Радіанне вимірювання дуг і кутів. Довжина дуги і площа сектора.

Радіанне вимірювання дуг і кутів

Кут 1 радіан

Так само, як і відстані не завжди зручно вимірювати сантиметрами, час секундами, масу грамами і т.д., кути і дуги не завжди зручно вимірювати градусами. Тому поряд з градусом дуже часто вживають і іншу одиницю вимірювання кутів і дуг – радіан.

1 радіан – це центральний кут, що спирається на таку дугу кола, довжина якої дорівнює радіусу цього кола.
Кут в 1 радіан не залежить від радіуса кола. Дійсно, коло радіуса $R$ має довжину $2\pi R$. Тому його дуга завдовжки $R$ становить ${\frac {1}{2\pi }}$ частин кола; але в такому випадку центральний кут, що їй відповідає, повинен становити ${\frac {1}{2\pi }}$ частин повного кута, тобто кута $360$° . Звідси
1 радіан =${\frac {360}{2\pi }}$≈57 ° 17′ 45″ (1)
Зрозуміло, що цей кут не залежить від $R$. Використавши (1) маємо, що $2\pi$ радіанів =360°. Тому 1°=${\frac {2\pi }{360}}$≈$0,017$ радіана.
Зв’язок між градусною та радіанною мірою кута виражають співвідношення:
$\phi \ _{deg}={\frac {\pi }{180}}\phi \ _{rad}$ та $\phi \ _{rad}={\frac {180}{\pi }}\phi \ _{deg}$, (2)
де $\phi \ _{rad}$ та $\phi \ _{deg}$ – відповідно радіанна та градусна міра кута (спробуйте довести це самостійно).
Так як між дугою та центральним кутом кола можна встановити взаємно однозначну відповідність, то наведені вище міркування розповсюджуються не тільки на кути, а й на відповідні їм дуги.