Прості обчислення диференціальної геометрії

Наведені нижче формули просто виводяться, і їх треба мати під рукою при виконанні складних обчислень диференціальної геометрії.

Формули

Добуток метричного тензора на обернену матрицю є одиничною матрицею $\delta _{j}^{i}$:

$(1)\qquad g_{ik}g^{kj}=\delta _{i}^{j}\qquad$

Згортка метричного тензора дорівнює числу $n$ — розмірності многовида.

$(2)\qquad g^{ij}g_{ij}=n$

У чотирьох нижченаведених формулах $\delta$ означає варіацію. Замість $\delta$ в ці формули можна підставити також частинну похідну $\partial _{s}$ по будь-якій координаті.

$(3)\qquad \delta g_{ij}=-g_{ik}g_{jp}\delta g^{kp}$

$(4)\qquad \delta g^{ij}=-g^{ik}g^{jp}\delta g_{kp}$

$(5)\qquad \delta g=gg^{ij}\delta g_{ij}=-gg_{ij}\delta g^{ij}$

$(6)\qquad \delta {\sqrt {g}}={1 \over 2}{\sqrt {g}}g^{ij}\delta g_{ij}=-{1 \over 2}{\sqrt {g}}g_{ij}\delta g^{ij}$

Згортка символів Крістофеля.

$(7)\qquad \Gamma _{si}^{s}={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}{\sqrt {g}}=\partial _{i}ln{\sqrt {g}}$

$(8)\qquad g^{ks}\Gamma _{ks}^{i}=-{1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{s}({\sqrt {g}}g^{si})$

Дивергенція вектора $a^{i}$.

$(9)\qquad \nabla _{i}a^{i}={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}a^{i})$

Лапласіан скалярного поля.

$(10)\qquad \nabla ^{2}\phi ={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}g^{ij}\partial _{j}\phi )$

Вектори повної кривини.

$(11)\qquad \mathbf {b} _{ij}=\nabla _{i}\mathbf {r} _{j}=\nabla _{j}\mathbf {r} _{i}=\nabla _{i}\nabla _{j}\mathbf {r}$

Середня кривина многовида.

$(12)\qquad g^{ij}\mathbf {b} _{ij}=\nabla _{i}\mathbf {r} ^{i}=\nabla ^{2}\mathbf {r}$

---

Обчислення (доведення формул)

Формула (1) є просто означенням оберненої матриці (якою є метричний тензор з верхніми індексами, див. Диференціальна геометрія).
Формула (2) є слід одиничної матриці, тобто сума $n$ одиниць, що стоять на головній діагоналі одиничної матриці.

Формули (3) і (4) виводимо, взявши варіацію (або похідну) від формули (1):

$(3a)\qquad \delta (g_{ik}g^{kj})=g_{ik}\delta g^{kj}+g^{kj}\delta g_{ik}=0$

Домножуючи цю рівність на $g_{jp}$ і користуючись формулою (1), маємо:

$(3b)\qquad g_{jp}g_{ik}\delta g^{kj}+g_{jp}g^{kj}\delta g_{ik}=g_{jp}g_{ik}\delta g^{kj}+\delta g_{ip}=0$

звідки одержимо формулу, тотожну формулі (3) після заміни позначень індексів:

$(3c)\qquad \delta g_{ip}=-g_{ik}g_{jp}\delta g^{kj}$

Для одержання формули (4), домножуємо (3а) на $g^{pi}$, обчислення аналогічні тільки що зробленим.

Для обґрунтування формули (5) зауважимо, що визначник $g$ є функцією від $n^{2}$ (незалежних) елементів матриці $g_{ij}$ ($i,j=1,...n$). Частинна похідна визначника по одному з елементів $g_{ij}$ матриці дорівнює алгебраїчному доповненню цього елемента $A^{ij}$ в матриці, який у свою чергу дорівнює добутку визначника матриці на відповідний елемент оберненої матриці: $A^{ij}=gg^{ij}$. Отже маємо першу частину формули (5):

$(5a)\qquad \delta g={\partial g \over \partial g_{ij}}\delta g_{ij}=A^{ij}\delta g_{ij}=gg^{ij}\delta g_{ij}$

Якщо сюди підставити $\delta g_{ij}$ із формули (3), одержимо другу частину формули (5):

$(5b)\qquad \delta g=-gg^{ij}g_{ik}g_{jp}\delta g^{kp}=-gg_{kp}\delta g^{kp}=-gg_{ij}\delta g^{ij}$

Формула (6) одержується легко з попередньої, як похідна складеної функції:

$(6a)\qquad \delta {\sqrt {g}}={1 \over {2{\sqrt {g}}}}\delta g={1 \over 2}{\sqrt {g}}g^{ij}\delta g_{ij}$

Перейдемо до згортки символів Крістофеля. У формулі (7) виразимо символ Крістофеля через похідні метричного тензора:

$(7a)\qquad \Gamma _{si}^{s}=g^{sk}\Gamma _{si,k}={1 \over 2}g^{sk}(\partial _{s}g_{ki}+\partial _{i}g_{sk}-\partial _{k}g_{si})$

Оскільки тензор $g^{sk}$ симетричний, то при згортці з ним перший та третій доданок дадуть однакові величин, але протилежні за знаком — і тому взаємно знищаться. Залишається тільки середній доданок, до якого можна застосувати формулу (5):

$(7b)\qquad \Gamma _{si}^{s}={1 \over 2}g^{sk}\partial _{i}g_{sk}={1 \over {2g}}\partial _{i}g={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}{\sqrt {g}}=\partial _{i}\ln {\sqrt {g}}$

У формулі (8) також виражаємо символ Крістофеля через похідні метричного тензора:

$(8a)\qquad g^{ks}\Gamma _{ks}^{i}=g^{ks}g^{ij}\Gamma _{ks,j}={1 \over 2}g^{ks}g^{ij}(\partial _{k}g_{sj}+\partial _{s}g_{kj}-\partial _{j}g_{ks})$

До перших двох доданків після розкриття дужок застосуємо формулу (4), яку в даному разі читаємо в зворотний бік, а до третього доданка застосуємо формулу (6):

$(8b)\qquad g^{ks}\Gamma _{ks}^{i}={1 \over 2}(-\partial _{k}g^{ki}-\partial _{s}g^{si}-2g^{ij}{\partial _{j}{\sqrt {g}} \over {\sqrt {g}}})=-{1 \over {\sqrt {g}}}({\sqrt {g}}\partial _{s}g^{si}+g^{si}\partial _{s}{\sqrt {g}})=-{1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{s}({\sqrt {g}}g^{si})$

При виводі формули (9) користуємося формулою (7):

$(9a)\qquad \nabla _{i}a^{i}=\partial _{i}a^{i}+\Gamma _{is}^{i}a^{s}=\partial _{i}a^{i}+{1 \over {\sqrt {g}}}(\partial _{s}{\sqrt {g}})a^{s}={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}a^{i})$

Формула (10) одержується з попередньої, якщо підставити $a^{i}=g^{ij}\nabla _{j}\phi =g^{ij}\partial _{j}\phi$:

$(11a)\qquad \nabla ^{2}\phi =\nabla _{i}(g^{ij}\nabla _{j}\phi )={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}g^{ij}\partial _{j}\phi )$

Формула (11) слідує з означення:

$\qquad \mathbf {r} _{i}=\partial _{i}\mathbf {r} =\nabla _{i}\mathbf {r}$

$\qquad \mathbf {r} _{ij}=\partial _{i}\partial _{j}\mathbf {r} =\Gamma _{ij}^{k}\mathbf {r} _{k}+\mathbf {b} _{ij}$

$(11a)\qquad \mathbf {b} _{ij}=\partial _{i}\mathbf {r} _{j}-\Gamma _{ij}^{s}\mathbf {r} _{s}=\nabla _{i}\mathbf {r} _{j}=\nabla _{i}\nabla _{j}\mathbf {r}$

Формула (12) одежується згорткою попередньої формули:

$(12a)\qquad g^{ij}\mathbf {b} _{ij}=\nabla _{i}(g^{ij}\mathbf {r} _{j})=\nabla _{i}\mathbf {r} ^{i}$

$(12b)\qquad g^{ij}\mathbf {b} _{ij}=(g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j})\mathbf {r} =\nabla ^{2}\mathbf {r}$