Розв'язник вправ по дискретній математиці/Сообщение
Теорія множин. Вправа 1
[ред.]1. Визначити, чи можна назвати кожну з наступних множин чітко визначеною. Кротко пояснити свою відповідь:
a) Множина всіх буквенно-цифрових символів; b) Множина всіх людей високого зросту; c) Множина всіх хороших тенісистів; d) Множина всіх дійсних значень х, для яких виконується 2х-9=16.
2. U={множина натуральних чисел}; A={2,4,6,8,10}; B={1,3,6,7,8}. Встановити: вірним або хибним є наступне твердження:
a) 2 є А;
b) 11 є В;
c) 4 ∉ B;
d) A = {парні числа}.
3. U=R; A= {4, √2, 2/3, -2.5, -5, 33, √9, π}. Використовуючи позначення {…} записати множину, що складається з:
a) Натуральних чисел, що належать множині А; b) Цілих чисел, що належать множині А; c) Раціональних чисел, що належать множині А; d) Ірраціональних чисел, що належать множині А.
4. Вірним чи хибним є наступне твердження:
a) ø = {0};
b) x ∈ { x };
c) ø = { ø };
d) ø ∈ { ø }.
5. Наступні множини визначені після позначення │. Переписати ці множини шляхом перерахування декількох з їх елементів.
a) {p | p - столиця, p знаходиться в Європі};
b) {x | x = 2n - 5, x та n є натуральними числами};
c) {y | 2y2 = 50, y є цілим};
d) {z | 3z = n2, z та n є натуральними числами}.
Теорія множин. Вправа 2
[ред.]1. Переписати таблицю істинності і вписати в кінці кожного рядка кількість кожної області у Fig. 4 Venn Diagrams.
| у А? | у В? | у С? | Область |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 |
2. Якщо U = {літери алфавіту}, A = {a, a, a, б, б, a, в}, B = {в, б, a, в} та C = {a, б, в}, що можна сказати про A, B та C?
3. U = {натуральні числа}; A = {2, 4, 6, 8, 10}; B = {1, 3, 6, 7, 8}. Встановити, вірним чи хибним є твердження:
a) A ⊂ U; b) B ⊆ A; c) ø ⊂ U;
4. U = { а, б, в, г, ґ, д, е, є }; P = {в, д}; Q = {а, в, г, ґ , д, є}; R = {в, г, є}
a) Зобразіть діаграму Венна, показуючи ці множини з усіма елементами, що знаходяться у відповідних їм областях. При необхідності, переробіть схему, щоб усунути порожні області. b) Які з множин P, Q та R є власною підмножиною інших? Запишіть відповідь, використовуючи позначення ⊂. c) P та R є непересічними множинами. Вірно чи хибно?
5. Зробити ескізи діаграм Венна, які показують універсальну множину U, множини А і В і один елемент х в кожному з таких випадків:
a) а) х ∈ А; A ⊂ B b) б) х ∈ А; А і Б не перетинаються c) C) х ∈ А; х ∉ B; У ⊂ A d) х ∈ А; х ∈ B; А не є підмножина B; В не є підмножиною A.
Теорія множин. Вправа 3
[ред.]1. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; A = {2, 4, 6, 8, 10}; B = {1, 3, 6, 7, 8}; C = {3, 7}
a) зобразити множини U, A, B та C за допомогою діаграм Венна,розставляючи всі елементи на відповідні місця. (Примітка: якщо якась з областе діаграми не містить жодного елемента, переробити діаграму, щоб виправити це.) b) використовуючи діаграми Венна, перерахувати елементи всіх наступних множин: A ∩ B, A ∪ C, A′, B′, B ∩ A′, B ∩ C′, A – B, A Δ B c) Доповнити твердження, використовуючи один символ: C - B = ... .
2. Вірно чи хибно?
a) | ø | = 1
b) | { x, x } | = 2
c) | U ∩ ø | = 0
3. Що можна сказати про множини P та Q якщо:
a) P ∩ Q′ = ø b) P ∪ Q = P?
4. Зробіть шість малюнків, як показано нижче і замалюйте відповідні області:
-
Опис1
a) A ′ ∪ B b) A ∩ B ′ c) (A ∩ B) ′ d) A ′ ∪ B ′ e) (A ∪ B) ′ f) A ′ ∩ B ′
5. Визначте множини, представлені заштрихованими областями на діаграмах Венна нижче, використовуючи необхідні символи зі списку ∩, ∪ та ′.:
-
а) -
b) -
c) -
d)
6.
a) Одна з заштрихованих областей в питанні 5 являє собою множину А-В. написати її визначення, використовуючи необхідні символи зі списку ∩, ∪ та ′. b) Знову ж за допомогою однієї з відповідей на питання 5, написати визначення A Δ B, використовуючи тільки символи зі списку ∩, ∪ та ′. (тут можливі два варіанти – перевір, чи можеш ти знайти їх.)
Теорія множин. Вправа 4
[ред.]1
a) Якщо A = {1, 2, 3, 4}, переписати P(A) перераховуючи елементи. Знайти потужність | P(A) |?
b) Якщо | A | = 5, яка потужність | P(A) |?
c) Якщо | A | = 10, яка потужність | P(A) |?
2. Довести наступні тотожності, вказуючи, які саме з законів множин ви використали в доведенні
a) B ∪ (ø ∩ A) = B b) (A ′ ∩ U) ′ = A c) (C ∪ A) ∩ (B ∪ A) = A ∪ (B ∩ C) d) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ' ) = A e) (A ∩ B) ∪ (A ∪ B ' ) ′ = B f) A ∩ (A ∪ B) = A
Теорія множин. Вправа 5
[ред.]1. X = {a, c} та Y = {a, b, e, f}. Перерахувати елементи множин, утворених наступним чином:
a) X × Y b) Y × X c) X 2 (= X × X) d) Що можна сказати про множини A та B якщо A × B = B × A?
2. Дошка для гри в шахи має 8 рядків, пронумерованих від 1 до 8, та 8 стовпців від a дo кожний квадрат шахової дошки визначається парою символів (лiтера стовпця і номер рядка).
a) Лицар знаходиться на (d, 3). Запишіть свої можливі позиції після одного ходу конем.
b) якщо R = {1, 2, ..., 8}, C = {a, b, ..., h}, і P = {координати всіх квадратиків на дошці}, використати позначення множин, щоб виразити P через R та C.
c) Тура(ладья) розташована на (g, 2). Якщо T = {2} і G = {g}, виразити можливі позиції після одного ходу тури через R, C, T та G.
3. У певній мові програмування всі назви змінних мають бути довжиною 3 символи таким чином, щоб перший символ був будь якою літерою від «а» до «z», два інших можуть бути літерами з того ж проміжку або цифрою від 0 до 9. Якщо L = {a, b, c, ... , z}, D = {0, 1, 2, ..., 9}, і V = {допустимі імена змінних}, використовуючи Декартів добуток, завершити V = {pqr | (p, q, r) ∈ ... }
4. Вважається, що для будь-яких множин A, B та C, A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C). (Зверніть увагу, у разі, якщо це вірно, то × дистрибутивне над ∩) Скопіюйте та завершіть дві Декартові діаграми, приведені нижче – це для вираження в кожній частині рівняння – для його дослідження. Як Ви вважаєте, дане твердження є вірним?
