Розв'язник вправ по дискретній математиці/Комбінаторика

Розв'язник вправ по дискретній математиці. Комбінаторика

Задача 1

а) Яких чисел більше серед цілих чисел першої тисячі (включаючи і 1000): в записі яких є одиниця, або інших? б) Яких семизначних чисел більше: тих, в запису яких є одиниця, або інших?

Розв'язання.  

а) Є $8^{3}=512$ тризначних чисел, що не містять 1 і 0. Це вже більше половини чисел першої тисячі.

Відповідь: більше чисел, в запису яких немає одиниці;

б) Підрахуємо кількість чисел, в запису яких немає одиниці. На першому місці може стояти кожна з 8 цифр (0 і не 1), на кожному з решти - будь-яка з 9 цифр, відмінних від 1. Всього отримуємо $8*9^{6}$ чисел, що становить менше половини від кількості 9 · 10^6 всіх семизначних чисел.

Відповідь: більше чисел, в запису яких є ​​одиниця.

Задача 2

Скількома способами 3 людини можуть розділити між собою 7 однакових яблук, один апельсин, одну сливу і один мандарин?

Розв'язання.  

Формула для розподілу k однакових речей серед n різних людей: F (k, n) = C (n-1, n + k-1);

C(2,9)=9!/(7!*2!)= 36;

"Поодинокі" фрукти можуть дістатися кожному з трьох, тоді: $36*3^{3}=972$ способів.

Відповідь: 972 способів;

Задача 3

• Розв'язати завдання з leetcode.com (Count Sorted Vowel Strings). Given an integer n, return the number of strings of length n that consist only of vowels (a, e, i, o, u) and are lexicographically sorted.

A string s is lexicographically sorted if for all valid i, s[i] is the same as or comes before s[i+1] in the alphabet.

Example 1:  

Input: n = 1

Output: 5

Explanation: The 5 sorted strings that consist of vowels only are ["a","e","i","o","u"].

Example 2:  

Input: n = 2

Output: 15

Explanation: The 15 sorted strings that consist of vowels only are ["aa","ae","ai","ao","au","ee","ei","eo","eu","ii","io","iu","oo","ou","uu"]. Note that "ea" is not a valid string since 'e' comes after 'a' in the alphabet.

Example 3:  

Input: n = 10

Output: 1001