Майже декартові координати в точці многовида

Для будь-якої точки $P$ многовиду можна підібрати таку систему координат ${\tilde {u}}^{i}$, яка матиме початок координат в точці $P$, метричний тензор в початку координат буде одиничною матрицею:

${\tilde {g}}_{ij}{\big |}_{{\tilde {u}}=0}=\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}i=j\\0,&{\mbox{if }}i\neq j\end{cases}}$

а всі символи Крістофеля (або що еквівалентно, всі перші похідні метричного тензора) в початку координат дорівнюють нулю:

${\tilde {\Gamma }}_{ij}^{k}{\big |}_{{\tilde {u}}=0}=0$

$\partial _{k}{\tilde {g}}_{ij}{\big |}_{{\tilde {u}}=0}=0$

Доведення (знаходження спеціальної системи координат)

Нехай в околі точки $P$ було задано довільну систему координат $u^{i}$. Позначимо координати самої точки $P$ значком внизу координати, взятим в дужки (щоб не плутати з індексами): $u_{(P)}^{i}$

Нові координати (які дорівнюють нулю в точці $P$) виражаються через старі функціями ${\tilde {u}}^{i}={\tilde {u}}^{i}(u^{1},u^{2},...u^{n})$, які ми можемо розкласти в ряд Тейлора:

$(1)\qquad {\tilde {u}}^{i}=\alpha _{j}^{i}(u^{j}-u_{(P)}^{j})+{1 \over 2!}\beta _{jk}^{i}(u^{j}-u_{(P)}^{j})(u^{k}-u_{(P)}^{k})+\cdots$

Наша задача — підібрати такі (постійні) коефіцієнти, щоб виконувалась шукана властивість. Диференціюючи (1) маємо (властивість коефіцієнтів ряду Тейлора):

$\alpha _{j}^{i}={\partial {\tilde {u}}^{i} \over {\partial u^{j}}}{\bigg |}_{P}$

$\beta _{jk}^{i}={\partial ^{2}{\tilde {u}}^{i} \over {\partial u^{j}\partial u^{k}}}{\bigg |}_{P}$

За умовою задачі, в точці $P$ метричний тензор в новій системі координат виражається одиничною матрицею:

${\tilde {g}}_{kp}{\big |}_{P}=\delta _{kp}$

При зміні системи координат на многовиді, метричний тензор змінюється за законом:

$(2)\qquad g_{ij}={\partial {\tilde {u}}^{k} \over \partial u^{i}}{\partial {\tilde {u}}^{p} \over \partial u^{j}}{\tilde {g}}_{kp}$

Отже в точці $P$ маємо:

$(3)\qquad g_{ij}{\big |}_{P}=\alpha _{i}^{k}\alpha _{j}^{p}\delta _{kp}=\sum _{k}\alpha _{i}^{k}\alpha _{j}^{k}$

Позначивши матриці $A=\left(\alpha _{j}^{i}\right)$ і $G=\left(g_{ij}\right)$, запишемо (3) у матричній формі:

$G=A^{T}A$

Це матричне рівняння можна розвязати відносно $A$:

$(4)\qquad A=UG^{1 \over 2}$

Де $U$ — довільна ортогональна матриця. Наявність цієї ортогональної матриці говорить про те, що шукана система координат не єдина, інші розвязки одержуються поворотами (в лінійному наближенні, враховуючи члени другого та вищих порядків ми одержимо деформації при таких «поворотах»).

Отже коефіцієнти $\alpha _{j}^{i}$ ми знайшли (формула 4). Займемося тепер коефіцієнтами $\beta _{jk}^{i}$.

Як відомо (див. Диференціальна геометрія), при зміні координат символи Крістофеля змінюються за законом:

$(5)\qquad \Gamma _{jk}^{i}={\partial u^{i} \over \partial {\tilde {u}}^{p}}\left({\partial ^{2}{\tilde {u}}^{p} \over \partial u^{j}\partial u^{k}}+{\tilde {\Gamma }}_{qs}^{p}{\partial {\tilde {u}}^{q} \over \partial u^{j}}{\partial {\tilde {u}}^{s} \over \partial u^{k}}\right)$

Оскільки в точці $P$ другий доданок в дужках дорівнює нулю за умовою задачі, то

$\Gamma _{jk}^{i}{\bigg |}_{P}={\partial u^{i} \over \partial {\tilde {u}}^{p}}{\bigg |}_{P}\beta _{jk}^{p}$

звідки знаходимо (уже однозначно) коефіцієнти $\beta _{jk}^{i}$:

$(6)\qquad \beta _{jk}^{i}=\Gamma _{jk}^{p}\alpha _{p}^{i}$

Таким чином ми знайшли такі коефіцієнти розкладу (1), що виконуються умови задачі.