Методика скінченних елементів

Методика скінченних елементів

Метод скінченних елементів (МСЕ) — числова техніка знаходження розв'язків інтегральних та диференціальних рівнянь у частинних похідних (ДРЧП). Процес розв'язання побудований або на повному усуненні диференціального рівняння для стаціонарних задач, або на розкладі в апроксимуючу систему звичайних диференціальних рівнянь, які потім розв'язуються використанням стандартної техніки, як метод Ейлера, Рунге-Кутти тощо.

При розв'язанні часткових диференціальних рівнянь метою є створення рівності, що апроксимує досліджувану рівність, і є числово стабільною, тобто помилки у вхідних даних і проміжних обчисленнях не акумулюються і не спричиняють беззмістовних результатів. Для реалізації цього є багато способів. Метод скінчених елементів є добрим вибором при розв'язуванні , які описують складні середовища ; при змінності цих середовищ; коли бажана точність змінюється у різних ділянках середовища; чи коли розв'язку не вистачає гладкості. Наприклад, при моделювання фронтального розбиття машини є можливість збільшити точність моделювання у важливіших зонах, таких, як передня частина машини, і зменшити її при обрахунку того, що відбудеться із задньою частиною машини . Інакшим прикладом може служити моделювання погоди , при якому важливішою є погода над сушею.

Метод скінченних елементів (МСЕ) виник з потребою розв'язування складних задач еластичності та структурного аналізу в інженерії. Його розвиток можна відслідкувати в роботах Олександра Хренікова (1941) та Річарда Куранта (1942). При тому, що бачення двох науковців були різними, вони сходились на важливішому: розподілення великої неперервної області на менші домени, які як правило називаються елементами.

Курант розділяв область на скінченну кількість трикутних підобластей, які відповідають розв'язкам еліптичних другого порядку, які постають від проблеми скручення циліндра. Внесок Куранта був еволюційним, тобто спирався багаж знань , який накопичили Рейліг, Рітц та Гальоркін.

Розвиток методу скінченних елементів почався в середині 1950-х років для потреб структурного аналізу у будівельній галузях і дістав розвитку в Штутгартському університеті в роботі Джона Аргеріса та в університеті Берклі, а точніше в роботі Рея В. Клафа в 1960-х для використання у цивільній інженерії. До кінця 1950-х ключові концепції матриці жорсткості та збір елементів вже існували практично в таких само формах, в яких вони застосовуються і зараз. В 1965 році була написана програма , як програмне забезпечення побудоване для реалізації МСЕ. Сам метод був строго доведений в 1973 році в публікації Стренга та Фікса — «Аналіз методу скінченних елементів», і був узагальнений в галузь прикладної математики та математичного моделювання фізичних систем в інженерних дисциплін, як електромагнетизм чи динаміка.

Застосування

Візуалізація деформації машини при асиметричному ударі, використовуючи метод скінченних елементів. Метод скінченних елементів, зазвичай на стадії дизайну та розробки продуктів, використовує багато дисциплін здебільшого з сім'ї механічної інженерії біометрична та автомобільна індустрії. Декілька сучасних МСЕ-пакетів включають елементи, як термальні, електромагнітні, рідинні та структурні робочі середовища. В структурному моделюванні МСЕ допомагає у генерації жорсткісних і силових візуалізацій у місцях зсувів та згинів, та відображання розповсюдження сил та зміщень.

МСЕ-програми забезпечують широкий спектр моделювальних можливостей контролю складності і модельовальної і аналітичної систем. За потреби в більшості інженерних програм можна змінювати бажаний рівень точності, час, потрібний для необхідних обчислень.

МСЕ дозволяє проектувати, відлагоджувати та оптимізовувати . Цей засіб проектування відчутно покращив стандарти інженерних проектів та методологію цього процесу у багатьох сферах. Використання МСЕ зменшило час. Його головною ідеєю було покращення початкових прототипів використовуючи МСЕ, що сприяло прискоренню їхнього тестування та розробки. В цілому, перевагами МСЕ є збільшення точності, покращення дизайну і краще бачення критичних параметрів, створення віртуальних прототипів, зменшення кількості реальних прототипів, пришвидшення та здешевлення проектування, збільшення продуктивності та прибутковості.

МСЕ

Найважливішими перевагами методу скінченних елементів є:

• Властивості матеріалів суміжних елементів можуть бути різними. Це дозволяє застосовувати метод до тіл, складених з декількох матеріалів.
• Скінченними елементами є прості області - прямі лінії, трикутники, прямокутники, піраміди, призми. Таким чином, методом можна апроксимувати тіла із складною формою країв.
• Розміри елементів можуть бути змінними. Це дозволяє збільшувати чи зменшувати елементи сітки.
• За допомогою МСЕ легко розглянути граничні умови з розривним поверхневим навантаженням, а також змішані граничні умови.
• Алгоритм методу скінченних елементів дозволяє створити загальні програми для розв'язку завдань різного класу.
• Завдання зводиться до розв'язку системи алгебраічних рівнянь великої розмірності. Проте хороша обумовленість системи розв'язних рівнянь дозволяє отримувати розв'язки для систем рівнянь розмірністю 5-10 мільйонів і більше.
• Основні процедури МСЕ добре придатні для паралелізування на кластерних і багатопроцесорних архитектурах.

Головний недолік методу полягає у потребах великого обсягу пам'яті комп'ютерів і високої швидкості розрахунку. Розвиток ІТ-техніки усунув цей недолік.

Використана література

• Зенкевич О.К. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. 541с.

• Карпіловський В.С. Метод скінченних елементів і задачі теорії пружності. – Київ: «Софія А», 2022. – 275 с.

• Огірко О. І. Огірко Ігор Васильович.