Проміжки монотонності та неперервності тригонометричних функцій. Графіки тригонометричних функцій

Проміжки монотонності та неперервності тригонометричних функцій

Введемо поняття монотонної функції. Нехай на числовій множині $\mathbb {X}$ задана деяка функція $y=f(x)$ .
Функція $y=f(x)$ називається спадаючою на множині $\mathbb {X} _{0}\subseteq \mathbb {X}$ , якщо для довільних $x_{1},x_{2}\in \mathbb {X} _{0}$ , таких, що $x_{1}<x_{2}$ , виконується нерівність: $f(x_{1})\geq f(x_{2})$ . При строгій нерівності функція $y=f(x)$ називається строго спадаючою.
Функція $y=f(x)$ називається зростаючою на множині $\mathbb {X} _{0}\subseteq \mathbb {X}$ , якщо для довільних $x_{1},x_{2}\in \mathbb {X} _{0}$ , таких, що $x_{1}<x_{2}$ , виконується нерівність: $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ . При строгій нерівності функція $y=f(x)$ називається строго зростаючою.
Якщо $y=f(x)$ є спадаючою, зростаючою, строго спадаючою або строго зростаючою на деякій числовій множині, то говорять, що вона монотонна на цій множині.
Розглянемо означення тригонометричних функцій (5)-(6) та одиничне коло.

Нехай кут $\phi$ пробігає множину значень від $0$ до $\pi$ . Тоді абсциса відповідного вектора зменшується, тобто зменшується значення косинуса кута $\phi$ . Як бачимо, функція $y=cosx$ спадає на проміжку $[0;\pi ]$ . Якщо ж кут $\phi$ пробігає множину значень від $\pi$ до $2\pi$ , то абсциса відповідного вектора збільшується, тобто на цьому проміжку функція $y=cosx$ зростає. Врахувавши періодичність функції $y=cosx$ , маємо:
Теорема 2. Функція $y=cosx$ монотонно зростає на проміжках $[(2n+1)\pi ;2(n+1)\pi ],n\in \mathbb {Z}$ , та монотонно спадає на проміжках $[2n\pi ;(2n+1)\pi ],n\in \mathbb {Z}$ .
Провівши подібне дослідження для функції $y=sinx$ , отримаємо
Теорема 3. Функція $y=sinx$ монотонно зростає на проміжках $[(2n-{\frac {1}{2}})\pi ;(2n+{\frac {1}{2}})\pi ],n\in \mathbb {Z}$ , та монотонно спадає на проміжках $[(2n+{\frac {1}{2}})\pi ;(2n+{\frac {3}{2}})\pi ],n\in \mathbb {Z}$ .
Проміжки монотонності функцій $y=tgx$ та $y=ctgx$ визначте самостійно.
Розглянемо питання про неперервність тригонометричних функцій.
Будемо вважати функцію $y=f(x)$ неперервною в точці $x_{0}\in \mathbb {X}$ , якщо вона визначена в цій точці та на деякому проміжку, якому дана точка належить, і якщо при незначній зміні аргументу значення функції також незначно змінюється.
Зміну аргументу позначимо $\Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}$ і будемо називати приростом аргументу. Відповідну зміну функції позначимо $\Delta f=f(\phi _{2})-f(\phi _{1})$ і будемо називати приростом функції.
Функція $y=cos\phi$ , згідно означення (6), визначена для будь-якого кута $\phi$ , оскільки вираз ${\frac {x}{r}}$ має зміст при будь якому додатному $r$ . Розглянемо приріст аргумента $\Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}$ . Як видно з малюнка (до теореми 2), при наближення кута $\phi _{2}$ до кута $\phi _{1}$ приріст $\Delta \phi$ необмежено зменшується, а з ним зменшується і різниця $x_{2}-x_{1}$ . Поклавши, що $r=1$ (коло – одиничне), маємо необмежене зменшення за абсолютною величиною і приросту функції $\Delta f=cos\phi _{2}-cos\phi _{1}$ , тобто функція $y=cos\phi$ неперервна для всіх аргументів $\phi \in \mathbb {R}$ .
Розглянувши функцію $y=sin\phi$ , прийдемо до висновку, що вона теж неперервна.

Що ж до функцій $y=tg\phi$ , $y=ctg\phi$ , $y=sec\phi$ та $y=cosec\phi$ , то вони визначені не для всякого кута $\phi$ . Тангенс і секанс в силу означень (7) та (9) визначені лише для тих кутів, косинуси яких відмінні від нуля, а котангенс та косеканс в силу (8) і (10) – для тих кутів, синуси яких відмінні від нуля. Якщо $cos\phi ={\frac {x}{r}}=0$ , то $x=0$ . Це може бути лише тоді, коли вектор ${\overrightarrow {OA_{2}}}$ перпендикулярний до осі абсцис. У цьому випадку кут $\phi$ може набувати значень $\pm {\frac {\pi }{2}}$ , $\pm {\frac {3}{2}}\pi$ , $\pm {\frac {5}{2}}\pi$ , $\pm {\frac {7}{2}}\pi$ . Всі ці значення можна записати однією формулою $\phi ={\frac {\pi }{2}}(2n+1)$ , $n\in \mathbb {Z}$ .
Таким чином, тангенс і секанс визначені для всіх кутів $\phi$ , крім кутів $\phi ={\frac {\pi }{2}}(2n+1)$ , $n\in \mathbb {Z}$ . Для кутів, де тангенс і секанс визначені, неперервність цих функцій випливає неперервності функцій синус та косинус. Отже, функції $y=tg\phi$ та $y=sec\phi$ неперервні у всіх точках, крім $\phi ={\frac {\pi }{2}}(2n+1)$ , $n\in \mathbb {Z}$ .
Неперервність функцій $y=ctg\phi$ та $y=cosec\phi$ у всіх точках, крім $\phi =\pi n$ , $n\in \mathbb {Z}$ , доведіть самостійно.

Графіки тригонометричних функцій

Як випливає з формул зведення, поведінка тригонометричних функцій при всіх значеннях аргумента цілком визначається їх поведінкою при $0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}$ . Тому ми насамперед побудуємо графіки саме на цьому проміжку.
Побудуємо графік $y=sinx$ . Для цього розглянемо одиничне коло. Першу чверть кола поділимо на $n$ рівних частин і через точки поділу проведемо прямі, паралельні осі $OX$ . Ординати точок поділу кола являють собою синуси відповідних кутів. Перша чверть кола відповідає кутам від $0$ до ${\frac {\pi }{2}}$ . Тому на осі $OX$ візьмемо відрізок $[0;{\frac {\pi }{2}}]$ і поділимо його на $n$ рівних частин. З точок поділу поставимо перпендикуляри до перетину з раніше проведеними горизонтальними прямими. Точки перетину сполучимо плавною лінією (див. мал. Побудова синусоїди).
Тепер звернемось до інтервалу ${\frac {\pi }{2}}\leq \phi \leq \pi$ (див. мал. Побудова синусоїди1). Кожне значення аргументу $\phi$ з цього відрізка можна подати у вигляді $\phi ={\frac {\pi }{2}}+\phi _{0}$ , де $0\leq \phi _{0}\leq {\frac {\pi }{2}}$ . За формулами зведення $sin({\frac {\pi }{2}}+\phi =cos\phi =sin({\frac {\pi }{2}}-\phi )$ .
Точки осі $OX$ з абсцисами ${\frac {\pi }{2}}+\phi$ та ${\frac {\pi }{2}}-\phi$ симетричні одна одній відносно точки осі $OX$ з абсцисою ${\frac {\pi }{2}}$ і синуси в цих точках однакові. Це дає можливість побудувати графік функції $y=sinx$ на відрізку $[{\frac {\pi }{2}};\pi ]$ простим симетричним відображенням графіка цієї функції на інтервалі $[0;{\frac {\pi }{2}}]$ відносно прямої $x={\frac {\pi }{2}}$ .
Тепер, використавши непарність функції $y=sinx$ , легко побудувати графік цієї функції на проміжку $[-\pi ;0]$ (див. мал. Побудова синусоїди2).

Функція $y=sinx$ періодична з періодом $2\pi$ . Тому для побудови всього графіка цієї функції досить побудовану частину продовжити вліво і вправо періодично з періодом $2\pi$ . Знайдена в результаті цього крива називається синусоїдою.
Щодо графіка функції $y=cosx$ , то, як ми знаємо, $cosx=sin({\frac {\pi }{2}}+x)$ . Тому якщо функція $y=cosx$ набуває якогось значення $a$ при $x=x_{0}$ , то при $x=x_{0}+{\frac {\pi }{2}}$ такого самого значення набуває і функція $y=sinx$ . Звідси можна зробити висновок, що графік функції $y=cosx$ можна дістати за допомогою зсуву графіка функції $y=sinx$ вздовж осі абсцис вліво на відстань ${\frac {\pi }{2}}$ .
Іноді цю криву називають косинусоїдою.

Для побудови графіка функції $y=tgx$ на півінтервалі $[0;{\frac {\pi }{2}})$ використаємо геометричну побудову, аналогічну до тієї, яку ми використали для побудови графіка функції $y=sinx$ . Ми не будемо докладно спинятись на цій побудові, а обмежимось лише тим, що наведемо малюнок (див. мал. Побудова тангенсоїди).
Тепер, використовуючи графік функції $y=tgx$ на проміжку $[0;{\frac {\pi }{2}})$ , можна побудувати графік цієї функції і на півінтервалі $(-{\frac {\pi }{2}};0]$ . Для цього використаємо тотожність $tg(-\phi )=-tg\phi$ . Вона вказує на те, що графік функції $y=tgx$ симетричний відносно початку координат. Звідси відразу ж дістаємо ту частину графіка, яка відповідає значенням $-{\frac {\pi }{2}}<\phi \leq 0$ (див. мал. Побудова тангенсоїди1).

Функція $y=tgx$ періодична з періодом $\pi$ . Тепер для побудови її графіка нам потрібно лише продовжити періодично криву, яку ми отримали, вліво і вправо з періодом $\pi$ . В результаті дістаємо криву, яку називають тангенсоїдою.
Для побудови графіка функції $y=ctgx$ слід використати тотожність $ctgx=-tg(x+{\frac {\pi }{2}})$ .
Вона вказує на такий порядок побудови графіка:
I. Тангенсоїду $y=tgx$ треба зсунути вліво по осі абсцис на віддаль ${\frac {\pi }{2}}$ ;
II. Знайдену криву відобразити симетрично відносно осі абсцис.
В результаті отримаємо криву, зображену на малюнку Котангенсоїда.

Приклад 1. За графіком функції $y=sinx$ визначити всі числа, синус яких дорівнює ${\frac {1}{2}}$ .
Розв’язання. Побудуємо синусоїду та пряму $y={\frac {1}{2}}$ . Ці два графіки функцій перетинатимуться в точках, абсциси яких матимуть матимуть координати $x$ , для яких $sinx={\frac {1}{2}}$ . Розглянемо проміжок $[0;2\pi ]$ . На ньому графіки функцій перетинаються в двох точках – $C$ і $F$ (див. мал. До прикладу 1). З таблиць відомо, що на розглядуваному проміжку є всього два кути $\phi$ , для яких $sin\phi ={\frac {1}{2}}$ . Це кути ${\frac {\pi }{6}}$ та ${\frac {5}{6}}\pi$ . Отже, врахувавши періодичність функції синус, шукані числа матимуть вигляд ${\frac {\pi }{6}}+2\pi n$ та ${\frac {5}{6}}\pi +2\pi k$ , де $n,k\in \mathbb {Z}$ .

Вправи

27. За графіком функції $y=sinx$ визначити приблизно:

$sin2$
$sin(-3)$

28. За графіком функції $y=cosx$ визначити всі числа, косинус яких дорівнює ${\frac {1}{2}}$ .
29. При малих за абсолютною величиною значеннях $x$ синусоїда $y=sinx$ має такий самий вигляд, як і пряма $y=x$ (зробіть малюнок). Тому для мали значень $x$ : $sinx\approx x$ . Користуючись цією формулою, обчисліть наближено:

$sin0,03$
$sin1^{\circ }$ (переведіть у радіани!)
$sin(-2^{\circ }30')$

30. При малих за абсолютною величиною значеннях х косинусоїда $y=cosx$ має такий самий вигляд, як і парабола $y=1-{\frac {x^{2}}{2}}$ (зробіть малюнок). Тому для малих значень $x$ : $cosx\approx 1-{\frac {x^{2}}{2}}$ . Користуючись цією формулою, обчисліть наближено: