Прості обчислення диференціальної геометрії

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Наведені нижче формули просто виводяться, і їх треба мати під рукою при виконанні складних обчислень диференціальної геометрії.

Формули[ред.]

Добуток метричного тензора на обернену матрицю є одиничною матрицею :

Згортка метричного тензора дорівнює числу  — розмірності многовида.

У чотирьох нижченаведених формулах означає варіацію. Замість в ці формули можна підставити також частинну похідну по будь-якій координаті.

Згортка символів Крістофеля.

Дивергенція вектора .

Лапласіан скалярного поля.

Вектори повної кривини.

Середня кривина многовида.


Обчислення (доведення формул)[ред.]

Формула (1) є просто означенням оберненої матриці (якою є метричний тензор з верхніми індексами, див. Диференціальна геометрія).
Формула (2) є слід одиничної матриці, тобто сума одиниць, що стоять на головній діагоналі одиничної матриці.

Формули (3) і (4) виводимо, взявши варіацію (або похідну) від формули (1):

Домножуючи цю рівність на і користуючись формулою (1), маємо:

звідки одержимо формулу, тотожну формулі (3) після заміни позначень індексів:

Для одержання формули (4), домножуємо (3а) на , обчислення аналогічні тільки що зробленим.

Для обґрунтування формули (5) зауважимо, що визначник є функцією від (незалежних) елементів матриці (). Частинна похідна визначника по одному з елементів матриці дорівнює алгебраїчному доповненню цього елемента в матриці, який у свою чергу дорівнює добутку визначника матриці на відповідний елемент оберненої матриці: . Отже маємо першу частину формули (5):

Якщо сюди підставити із формули (3), одержимо другу частину формули (5):

Формула (6) одержується легко з попередньої, як похідна складеної функції:

Перейдемо до згортки символів Крістофеля. У формулі (7) виразимо символ Крістофеля через похідні метричного тензора:

Оскільки тензор симетричний, то при згортці з ним перший та третій доданок дадуть однакові величин, але протилежні за знаком — і тому взаємно знищаться. Залишається тільки середній доданок, до якого можна застосувати формулу (5):

У формулі (8) також виражаємо символ Крістофеля через похідні метричного тензора:

До перших двох доданків після розкриття дужок застосуємо формулу (4), яку в даному разі читаємо в зворотний бік, а до третього доданка застосуємо формулу (6):

При виводі формули (9) користуємося формулою (7):

Формула (10) одержується з попередньої, якщо підставити :

Формула (11) слідує з означення:

Формула (12) одежується згорткою попередньої формули: