Наведені нижче формули просто виводяться, і їх треба мати під рукою при виконанні складних обчислень диференціальної геометрії.
Добуток метричного тензора на обернену матрицю є одиничною матрицею
:
![{\displaystyle (1)\qquad g_{ik}g^{kj}=\delta _{i}^{j}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3813d0775c95a0c438223226e53d98796cb058f1)
Згортка метричного тензора дорівнює числу
— розмірності многовида.
![{\displaystyle (2)\qquad g^{ij}g_{ij}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6992f5a5960dac4ede27a095d940bc526782fd)
У чотирьох нижченаведених формулах
означає варіацію. Замість
в ці формули можна підставити також частинну похідну
по будь-якій координаті.
![{\displaystyle (3)\qquad \delta g_{ij}=-g_{ik}g_{jp}\delta g^{kp}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492a22aac1740f52a4a5c4623af050cde54489a2)
![{\displaystyle (4)\qquad \delta g^{ij}=-g^{ik}g^{jp}\delta g_{kp}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6037dbba5011e1c5c7ae5233d0e306132edc5c36)
![{\displaystyle (5)\qquad \delta g=gg^{ij}\delta g_{ij}=-gg_{ij}\delta g^{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1539bc2f7f65778a63a1451d45dcea73a89d14c)
![{\displaystyle (6)\qquad \delta {\sqrt {g}}={1 \over 2}{\sqrt {g}}g^{ij}\delta g_{ij}=-{1 \over 2}{\sqrt {g}}g_{ij}\delta g^{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e72b8dd0d721eb41a09303ee6afbfd1e6e291a)
Згортка символів Крістофеля.
![{\displaystyle (7)\qquad \Gamma _{si}^{s}={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}{\sqrt {g}}=\partial _{i}ln{\sqrt {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789afc2aaf6b57a62bd81df36252ea3244c51577)
![{\displaystyle (8)\qquad g^{ks}\Gamma _{ks}^{i}=-{1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{s}({\sqrt {g}}g^{si})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6a9d6e993434add0b6fb0b2dd43b25637f5727)
Дивергенція вектора
.
![{\displaystyle (9)\qquad \nabla _{i}a^{i}={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}a^{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8de0812aac441f2c232c9800081f561dda3c5e)
Лапласіан скалярного поля.
![{\displaystyle (10)\qquad \nabla ^{2}\phi ={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}g^{ij}\partial _{j}\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c14aeebe2b20f2d65cd17e3d7b3120597d0f59)
Вектори повної кривини.
![{\displaystyle (11)\qquad \mathbf {b} _{ij}=\nabla _{i}\mathbf {r} _{j}=\nabla _{j}\mathbf {r} _{i}=\nabla _{i}\nabla _{j}\mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5df0e6082c07c38b738f071621b20b44a857afb)
Середня кривина многовида.
![{\displaystyle (12)\qquad g^{ij}\mathbf {b} _{ij}=\nabla _{i}\mathbf {r} ^{i}=\nabla ^{2}\mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93a19f1d2bf8efcd488393e95a7ad1c41950e4f8)
Обчислення (доведення формул)
[ред.]
Формула (1) є просто означенням оберненої матриці (якою є метричний тензор з верхніми індексами, див. Диференціальна геометрія).
Формула (2) є слід одиничної матриці, тобто сума
одиниць, що стоять на головній діагоналі одиничної матриці.
Формули (3) і (4) виводимо, взявши варіацію (або похідну) від формули (1):
![{\displaystyle (3a)\qquad \delta (g_{ik}g^{kj})=g_{ik}\delta g^{kj}+g^{kj}\delta g_{ik}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4970524cb5b4be3336a3187608cf6802a897a742)
Домножуючи цю рівність на
і користуючись формулою (1), маємо:
![{\displaystyle (3b)\qquad g_{jp}g_{ik}\delta g^{kj}+g_{jp}g^{kj}\delta g_{ik}=g_{jp}g_{ik}\delta g^{kj}+\delta g_{ip}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7544e2afbc1d7a7650f8a13a608742445608247f)
звідки одержимо формулу, тотожну формулі (3) після заміни позначень індексів:
![{\displaystyle (3c)\qquad \delta g_{ip}=-g_{ik}g_{jp}\delta g^{kj}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/332ee1b534199c012cf3d8c4f7ba99aefec63852)
Для одержання формули (4), домножуємо (3а) на
, обчислення аналогічні тільки що зробленим.
Для обґрунтування формули (5) зауважимо, що визначник
є функцією від
(незалежних) елементів матриці
(
). Частинна похідна визначника по одному з елементів
матриці дорівнює алгебраїчному доповненню цього елемента
в матриці, який у свою чергу дорівнює добутку визначника матриці на відповідний елемент оберненої матриці:
. Отже маємо першу частину формули (5):
![{\displaystyle (5a)\qquad \delta g={\partial g \over \partial g_{ij}}\delta g_{ij}=A^{ij}\delta g_{ij}=gg^{ij}\delta g_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2694bb3618b3f8a101ba61f265b15a438af38e)
Якщо сюди підставити
із формули (3), одержимо другу частину формули (5):
![{\displaystyle (5b)\qquad \delta g=-gg^{ij}g_{ik}g_{jp}\delta g^{kp}=-gg_{kp}\delta g^{kp}=-gg_{ij}\delta g^{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9832e00c5765c3028742c205bff2964d17155be6)
Формула (6) одержується легко з попередньої, як похідна складеної функції:
![{\displaystyle (6a)\qquad \delta {\sqrt {g}}={1 \over {2{\sqrt {g}}}}\delta g={1 \over 2}{\sqrt {g}}g^{ij}\delta g_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5b6e5e651843b87b0f1011ff51469e1a646879)
Перейдемо до згортки символів Крістофеля. У формулі (7) виразимо символ Крістофеля через похідні метричного тензора:
![{\displaystyle (7a)\qquad \Gamma _{si}^{s}=g^{sk}\Gamma _{si,k}={1 \over 2}g^{sk}(\partial _{s}g_{ki}+\partial _{i}g_{sk}-\partial _{k}g_{si})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a24e849ef2b7de5dc7e2b311562dc6328d7f150)
Оскільки тензор
симетричний, то при згортці з ним перший та третій доданок дадуть однакові величин, але протилежні за знаком — і тому взаємно знищаться. Залишається тільки середній доданок, до якого можна застосувати формулу (5):
![{\displaystyle (7b)\qquad \Gamma _{si}^{s}={1 \over 2}g^{sk}\partial _{i}g_{sk}={1 \over {2g}}\partial _{i}g={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}{\sqrt {g}}=\partial _{i}\ln {\sqrt {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf668da7fa01373ede3fed3b41e81cc9260fca1)
У формулі (8) також виражаємо символ Крістофеля через похідні метричного тензора:
![{\displaystyle (8a)\qquad g^{ks}\Gamma _{ks}^{i}=g^{ks}g^{ij}\Gamma _{ks,j}={1 \over 2}g^{ks}g^{ij}(\partial _{k}g_{sj}+\partial _{s}g_{kj}-\partial _{j}g_{ks})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8fe9634e7e9c1a199868fdedb3e97338c7dc0d1)
До перших двох доданків після розкриття дужок застосуємо формулу (4), яку в даному разі читаємо в зворотний бік, а до третього доданка застосуємо формулу (6):
![{\displaystyle (8b)\qquad g^{ks}\Gamma _{ks}^{i}={1 \over 2}(-\partial _{k}g^{ki}-\partial _{s}g^{si}-2g^{ij}{\partial _{j}{\sqrt {g}} \over {\sqrt {g}}})=-{1 \over {\sqrt {g}}}({\sqrt {g}}\partial _{s}g^{si}+g^{si}\partial _{s}{\sqrt {g}})=-{1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{s}({\sqrt {g}}g^{si})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797abed5686755e25e998aeaae119aca3f5e4cd3)
При виводі формули (9) користуємося формулою (7):
![{\displaystyle (9a)\qquad \nabla _{i}a^{i}=\partial _{i}a^{i}+\Gamma _{is}^{i}a^{s}=\partial _{i}a^{i}+{1 \over {\sqrt {g}}}(\partial _{s}{\sqrt {g}})a^{s}={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}a^{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6046423058049d416b5f15a250710e2652d78b)
Формула (10) одержується з попередньої, якщо підставити
:
![{\displaystyle (11a)\qquad \nabla ^{2}\phi =\nabla _{i}(g^{ij}\nabla _{j}\phi )={1 \over {\sqrt {g}}}\partial _{i}({\sqrt {g}}g^{ij}\partial _{j}\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3f9f57a247f4e1489d84a565fbab190a863adab)
Формула (11) слідує з означення:
![{\displaystyle \qquad \mathbf {r} _{i}=\partial _{i}\mathbf {r} =\nabla _{i}\mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134f338d1d7516e3d187e531b945c0b8a771df94)
![{\displaystyle \qquad \mathbf {r} _{ij}=\partial _{i}\partial _{j}\mathbf {r} =\Gamma _{ij}^{k}\mathbf {r} _{k}+\mathbf {b} _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12f4a90197df894895aa194e662edc70b49f78c)
![{\displaystyle (11a)\qquad \mathbf {b} _{ij}=\partial _{i}\mathbf {r} _{j}-\Gamma _{ij}^{s}\mathbf {r} _{s}=\nabla _{i}\mathbf {r} _{j}=\nabla _{i}\nabla _{j}\mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281ac86a7973ae96494154ee8ea33e7beca971d6)
Формула (12) одежується згорткою попередньої формули:
![{\displaystyle (12a)\qquad g^{ij}\mathbf {b} _{ij}=\nabla _{i}(g^{ij}\mathbf {r} _{j})=\nabla _{i}\mathbf {r} ^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f81960208df3cf7a04e6376372f3a2ec148820)
![{\displaystyle (12b)\qquad g^{ij}\mathbf {b} _{ij}=(g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j})\mathbf {r} =\nabla ^{2}\mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9513cedaa46f0a706ae410ef30fe03cf9368144)