Розв'язник вправ по дискретній математиці/Комбінаторика
Розв'язник вправ по дискретній математиці. Комбінаторика[ред.]
Задача 1[ред.]
а) Яких чисел більше серед цілих чисел першої тисячі (включаючи і 1000): в записі яких є одиниця, або інших? б) Яких семизначних чисел більше: тих, в запису яких є одиниця, або інших?
а) Є тризначних чисел, що не містять 1 і 0. Це вже більше половини чисел першої тисячі.
Відповідь: більше чисел, в запису яких немає одиниці;
б) Підрахуємо кількість чисел, в запису яких немає одиниці. На першому місці може стояти кожна з 8 цифр (0 і не 1), на кожному з решти - будь-яка з 9 цифр, відмінних від 1. Всього отримуємо чисел, що становить менше половини від кількості 9 · 10^6 всіх семизначних чисел.
Відповідь: більше чисел, в запису яких є одиниця.
Задача 2[ред.]
Скількома способами 3 людини можуть розділити між собою 7 однакових яблук, один апельсин, одну сливу і один мандарин?
Формула для розподілу k однакових речей серед n різних людей: F (k, n) = C (n-1, n + k-1);
C(2,9)=9!/(7!*2!)= 36;
"Поодинокі" фрукти можуть дістатися кожному з трьох, тоді: способів.
Відповідь: 972 способів;
Задача 3[ред.]
- Розв'язати завдання з leetcode.com (Count Sorted Vowel Strings). Given an integer n, return the number of strings of length n that consist only of vowels (a, e, i, o, u) and are lexicographically sorted.
A string s is lexicographically sorted if for all valid i, s[i] is the same as or comes before s[i+1] in the alphabet.
Input: n = 1
Output: 5
Explanation: The 5 sorted strings that consist of vowels only are ["a","e","i","o","u"].
Input: n = 2
Output: 15
Explanation: The 15 sorted strings that consist of vowels only are ["aa","ae","ai","ao","au","ee","ei","eo","eu","ii","io","iu","oo","ou","uu"]. Note that "ea" is not a valid string since 'e' comes after 'a' in the alphabet.
Input: n = 10
Output: 1001