Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу[ред.]

Насамперед відмітимо уже відомі нам тотожності:

Ці співвідношення є означеннями відповідних тригонометричних функцій. Доведемо ще декілька співвідношень:

5. (13)

Дійсно, перемноживши почленно співвідношення (7) і (8), отримаємо (13).

6. (14)
До доведення основної тригонометричної тотожності

Нехай – довільний кут. Відмітимо на одиничному колі точку , що відповідає кінцевій стороні кута . Розглянемо прямокутний трикутник ( °). У ньому , , . За теоремою Піфагора . Підставивши відповідні значення у цю рівність, отримаємо (14).
Співвідношення (14) називають основною тригонометричною тотожністю.

7.  (15)

Для того, щоб отримати дане співвідношення, потрібно (14) почленно розділити на і врахувати (7) і (9).

8.  (16)

Доведіть останнє співвідношення самостійно.

Значення тригонометричних функцій деяких кутів[ред.]

Знайдемо значення тригонометричних функцій деяких кутів.

Кут І четверті

1. Нехай вектор одиничної довжини утворює з віссю абсцис кут . Тоді його координати і дорівнюють відповідно і . Але, як ми показали раніше, ці координати дорівнюють косинусу та синусу кута . Отже, , . Врахувавши означення (7)-(10), маємо: , – не визначений, , – не визначений.
2. Якщо , то координати вектора будуть такі: , . Отже, , , – не визначений, , – не визначений, .

Одиничне коло. Кут

3. Нехай (див. мал. Одиничне коло. Кут ). Відкладемо від осі абсцис такий самий кут в протилежному напрямку. Розглянемо утворений . У ньому , а прилеглі до цього кута сторони трикутника – рівні як радіуси кола. Тому – рівносторонній. Тоді й . Висота рівностороннього трикутника дорівнює , тому .
Так як висота рівностороннього трикутника є і його медіаною, то . Як бачимо, точка А має координати , . Тоді , . Звідси маємо: , , , .
Аналогічно можна знайти значення тригонометричних функцій і деяких інших кутів. Значення тригонометричних функцій кутів , , , , слід знати напам’ять. Наводимо таблицю цих значень:

не існує
не існує
не існує
не існує

Побудова кута за даними значеннями його тригонометричних функцій[ред.]

Побудова кута, синус якого дорівнює заданому числу

Задача. Побудувати кут , синус якого дорівнює .
I. Якщо , то побудувати такий кут неможливо, так як .
II.Якщо , то робимо так. Проводимо коло радіуса з центром у початку координат. На осі відмічаємо точку , і проводимо через неї пряму, паралельну осі абсцис. Точки перетину цієї прямої з колом позначимо через та . Вектори та мають одиничну довжину, а їх ординати дорівнюють . Тому всі кути, для яких кінцеві сторони містять та , мають синус, що дорівнює .
Побудуйте самостійно кути, косинус, тангенс і котангенс яких дорівнює .
Приклад 1. Знайти , якщо .
Розв’язання. Піднесемо співвідношення почленно до квадрату. Отримаємо: . Використавши основну тригонометричну тотожність, матимемо , звідки .

Вправи[ред.]

13. З’ясуйте, чи можуть синус і косинус кута одночасно дорівнювати нулю.
14. Доведіть нерівність .
15. Знайти , якщо .
16. Побудувати кут за такими даними:

17. Обчислити:

Зміст Наступна