Тригонометричні функції довільного аргументу. Знаки тригонометричних функцій

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Тригонометричні функції довільного аргументу[ред.]

Вектор ОА

Нехай – довільний кут. На кінцевій стороні цього кута візьмемо вектор довільної довжини . Абсцису цього вектора позначимо , а ординату – .
Тоді
Теорема. Відношення та координат вектора до його довжини не залежать від довжини вектора, але залежать від його напрямку.(Пропонуємо довести теорему самостійно)
Як бачимо, відношення та залежать лише від напряму вектора , що визначається кутом , і не залежить від довжини вектора .
Тому ці величини є своєрідними характеристиками кута .
Відношення ординати вектора, що утворює з віссю кут , до довжини цього вектора, називається синусом кута :

 (5)

Відношення абсциси вектора, що утворює з віссю кут , до довжини цього вектора, називається косинусом кута :

 (6)

Крім синуса та косинуса кута часто використовують ще такі характеристики кута .
Відношення синуса кута до його косинуса називається тангенсом кута :

 (7)

Відношення косинуса кута до його синуса називається котангенсом кута :

 (8)

Величина, обернена до косинуса кута , називається секансом цього кута:

 (9)

Величина, обернена до синуса кута , називається косекансом даного кута:

 (10)

У зв’язку з простотою співвідношень (9) та (10) і з тим, що секанс та косеканс використовуються здебільшого в астрономії, ми звертатимемо на них дещо менше уваги, ніж на величини (5)-(8).
Так як при зміні кута змінюються відповідні йому значення синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса та косеканса, то можна говорити про те, що вони є функціями кута . Функції синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс та косеканс кута прийнято називати тригонометричними функціями кута.
З огляду на простий зв’язок між кутами і дугами (3’), можна говорити про тригонометричні функції не тільки кута, але й дуги. Під синусом (косинусом, тангенсом і т.д.) дуги розуміють число, що дорівнює синусу (косинусу, тангенсу і т.д.) кута радіанів.
Взагалі, синусом числа будемо називати число, яке дорівнює синусу кута радіанів. Це означення та аналогічні для косинуса, тангенса, котангенса, секанса та косеканса дають змогу говорити про тригонометричні функції числового аргументу.

Знаки тригонометричних функцій[ред.]

Одиничний вектор

Нехай задано вектор з . Синус і косинус кута ми визначили співвідношеннями (5) і (6). Врахувавши, що , маємо

, , (11)

тобто синус кута дорівнює ординаті, а косинус – абсцисі вектора одиничної довжини, що виходить з початку координат і утворює з віссю кут .
Очевидно, що координати вектора не перевищують за абсолютною величиною довжини цього вектора (доведіть це самостійно, використавши теорему Піфагора). Тому з (11) випливає, що синус і косинус будь-якого кута не можуть набувати значень, більших за абсолютною величиною, ніж 1, тобто

 та . (12)
Одиничне коло. Лінії тангенсів та котангенсів

Усі вектори одиничної довжини цілком лежать в колі радіуса з центром у початку координат. Цим колом зручно користуватись при вивченні тригонометричних функцій. Тому воно дістало спеціальну назву – тригонометричне коло.
Для обчислення тангенсів зручно використовувати пряму . Цю пряму називають лінією тангенсів. Тангенс кута дорівнює ординаті точки перетину лінії тангенсів кінцевою стороною кута або її продовженням (доведіть це твердження).
Для обчислення котангенсів зручно використовувати пряму . Цю пряму називають лінією котангенсів. Котангенс кута дорівнює абсцисі точки перетину лінії котангенсів кінцевою стороною кута або її продовженням (доведіть це твердження).
Тангенс та котангенс кута можуть дорівнювати будь-якому дійсному числу.
Розглянемо, яких знаків набувають тригонометричні функції. Для цього використаємо тригонометричне коло та лінії тангенсів та котангенсів. На малюнку маємо: , , , . Збільшуючи кут від 0 до , отримаємо таблицю знаків тригонометричних функцій в усіх квадрантах:

Квадрант
I
II
III
IV
Малюнок

Приклад 1. Обчислити за означенням косинус кута .
Розв’язання. Розглянемо малюнок. Нехай у прямокутному трикутнику кут дорівнює . Оскільки катет, що лежить проти кута , дорівнює половині гіпотенузи, маємо, що . За теоремою Піфагора . Скориставшись означенням косинуса кута (6) і врахувавши, що , , отримаємо, що .

Вправи[ред.]

7. Обчислити за означенням косинус кута:

8. Обчислити за означенням синус кута:

9. Обчислити за означенням тангенс кута:

10. Обчислити за означенням котангенс кута:

11. Обчислити за означенням секанс кута:

12. Обчислити за означенням косеканс кута:

Зміст Наступна