Тригонометричні функції довільного аргументу. Знаки тригонометричних функцій

Тригонометричні функції довільного аргументу

Нехай $\phi$ – довільний кут. На кінцевій стороні цього кута візьмемо вектор ${\overrightarrow {OA}}$ довільної довжини $r$ . Абсцису цього вектора позначимо $x$ , а ординату – $y$ .
Тоді
Теорема. Відношення ${\frac {x}{r}}$ та ${\frac {y}{r}}$ координат вектора до його довжини не залежать від довжини вектора, але залежать від його напрямку.(Пропонуємо довести теорему самостійно)
Як бачимо, відношення ${\frac {x}{r}}$ та ${\frac {y}{r}}$ залежать лише від напряму вектора ${\overrightarrow {OA}}$ , що визначається кутом $\phi$ , і не залежить від довжини вектора $r$ .
Тому ці величини є своєрідними характеристиками кута $\phi$ .
Відношення ординати вектора, що утворює з віссю $OX$ кут $\phi$ , до довжини цього вектора, називається синусом кута $\phi$ :

 $sin\phi ={\frac {y}{r}}$  (5)

Відношення абсциси вектора, що утворює з віссю $OX$ кут $\phi$ , до довжини цього вектора, називається косинусом кута $\phi$ :

 $cos\phi ={\frac {x}{r}}$  (6)

Крім синуса та косинуса кута $\phi$ часто використовують ще такі характеристики кута $\phi$ .
Відношення синуса кута $\phi$ до його косинуса називається тангенсом кута $\phi$ :

 $tg\phi ={\frac {sin\phi }{cos\phi }}$  (7)

Відношення косинуса кута $\phi$ до його синуса називається котангенсом кута $\phi$ :

 $ctg\phi ={\frac {cos\phi }{sin\phi }}$  (8)

Величина, обернена до косинуса кута $\phi$ , називається секансом цього кута:

 $sec\phi ={\frac {1}{cos\phi }}$  (9)

Величина, обернена до синуса кута $\phi$ , називається косекансом даного кута:

 $cosec\phi ={\frac {1}{sin\phi }}$  (10)

У зв’язку з простотою співвідношень (9) та (10) і з тим, що секанс та косеканс використовуються здебільшого в астрономії, ми звертатимемо на них дещо менше уваги, ніж на величини (5)-(8).
Так як при зміні кута $\phi$ змінюються відповідні йому значення синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса та косеканса, то можна говорити про те, що вони є функціями кута $\phi$ . Функції синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс та косеканс кута $\phi$ прийнято називати тригонометричними функціями кута.
З огляду на простий зв’язок між кутами і дугами (3’), можна говорити про тригонометричні функції не тільки кута, але й дуги. Під синусом (косинусом, тангенсом і т.д.) дуги $\alpha \ _{rad}$ розуміють число, що дорівнює синусу (косинусу, тангенсу і т.д.) кута $\alpha$ радіанів.
Взагалі, синусом числа $x$ будемо називати число, яке дорівнює синусу кута $x$ радіанів. Це означення та аналогічні для косинуса, тангенса, котангенса, секанса та косеканса дають змогу говорити про тригонометричні функції числового аргументу.

Знаки тригонометричних функцій

Нехай задано вектор ${\overrightarrow {OA}}$ з $r=1$ . Синус і косинус кута $\phi$ ми визначили співвідношеннями (5) і (6). Врахувавши, що $r=1$ , маємо

 $sin\phi =y$ ,  $cos\phi =x$ , (11)

тобто синус кута $\phi$ дорівнює ординаті, а косинус – абсцисі вектора одиничної довжини, що виходить з початку координат і утворює з віссю $OX$ кут $\phi$ .
Очевидно, що координати вектора не перевищують за абсолютною величиною довжини цього вектора (доведіть це самостійно, використавши теорему Піфагора). Тому з (11) випливає, що синус і косинус будь-якого кута не можуть набувати значень, більших за абсолютною величиною, ніж 1, тобто

 $-1\leq sinx\leq 1$  та  $-1\leq cosx\leq 1$ . (12)

Усі вектори одиничної довжини цілком лежать в колі радіуса $1$ з центром у початку координат. Цим колом зручно користуватись при вивченні тригонометричних функцій. Тому воно дістало спеціальну назву – тригонометричне коло.
Для обчислення тангенсів зручно використовувати пряму $x=1$ . Цю пряму називають лінією тангенсів. Тангенс кута $\phi$ дорівнює ординаті точки перетину лінії тангенсів кінцевою стороною кута $\phi$ або її продовженням (доведіть це твердження).
Для обчислення котангенсів зручно використовувати пряму $y=1$ . Цю пряму називають лінією котангенсів. Котангенс кута $\phi$ дорівнює абсцисі точки перетину лінії котангенсів кінцевою стороною кута $\phi$ або її продовженням (доведіть це твердження).
Тангенс та котангенс кута можуть дорівнювати будь-якому дійсному числу.
Розглянемо, яких знаків набувають тригонометричні функції. Для цього використаємо тригонометричне коло та лінії тангенсів та котангенсів. На малюнку маємо: $OB=sin\phi$ , $OA=cos\phi$ , $C_{1}C_{2}=tg\phi$ , $D_{1}D_{2}=ctg\phi$ . Збільшуючи кут $\phi$ від 0 до $2\pi$ , отримаємо таблицю знаків тригонометричних функцій в усіх квадрантах:

Квадрант	$sin\phi$	$cos\phi$	$tg\phi$	$ctg\phi$	$sec\phi$	$cosec\phi$
I	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
II	$+$	$-$	$-$	$-$	$-$	$+$
III	$-$	$-$	$+$	$+$	$-$	$-$
IV	$-$	$+$	$-$	$-$	$+$	$-$

Приклад 1. Обчислити за означенням косинус кута ${\frac {\pi }{6}}$ .
Розв’язання. Розглянемо малюнок. Нехай у прямокутному трикутнику $ABO$ кут $O$ дорівнює ${\frac {\pi }{6}}$ . Оскільки катет, що лежить проти кута ${\frac {\pi }{6}}$ , дорівнює половині гіпотенузи, маємо, що $OA=2AB$ . За теоремою Піфагора $OB={\sqrt {OA^{2}-AB^{2}}}={\sqrt {OA^{2}-{\frac {1}{4}}OA^{2}}}={\sqrt {{\frac {3}{4}}OA^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}OA$ . Скориставшись означенням косинуса кута (6) і врахувавши, що $OA=r$ , $OB=x$ , отримаємо, що $cos{\frac {\pi }{6}}={\frac {x}{r}}={\frac {{\frac {\sqrt {3}}{2}}OA}{OA}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ .