Радіанне вимірювання дуг і кутів. Довжина дуги і площа сектора.

Радіанне вимірювання дуг і кутів

Так само, як і відстані не завжди зручно вимірювати сантиметрами, час секундами, масу грамами і т.д., кути і дуги не завжди зручно вимірювати градусами. Тому поряд з градусом дуже часто вживають і іншу одиницю вимірювання кутів і дуг – радіан.

1 радіан – це центральний кут, що спирається на таку дугу кола, довжина якої дорівнює радіусу цього кола.
Кут в 1 радіан не залежить від радіуса кола. Дійсно, коло радіуса $R$ має довжину $2\pi R$ . Тому його дуга завдовжки $R$ становить ${\frac {1}{2\pi }}$ частин кола; але в такому випадку центральний кут, що їй відповідає, повинен становити ${\frac {1}{2\pi }}$ частин повного кута, тобто кута $360$ ° . Звідси

1 радіан = ${\frac {360}{2\pi }}$ ≈57 ° 17′ 45″(1)

Зрозуміло, що цей кут не залежить від $R$ . Використавши (1) маємо, що $2\pi$ радіанів =360°. Тому 1°= ${\frac {2\pi }{360}}$ ≈ $0,017$ радіана.
Зв’язок між градусною та радіанною мірою кута виражають співвідношення:

 $\phi \ _{deg}={\frac {180}{\pi }}\phi \ _{rad}$   та   $\phi \ _{rad}={\frac {\pi }{180}}\phi \ _{deg}$ , (2)

де $\phi \ _{rad}$ та $\phi \ _{deg}$ – відповідно радіанна та градусна міра кута (спробуйте довести це самостійно).
Так як між дугою та центральним кутом кола можна встановити взаємно однозначну відповідність, то наведені вище міркування розповсюджуються не тільки на кути, а й на відповідні їм дуги.

Приклад 1. Обчислити радіанну міру кута 135°.
Розв’язання. Використавши співвідношення (2), маємо $\phi \ _{rad}={\frac {\pi }{180}}\cdot 135$ °= ${\frac {3}{4}}\cdot \pi$ радіанів.

Приклад 2. Обчислити градусну міру кута $2\pi$ радіанів.
Розв’язання. Використавши співвідношення (2), маємо $\phi \ _{deg}={\frac {180}{\pi }}\cdot 2\pi =$ 360°.

Вправи

1. Обчислити радіанну міру кута:

0°
30°
45°
90°
180°
270°
360°

2. Обчислити градусну міру кута:

0 радіанів
${\frac {\pi }{4}}$ радіанів
${\frac {\pi }{3}}$ радіанів
${\frac {\pi }{2}}$ радіанів
${\frac {3\pi }{2}}$ радіанів
$\pi$ радіанів

Довжина дуги і площа сектора

Щоб переконатись у доцільності використання радіанної міри кута замість градусної, розглянемо задачу про довжину дуги кола та задачу про площу сектора круга.

Нехай $\phi \ _{rad}$ та $\phi \ _{deg}$ – відповідно радіанна та градусна міра центрального кута $\phi$ кола $R$ . Обчислимо довжину $L$ дуги кола. Як відомо з курсу геометрії, довжина кола радіуса $R$ дорівнює $2\pi R$ . Тоді куту 360° відповідає дуга $2\pi R$ (все коло!), а куту $\phi \ _{deg}$ – дуга $L$ .
Складемо пропорцію ${\frac {360}{\phi \ _{deg}}}={\frac {2\pi R}{L}}$ , звідки

 $L={\frac {2\pi R}{360}}\cdot \phi \ _{deg}$ . (3)

Коли кут задано радіанною мірою, то маємо, що довжині кола відповідає кут $2\pi$ радіанів і пропорція набуде вигляду ${\frac {2\pi }{\phi \ _{rad}}}={\frac {2\pi R}{L}}$ , звідки

 $L=R\phi \ _{rad}$ . (3’)

Як бачимо, формула (3’) для обчислення довжини дуги значно простіша за формулу (3), тобто в цьому випадку використовувати радіанну міру кута доцільніше, ніж градусну.

Обчислимо площу сектора круга, обмеженого кутом $\phi \ _{rad}$ . Куту $2\pi$ відповідає площа всього круга $\pi R^{2}$ .

Маємо пропорцію ${\frac {2\pi }{\phi \ _{rad}}}={\frac {\pi R^{2}}{S}}$ , тобто

 $S={\frac {R^{2}\cdot \phi \ _{rad}}{2}}$ . (4)

Виведіть самостійно формулу для площі сектора круга, обмеженого кутом $\phi \ _{deg}$ . Отриману формулу порівняйте з (4).

Приклад 1. Обчислити довжину дуги кола з $R=5$ , що спирається на центральний кут 135°.
Розв’язання. Використавши співвідношення (3), маємо $L={\frac {2\pi \cdot 5}{360}}\cdot 135={\frac {15}{4}}\cdot \pi$ .

Приклад 2. Обчислити довжину дуги кола з $R=2$ , що спирається на центральний кут ${\frac {\pi }{2}}$ .
Розв’язання. Використавши співвідношення (3’), маємо $L=2\cdot {\frac {\pi }{2}}=\pi$ .

Приклад 3. Обчислити градусну і радіанну міру центрального кута $\phi$ кола з $R=10$ , якщо дуга $L=2$ .
Розв’язання. Використавши співвідношення (3) та (3’), маємо $\phi \ _{deg}={\frac {360L}{2\pi R}}$ , $\phi \ _{rad}={\frac {L}{R}}$ , звідки отримаємо $\phi \ _{deg}={\frac {360\cdot 2}{2\pi \cdot 10}}=({\frac {36}{\pi }})$ °, $\phi \ _{rad}={\frac {2}{10}}={\frac {1}{5}}$ радіанів.