Системи числення
Вступ
[ред.]Ще в сиву давнину людям доводилося рахувати різні предмети і явища, що їх оточували. Спочатку не було ні літер, ні цифр і думки людина висловлювала за допомогою малюнків на стінах печер. Для запам'ятовування чисел люди користувалися зарубками на печерах, деревах та вузелками на мотузках та рахували на пальцях. За допомогою нього Робінзон Крузо вимірював дні, що він провів на безлюдному острові. Це найпростіший спосіб запису чисел, тому навіть зараз людина вчиться рахувати в цей спосіб. Спосіб запису чисел за допомогою символів називається системою числення. Щойно розглянута система називається унарною. Але зазвичай ми користуємося десятковою системою числення. Вона використовує для запису чисел цифри від 0 до 9, тобто всього десятьма символами. Також на значення чисел, записаних десятковою системою числення, впливає не тільки символи, з яких складається запис, а й їх розташування. Тобто 245 і 452 це різні числа, на відміну від унарної системи числення, в якій не важливе місце розташуівння засічок/вузликів/, а тільки їхня кількість. Ця властівсть називається позиційністю, а система числення, що її має, називається позиційною системою числення. Місця розташування символів у числі називаються розрядами, нумеруються вони зправа-наліво.
Розглянемо число 333. Найлівіша трійка означає просто три. Трохи правіша трійка означає тридцять. Найправіша трійка означає 300. Тепер складемо докупи значення розрядів: 300+30+3 = 333. Значення цифри 3 змінюється в залежності від розташування в 10 раз. Як відомо, зазвичай лічать якісь величини починаючи з одиниці, але розряди починають лічити з нуля, тобто найправіший розряд нульовий, а лівіший за нього - перший і т.д.
Розглянемо десяткове число 238. Цифра 8 знаходиться в нульовому розряді, або розряді одиниць і важить як 8 одиниць, тобто 8. Цифра 3 знаходиться в першому розряді, або розряді десяток і важить як 3 десятки, тобто 30. Цифра 2 знаходиться в другому розряді, або розряді сотень і важить як дві сотні тобто 200. Тепер додамо значення всіх розрядів числа і отримаємо його значення: . Довжину чисел визначають за його розрядністю. Тобто 2345 - чотирирозрядне число, а 43 - дворазрядне. Десяткову систему числення іноді такж називають системою числення з десятковою основою.
Значення кожного окремого розряду в десятковій системі числення дорівнює: число*10Номер розряду
Розглянемо десяткове число 1981:
Розряд одиниць - 0 розряд: 100*1=1
Розряд десятків - 1 розряд: 101*8=80
Розряд сотень - 2 розряд: 102*9=900
Розряд тисяч - 3 розряд: 103*1=1000
Підсумуємо значення всіх розрядів:
Окрім десяткової системи числення людина широко використовує й інші: двійкову, вісімкову, шіснадцяткову - вони щироко розповсюджені в електрониіці і програмуванні, а cтарослов'янська система числення і нині використовується в православних богослужбових книжках. В старослов'янській системі числення для запису чисел використовувалась кирилиця та глаголиця, але з почначкою - титлом, яке вказувало на використання літер в якості цифер. Цей знак міг ставитися над кожною літерою, або він міг бути довгим і покривати все число. На малюнках показані приклади запису чисел кирилицею. Іноді для грошових сум титло заміняли надстрочною лігатурою "ру", "де" або буквою "а", що відповідало символам рубля, діньги чи алтину.
Потім люди придумали рахівницю та в кожного народу були свої різновиди. Цей пристрій пережив багато комп'ютерів та калькуляторів, особливо в Радянському Союзі та пострадяньких республіках, де на калькулятори дурнуваті продавці дивилися, як на породження зла. Навіть зараз людина вчить арифметику на цьому найпростішому обчислювальному пристрої. Зазвичай рахівниця складається з гілок у прямокутній рамці, на які нанизані кісточки. Кожна гілка відповідає одному розряду, вага якого визначається кількістю кісточок зліва або звеху. Тобто всередині розрядів використовується унарна система числення. Не дивлячись на примітивізм конструкції, китайці за домомогою свого варіанту (Суаньпаню) навчилися отримувати квадратні та кубічні корені а також робили інженерні розрахунки для першої китайської атомної бомби.
Розглянемо детальніше конструкцію суаньпаню.
Пристрій поділений на 2 частини, які називаються "небо" і "земля" - на "землі" розташовані п'ять кісточок, а на "небі" дві. Коли на "небі" обидві кісточки зверху, то вага розряду дорівнює кількості верхніх кісточок "землі". В випадку, якщо на "небі" одна кісточка зверху, а одна знизу, вага розряду дорівнює додаванню 5 до кількості верхніх кісточок "землі".