінарна операція добутку $\alpha \cdot a$ така, що $\alpha a\in V.$

Множину $V$ називають лінійним (векторним) простором над полем $P.$ Розгляньмо аксіоми векторного простору.

Аксіоми додавання векторів.
1. Додавання векторів є комутативним, тобто для будь-яких векторів $v_{1},v_{2}\in V$ справджується рівність $v_{1}+v_{2}=v_{2}+v_{1}.$
2. Додавання векторів є асоціативним, тобто для будь-яких векторів $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ справджується рівність $(v_{1}+v_{2})+v_{3}=v_{1}+(v_{2}+v_{3}).$
3. У множині $V$ існує елемент $\theta ,$ який називається нульовим вектором (або просто нулем), якщо для будь-якого вектора $v\in V$ справджується рівність $v+\theta =v.$
4. Для будь-якого вектора $v\in V$ віднайдеться такий вектор $(-v),$ який називається протилежним до вектора $v,$ що $v+(-v)=\theta .$

Аксіоми множення вектора на число.
1. Множення векторів на числа є асоціативним, тобто для будь-якого вектора $v\in V$ та будь-яких дійсних чисел $\alpha ,\beta \in P$ справджується рівність $\alpha (\beta v)=(\alpha \beta )v.$
2. Множення векторів на числа є дистрибутивним по відношенню до чисел, тобто для будь-якого вектора $v\in V$ та довільних чисел $\alpha ,\beta \in P$ справджується рівність $(\alpha +\beta )v=\alpha v+b\beta v.$
3. Множення векторів на числа э дистрибутивним по відношенню до векторів, тобто для довільних векторів $v_{1},v_{2}\in V$ та довільного числа $\alpha \in P$ справджується рівність $\alpha (v_{1}+v_{2})=\alpha v_{1}+\alpha v_{2}.$
4. Для будь-якого вектора $v\in V$ справджується рівність $1\cdot v=v.$

Аксіоми розмірності.
1. У векторному просторі $V$ можна віднайти $n$ лінійно незалежних векторів. Це означає, що у будь-якому $n$-вимірному векторному просторі $V^{n}$ можна віднайти базис.
2. Будь-які $n+1$ векторів векторного простору є лінійно незалежними.
Векторний простір (за деякого значення $n\geq 0$), який задовільняє цим аксіомам, називається $n$-вимірним векторним простором, символічно $\mathrm {dim} \,V=n.$

Аксіоми скалярного добутку.
1. Скалярний добуток є комутативним, тобто для будь-яких векторів $v_{1},v_{2}\in V$ справджується рівність $v_{1}v_{2}=v_{2}v_{1}$.
2. Скалярний добуток є дистрибутивним, тобто для довільних векторів $v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ справлдується рівність $v_{1}(v_{2}+v_{3})=v_{1}v_{2}+v_{1}v_{3}.$
3. Для будь-яких векторів $v_{1},v_{2}\in V$ та будь-якого дійсного числа $P$ справджується рівність $(\alpha v_{1})v_{2}=\alpha (v_{1}v_{2}).$
4. Для будь-якого відмінного від нуля вектора $v\in V$ скалярний добуток $vv$ цього вектора на себе (тобто скалярний квадрат $v^{2}$) є додатним: $v^{2}>0$ за $v\neq \theta .$
Множина $V,$ яка задовільняє цим аксіомам, називається $n$-вимірним евклідовим простором.

Аксіоми проведення векторів.
1. Для будь-якої точки $x_{1}\in X$ та будь-якого вектора $v\in V$ віднайдеться точка $x_{2}\in X$ така, що ${\overrightarrow {x_{1}x_{2}}}=v$ (знаходження такої точки називається проведенням вектора $v$ від точки $x_{1}$).
2. Для будь-яких трьох точок $x_{1},x_{2},x_{3}\in X$ справджується рівність ${\overrightarrow {x_{1}x_{2}}}+{\overrightarrow {x_{2}x_{3}}}+{\overrightarrow {x_{3}x_{1}}}=0.$
3. Якщо для точок $x_{1}x_{2}\in X$ справджується рівність ${\overrightarrow {x_{1}x_{2}}}=0,$ то точки $x_{1}$ та $x_{2}$ співпадають.

Елементи простору $V$ називаються векторами (точками), а елементи поля $P$ - скалярами. Одним із основних прикладів векторного простору є множина $P^{n}$ усіх послідовностей, яка складається з $n$ числа елементів поля з $P,$ для яких справджуються наступні умови:

• якщо $a=(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$ та $b=(\beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n}),$ то $a+b=(\alpha _{1}+\beta _{1},\,\alpha _{2}+\beta _{2},...,\alpha _{n}+\beta _{n})$;
• якщо $\gamma \in P,$ то $\gamma \cdot a=(\gamma \alpha _{1},\,\gamma \alpha _{2},...,\gamma \alpha _{n}).$

Лінійний простір $V$ називають скінченновимірним, якщо у ньому можна виділити базис, який складається із скінченного числа векторів, які є лінійно незалежними, та довільний вектор $v\in V$ можна лінійно виразити через них. Число $n$ векторів базису називається розмірністю векторного простору $V$ та записується $\dim V.$ Наприклад, нехай $V$ та $W$ є скінченновимірні векторні (лінійні) простори над полем $P,$ розмірності яких дорівнюють $\dim V=n$ та $\dim W=m.$

Відображення $L:V\to W$ називається лінійним, якщо справджуються наступні умови:

• $L(a+b)=L(a)+L(b)$ (адитивність)
• $L(\alpha a)=\alpha L(a)$ (однорідність), де $a,b\in P$ та $\alpha \in P.$

Розгляньмо властивості побудови лінійних відображень. Нехай $B=\{e_{1},e_{2},...,e_{n}\}$ - базис простору $V$ та $f_{1},f_{2},...,f_{n}$ - довільні $n$ елементів простору $W.$ У такому випадку існує лише одне лінійне відображення $L:V\to W,$ за якого $L(e_{i})=f_{i},$ де $i={\overline {1,n}}.$ Запевнимося у цьому, розглянувши $a\in V$ та $a=\alpha e_{1}+\alpha e_{2}+...+\alpha _{n}e_{n},$ де $\alpha \in P.$ Відображення $L$ визначається за правилом $L(a)=b,$ де $b=\alpha _{1}f_{1}+\alpha _{2}f_{2}+...+\alpha _{n}f_{n}.$ Оберімо $a,c\in V$ та $\beta ,\gamma \in P.$ Якщо $c=\sum _{i=1}^{n}\eta _{i}e_{i},$ тоді $L(c)=\sum _{i=1}^{n}\eta _{i}f_{i}$ та $\beta a+\gamma c=\beta \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}+\gamma \sum _{i=1}^{n}\eta e_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\beta \alpha _{i}+\gamma \eta _{i})e_{i}.$ За будовою $L(\beta a+\gamma c)=\sum _{i=1}^{n}(\beta \alpha _{i}+\gamma \eta _{i})f_{i}=\beta \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{i}+\gamma \sum _{i=1}^{n}\eta _{i}f_{i}=\beta L(a)+\gamma L(c).$ Водночас $L(e_{i})=f_{i}.$

Нехай тепер $L'$ - інше лінійне перетворення $V\to W$ таке, що $L'(e_{i})=f_{i},$ де $i={\overline {1,n}}.$ Для довільного вектора $a=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}$ одержимо $L'(a)=\sum _{i}^{n}\alpha _{i}f_{i},$ однак $L(a)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{i},$ відповідно, $L'(a)=L(a).$ Оскільки $a$ є довільним елементом з $V,$ то $L'=L.$

Кожному лінійному відображенню $L:V\to W$ ставиться у відповідність матриця $M_{m,n}$ розміністю $m\times n.$ Якщо $B=\{e_{1},e_{2},...,e_{n}\}$ є базисом простору $V,$ тоді нехай $L(e_{i})=f_{i},$ де $i={\overline {1,n}}$ та $f_{i}\in W.$ Оберімо у $W$ базис $G=\{g_{1},g_{2},...,g_{n}\}.$ Тоді $f_{i}=\xi _{1i}g_{1}+\xi _{i2}g_{2}+...+\xi _{mi}g_{m},$ де $\xi _{ki}\in P.$ Коефіцієнти $\xi _{1i},\,\xi _{2i},...,\xi _{mi}$ записуються у вигляді стовпця $i$ таблиці (матриці) $M$:

$M={\begin{pmatrix}\xi _{11}&\xi _{12}&...&\xi _{1n}\\\xi _{21}&\xi _{22}&...&\xi _{2n}\\...&...&...&...\\\xi _{m1}&\xi _{m2}&...&\xi _{mn}.\end{pmatrix}}$

Матриця $M$, таким чином, ставиться у відповідність лінійному перетворенню $L$ відносно базисів $B$ та $G$ просторів $V$ та $W$ відповідно, $L\to M.$ Та навпаки, будь-якій матриці $M_{m,n}$ із коефіцієнтами з поля $P$ однозначно відповідає деяке лінійне перетворення $L$ за фіксованих базисів $B$ та $G$ просторів $V$ та $W.$

Таким чином, якщо $M=(\xi _{ki})$ - матриця, то для векторів $f_{i}=\xi _{1i}g_{1}+\xi _{2i}g_{2}+...+\xi _{mi}g_{m},$ де $i={\overline {1,n}},$ то можна побудувати таке лінійне відображення $L:V\to W,$ що $L(e_{i})=f_{i}.$

Розгляньмо тепер вектор $a=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}e_{i}$ з простору $V,$ записавши його через координати $\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n}$ увигляді стовпця $a{\overset {B}{=}}{\begin{pmatrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\\...\\\xi _{n}\end{pmatrix}}.$

Нехай $b=L(a)$ та $b=\sum _{k=1}^{m}\zeta _{k}g_{k}.$ Вектор $b$ записується аналогічно у вигляді стовпця, зокрема $b{\overset {G}{=}}{\begin{pmatrix}\zeta _{1}\\\zeta _{2}\\...\\\zeta _{m}\end{pmatrix}}.$

Між координатами вектора $a$ та перетвореного вектора $b=L(a)$ існує залежність:

$b=L(\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}e_{i})=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}L(e_{i})=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}f_{i}=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}(\sum _{i=1}^{m}\varphi _{ki}g_{k})=\sum _{k=1}^{m}(\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ki}\xi _{i})g_{k}=\sum _{k=1}^{m}\zeta _{k}g_{k}.$

Відповідно, $\zeta _{k}=\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ki}\xi _{i},$ де $k={\overline {1,m}}.$ Таким чином, координати вектора $b$ можна одержати з координат вектора $a$ за допомогою лійніного перетворення (матриці переходу $M$). За правилом матричного множення це записується наступним чином: $b=M\cdot a.$

Ядром $\mathrm {ker}$ лінійного відображення $L:V\to W,$ формально $\mathrm {ker} \,L,$ називається множина усіх векторів $a\in V,$ образи $b$ яких у $W$ співпадають із нульовим вектором $\theta ,$ тобто $L(a)=\theta .$ Таким чином, $\mathrm {ker} \,L=L^{-1}(\theta )=\{a\in V\,|\,L(a)=\theta \}$ є повним прообразом нульового вектора $\theta$ у просторі $V.$

Ядро лінійного перетворення $L$ є підпростором, розмірність якого дорівнює $n-r,$ де $n$ - розмірність простору $V,$ a $r$ - ранг матриці $M.$ Зпевнимося у цьому, розглянувши вектори $a,b\in \mathrm {ker} \,L$ та числа $\alpha ,\beta \in P.$ Будемо мати $L(\alpha a+\beta b)=\alpha L(a)+\beta L(b)=\alpha \theta =\beta \theta =\theta ,$ тобто $\alpha a+\beta b\in \mathrm {ker} \,L.$ Оскільки вектори $a$ та $b$ були обрані довільно, а $\alpha$ та $\beta$ є довільними скалярами, то $\mathrm {ker} \,L$ є підпростором у векторному просторі $V.$ Довільний вектор $a$ з ядра лінійного перетворення $L$ записується у вигляді стовпця його координат, $a{\overset {B}{=}}{\begin{pmatrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\\...\\\xi _{n}\end{pmatrix}}.$

Тоді $Ma=\theta ,$ тобто вектор $a$ є рішенням системи рінійних однорідних рівнянь

${\begin{cases}\varphi _{11}\xi _{1}+\varphi _{12}\xi _{2}+...+\varphi _{1n}\xi _{n}=0,\\\varphi _{21}\xi _{1}+\varphi _{22}\xi _{2}+...+\varphi _{2n}\xi _{n}=0,\\...\\\varphi _{m1}\xi _{1}+\varphi _{m2}\xi _{2}+...+\varphi _{mn}\xi _{n}=0.\end{cases}}$

Відтак ядро $\mathrm {ker} \,L$ співпадає із простором рішень наведеної щойно системи; розмірність простору рішень дорівнює $n-r,$ де $r$ є рангом матриці $M.$

Виділімо у $V$ довільний підпростір $U.$ Для довільної пари $a,b\in V$ визначмо бінарне відношення еквівалентності, яке назвемо порівнянням відносно $U.$ Будемо вважати, що $b\sim a$ лише тоді, коли $b-a\in U,$ тобто коли $b=a+c,$ де $c\in U.$ Це порівняння має наступні властивості:

• $a\sim a$;
• $b\sim a\Rightarrow a\sim b$;
• $b\sim a\land c\sim b\Rightarrow c\sim a.$

Як і будь-яке відношення еквівалентності, відношення порівняння розбиває весь простір $V$ на класи порівнюваних між собою векторів: кожний клас складається з усіх таких елементів, які є порівнюваними відносно $U$ із яким-небудь елементом, який називається представником цього класу. Клас представника $a$ позначається у квадратних дужках $[a],$ тобто $[a]=\{b\in V\,|\,b\sim a\}.$ Іншими словами, $a\sim b\mod M.$

Класи задовільняють наступним двом умовам:

• $c\in [a]\Rightarrow [c]=[a]$;
• $[a]\cap [b]\neq 0\Rightarrow [a]=[b].$

Розгляньмо операції додавання векторів й множення вектора на скаляр на множині усіх класів із відповідними властивостями:

• $[a]+[b]=[a+b]$;
• $\alpha [a]=[\alpha a].$

Ці операції не залежать від вибору представника класів:

• якщо $a'\in [a]$ та $b'\in [b],$ тоді $a'=a+m,$ де $m\in M$
• $b'=b+d,$ де $d\in U.$

Відтак $a'+b'\equiv a+b$ та $[a'+b']=[a+b].$ Тому $[a']+[b']=[a'+b']=[a+b]=[a]+[b].$ Зрозуміло, що добуток $\alpha [a]$ є незалежним від вибору представника класу $[a].$

Ці операції задовільняють умовам, за яких множину усіх класів можна вважати лінійним простором над полем $P.$ Цей лінійний простір є факторпростором по підпростору $U,$ тобто $V/U.$ Нульовим елементом цього факторпростору є клас $[\theta ]=\{a\,|\,a\equiv \theta \}=U.$

Із сказаного слідує, що лінійне відображення $L:a\to [a]$ є лінійним відображенням $L:V\to V/U.$

Розгляньмо тепер $[a_{1}],[a_{2}],...,[a_{s}]$ набір елементів факторпростору $V/U.$ Ці елементи називаються лінійно залежними, якщо можна віднайти таку ненульову послідовність $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}\in P,$ що $\alpha _{1}[a_{1}]+\alpha _{2}[a_{2}]+...+\alpha _{s}[a_{s}]=[\theta ].$ Відтак $\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2}+...+\alpha _{s}a_{s}\in U.$

Вектори $a_{1},a_{2},...,a_{s}\in V$ називаються лінійно залежними відносно $U,$ якщо існує така ненульова послідовність $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}\in P,$ що $\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2}+...+\alpha _{s}a_{s}=h\in U.$ За лінійної залежності елементів факторпростору $V/U$ відповідні представники цих елементів у $V$ є лінійно залежними відносно $U.$ Поняття лінійної залежності відносно підпростору є ширшим від поняття лінійної залежності у звичайному сенсі (залежності відносно $\theta$), оскільки лінійно залежні вектори будуть й лінійно залеженими відносно підпростору.

Вектор $a_{1},a_{2},...,a_{s}\in V$ називаються лінійно незалежними відносно підпростору $U,$ якщо то того, що $\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2}+...+\alpha _{s}a_{s}\in U,$ слідує $\alpha _{1}=\alpha _{2}=...=\alpha _{s}=0.$ Система лінійно незалежних векторів відносно $U$ є лінійно незалежною у звичайному сенсі.

Нехай $[a_{1}],[a_{2}],...,[a_{s}]\in V/U.$ Тоді $\alpha _{1}[a_{1}]+\alpha _{2}[a_{2}]+...+\alpha _{s}[a_{s}]=[\theta ]\Rightarrow \alpha _{1}=\alpha _{2}=...=\alpha _{s}=0.$ У випадку із представниками класів, відповідно, $\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2}+...+\alpha _{s}a_{s}\in U\Rightarrow \alpha _{1}=\alpha _{2}=...=\alpha _{s}=0.$