Прості обчислення диференціальної геометрії

Ця версія книжки "Прості обчислення диференціальної геометрії" призначена для друку
Ви не побачите це повідомлення при попередньому перегляді цієї сторінки.

Наведені нижче формули просто виводяться, і їх треба мати під рукою при виконанні складних обчислень диференціальної геометрії.

Формули

Добуток метричного тензора на обернену матрицю є одиничною матрицею $δ_{j}^{i}$ :

(1) g_{i k} g^{k j} = δ_{i}^{j}

Згортка метричного тензора дорівнює числу $n$ — розмірності многовида.

(2) g^{i j} g_{i j} = n

У чотирьох нижченаведених формулах $δ$ означає варіацію. Замість $δ$ в ці формули можна підставити також частинну похідну $\partial_{s}$ по будь-якій координаті.

(3) δ g_{i j} = - g_{i k} g_{j p} δ g^{k p}

(4) δ g^{i j} = - g^{i k} g^{j p} δ g_{k p}

(5) δ g = g g^{i j} δ g_{i j} = - g g_{i j} δ g^{i j}

(6) δ \sqrt{g} = \frac{1}{2} \sqrt{g} g^{i j} δ g_{i j} = - \frac{1}{2} \sqrt{g} g_{i j} δ g^{i j}

Згортка символів Крістофеля.

(7) Γ_{s i}^{s} = \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_{i} \sqrt{g} = \partial_{i} l n \sqrt{g}

(8) g^{k s} Γ_{k s}^{i} = - \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_{s} (\sqrt{g} g^{s i})

Дивергенція вектора $a^{i}$ .

(9) \nabla_{i} a^{i} = \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_{i} (\sqrt{g} a^{i})

Лапласіан скалярного поля.

(10) \nabla^{2} ϕ = \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_{i} (\sqrt{g} g^{i j} \partial_{j} ϕ)

Вектори повної кривини.

(11) 𝐛_{i j} = \nabla_{i} 𝐫_{j} = \nabla_{j} 𝐫_{i} = \nabla_{i} \nabla_{j} 𝐫

Середня кривина многовида.

(12) g^{i j} 𝐛_{i j} = \nabla_{i} 𝐫^{i} = \nabla^{2} 𝐫

Обчислення (доведення формул)

Формула (1) є просто означенням оберненої матриці (якою є метричний тензор з верхніми індексами, див. Диференціальна геометрія).
Формула (2) є слід одиничної матриці, тобто сума $n$ одиниць, що стоять на головній діагоналі одиничної матриці.

Формули (3) і (4) виводимо, взявши варіацію (або похідну) від формули (1):

(3 a) δ (g_{i k} g^{k j}) = g_{i k} δ g^{k j} + g^{k j} δ g_{i k} = 0

Домножуючи цю рівність на $g_{j p}$ і користуючись формулою (1), маємо:

(3 b) g_{j p} g_{i k} δ g^{k j} + g_{j p} g^{k j} δ g_{i k} = g_{j p} g_{i k} δ g^{k j} + δ g_{i p} = 0

звідки одержимо формулу, тотожну формулі (3) після заміни позначень індексів:

(3 c) δ g_{i p} = - g_{i k} g_{j p} δ g^{k j}

Для одержання формули (4), домножуємо (3а) на $g^{p i}$ , обчислення аналогічні тільки що зробленим.

Для обґрунтування формули (5) зауважимо, що визначник $g$ є функцією від $n^{2}$ (незалежних) елементів матриці $g_{i j}$ ( $i, j = 1, ... n$ ). Частинна похідна визначника по одному з елементів $g_{i j}$ матриці дорівнює алгебраїчному доповненню цього елемента $A^{i j}$ в матриці, який у свою чергу дорівнює добутку визначника матриці на відповідний елемент оберненої матриці: $A^{i j} = g g^{i j}$ . Отже маємо першу частину формули (5):

(5 a) δ g = \frac{\partial g}{\partial g_{i j}} δ g_{i j} = A^{i j} δ g_{i j} = g g^{i j} δ g_{i j}

Якщо сюди підставити $δ g_{i j}$ із формули (3), одержимо другу частину формули (5):

(5 b) δ g = - g g^{i j} g_{i k} g_{j p} δ g^{k p} = - g g_{k p} δ g^{k p} = - g g_{i j} δ g^{i j}

Формула (6) одержується легко з попередньої, як похідна складеної функції:

(6 a) δ \sqrt{g} = \frac{1}{2 \sqrt{g}} δ g = \frac{1}{2} \sqrt{g} g^{i j} δ g_{i j}

Перейдемо до згортки символів Крістофеля. У формулі (7) виразимо символ Крістофеля через похідні метричного тензора:

(7 a) Γ_{s i}^{s} = g^{s k} Γ_{s i, k} = \frac{1}{2} g^{s k} (\partial_{s} g_{k i} + \partial_{i} g_{s k} - \partial_{k} g_{s i})

Оскільки тензор $g^{s k}$ симетричний, то при згортці з ним перший та третій доданок дадуть однакові величин, але протилежні за знаком — і тому взаємно знищаться. Залишається тільки середній доданок, до якого можна застосувати формулу (5):

(7 b) Γ_{s i}^{s} = \frac{1}{2} g^{s k} \partial_{i} g_{s k} = \frac{1}{2 g} \partial_{i} g = \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_{i} \sqrt{g} = \partial_{i} \ln \sqrt{g}

У формулі (8) також виражаємо символ Крістофеля через похідні метричного тензора:

(8 a) g^{k s} Γ_{k s}^{i} = g^{k s} g^{i j} Γ_{k s, j} = \frac{1}{2} g^{k s} g^{i j} (\partial_{k} g_{s j} + \partial_{s} g_{k j} - \partial_{j} g_{k s})

До перших двох доданків після розкриття дужок застосуємо формулу (4), яку в даному разі читаємо в зворотний бік, а до третього доданка застосуємо формулу (6):

(8 b) g^{k s} Γ_{k s}^{i} = \frac{1}{2} (- \partial_{k} g^{k i} - \partial_{s} g^{s i} - 2 g^{i j} \frac{\partial_{j} \sqrt{g}}{\sqrt{g}}) = - \frac{1}{\sqrt{g}} (\sqrt{g} \partial_{s} g^{s i} + g^{s i} \partial_{s} \sqrt{g}) = - \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_{s} (\sqrt{g} g^{s i})

При виводі формули (9) користуємося формулою (7):

(9 a) \nabla_{i} a^{i} = \partial_{i} a^{i} + Γ_{i s}^{i} a^{s} = \partial_{i} a^{i} + \frac{1}{\sqrt{g}} (\partial_{s} \sqrt{g}) a^{s} = \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_{i} (\sqrt{g} a^{i})

Формула (10) одержується з попередньої, якщо підставити $a^{i} = g^{i j} \nabla_{j} ϕ = g^{i j} \partial_{j} ϕ$ :

(11 a) \nabla^{2} ϕ = \nabla_{i} (g^{i j} \nabla_{j} ϕ) = \frac{1}{\sqrt{g}} \partial_{i} (\sqrt{g} g^{i j} \partial_{j} ϕ)

Формула (11) слідує з означення:

𝐫_{i} = \partial_{i} 𝐫 = \nabla_{i} 𝐫

𝐫_{i j} = \partial_{i} \partial_{j} 𝐫 = Γ_{i j}^{k} 𝐫_{k} + 𝐛_{i j}

(11 a) 𝐛_{i j} = \partial_{i} 𝐫_{j} - Γ_{i j}^{s} 𝐫_{s} = \nabla_{i} 𝐫_{j} = \nabla_{i} \nabla_{j} 𝐫

Формула (12) одежується згорткою попередньої формули:

(12 a) g^{i j} 𝐛_{i j} = \nabla_{i} (g^{i j} 𝐫_{j}) = \nabla_{i} 𝐫^{i}

(12 b) g^{i j} 𝐛_{i j} = (g^{i j} \nabla_{i} \nabla_{j}) 𝐫 = \nabla^{2} 𝐫