Перейти до вмісту

Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення

Матеріал з Вікіпідручника

Парність і непарність тригонометричних функцій[ред.]

Надамо означення парної та непарної функцій. Нехай задана на симетричній множині , тобто, якщо , то й .
Парною називається функція , якщо для будь-якого з області визначення функції виконується співвідношення:

.  (17)

Непарною називається функція , якщо для будь-якого з області визначення функції виконується співвідношення:

.  (18)

Функція, для якої не виконуються співвідношення (17) та (18), називається ні парною, ні непарною.

Дослідження на парність

Дослідимо на парність та непарність тригонометричні функції. Кути і утворюються при повороті променя в двох взаємно протилежних напрямках(за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки). Тому кінцеві сторони та цих кутів симетричні відносно осі абсцис. Координати одиничних векторів та задовольняють співвідношення , . Тому , . Отже, синус є непарною функцією, а косинус – парною. Далі маємо: , . Тому тангенс і котангенс є непарними функціями.

Приклад 1. Обчислити значення тангенса кута .
Розв’язання.Враховуючи, що і , отримаємо, що .

Вправи[ред.]

18. Обчислити значення синуса кута .
19. Обчислити значення косинуса кута .

Періодичність тригонометричних функцій[ред.]

Введемо означення періодичної функції.
Нехай задано функцію , . Функція називається періодичною, якщо разом з довільним одночасно і , а також , де . Число називається періодом функції .
Зрозуміло, що при такому означенні будь яке число , теж є періодом функції . Дійсно,

.
Тригонометричне коло

Тому надалі, говорячи про період функції, ми матимемо на увазі найменший додатній період функції.
Дослідимо на періодичність функції та . Розглянемо тригонометричне коло та одиничний вектор , який утворює з віссю абсцис кут . Якщо зробити повний оберт вектора навколо початку координат проти годинникової стрілки, то дістанемо кут . Але вектор при цьому займе первісне положення, а тому його координати і не зміняться. Отже, , .
При повних обертах вектора проти годинникової стрілки утвориться кут , , а за годинниковою стрілкою – кут , . У кожному з цих випадків координати і вектора не змінюються, а тому , , .
Як бачимо, є періодом функцій синус та косинус. Чи є він найменшим додатнім періодом? Припустимо, що для функції і – додатній період. Маємо, що . Зокрема, при , маємо . Але нулю дорівнюють синуси лише тих кутів, які кратні радіанів (переконайтесь у цьому за допомогою тригонометричного кола). Якщо , то . Зокрема, при , , тобто . А це не так. Отже, найменшим додатнім періодом функції є число .
Аналогічно можна довести, що найменшим додатнім періодом функції також є число . Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.

Лінія тангенсів

Дослідимо на періодичність функції та .
Ми знаємо, що тангенс кута дорівнює ординаті точки перетину кінцевої сторони кута з лінією тангенсів. При повороті вектора , що утворює з віссю абсцис кут , на радіанів проти годинникової стрілки вектор змінює свій напрям на протилежний, але відповідна точка на осі тангенсів залишається попередньою. Тоді не зміниться і тангенс кута. Отже, при довільному маємо, що . Це означає, що функція є періодичною з періодом . Але чи буде число найменшим додатнім періодом цієї функції?
Припустимо, що найменший додатній період функції дорівнює . Тоді для всіх допустимих значень повинно бути . Зокрема, при , дістаємо: . Але тангенс додатного кута дорівнює нулю лише тоді, коли синус цього кута дорівнює нулю, тобто при і т.д. Отже, ніякий додатній кут, менший за , не може бути періодом функції . Залишається визнати, що періодом (найменшим додатнім) функції є число .
Аналогічно можна довести, що періодом функції також є число . Пропонуємо переконатись у цьому самостійно.

Формули зведення[ред.]

До формул зведення

Теорема 1. Для будь-якого кута виконується тотожність

. (19)

Доведення. Якщо кут закінчується в I квадранті, то кут повинен закінчуватися у II квадранті. Розглянемо кути та на одиничному колі (див. мал. До формул зведення). Зрозуміло, що , . Але – рівні як прямокутні з рівними гіпотенузами і прилеглими до них кутами. У рівних трикутниках відповідні сторони рівні, тому . А це означає, що виконується тотожність (19).
Аналогічно можна розглянути випадки, коли кут закінчується в II, III, IV квадрантах. Тотожність (19) легко перевірити і тоді, коли кінцева сторона кута лежить на будь-якій осі координат. Розгляньте ці випадки самостійно.
З доведеної тотожності (19) випливає ряд інших важливих тотожностей. Замінивши в (19) на , отримаємо: . Врахувавши парність косинуса, маємо:

. (20)

Якщо ми замінимо на , то з (20) отримаємо: , звідки

. (21)

З (20) та (21) маємо, що , тобто

. (22)

Аналогічно

. (23)

Тотожності (20)-(23) іноді називають формулами доповняльного кута. Це пов’язано з тим, що кути та доповнюють один одного до прямого кута. Ці формули дуже легко запам’ятати: функція змінюється на кофункцію (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс). Наприклад, , .
Тепер виведемо формули для кута . Одну таку формулу ми вже отримали – це тотожність (19). Інші тотожності легко знаходимо з формул доповняльного кута і властивості парності (непарності) тригонометричних функцій. Маємо:
, тобто

. (24)

Аналогічно отримуємо:

, (25)
, (26)

Співвідношення (19)-(26) називаються формулами зведення для кутів .
Формули зведення для кутів , , легко отримати із співвідношень (19)-(26). Наведемо повну таблицю потрібних нам формул:

Кут

У формулах зведення спостерігаються такі закономірності:
I. Якщо у формулі містяться кути або , то назва функції не змінюється; якщо ж у формулі містяться кути або , то назва функції змінюється на назву кофункції;
II. Щоб визначити знак у правій частині формули (+ чи -), досить, вважаючи кут гострим, визначити знак виразу, що стоїть у лівій частині формули.

Вправи[ред.]

20. Довести, що .
21. Довести, що кут є одним з періодів функції .
22. Спростити вираз:

23. . Чому дорівнює тангенс доповняльного кута?
24. . Чому дорівнює синус доповняльного кута?
25. Довести тотожність:

26. Довести, що синус суми двох кутів трикутника дорівнює синусу третього кута.

Зміст Наступна