Проміжки монотонності та неперервності тригонометричних функцій. Графіки тригонометричних функцій

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Проміжки монотонності та неперервності тригонометричних функцій[ред.]

Введемо поняття монотонної функції. Нехай на числовій множині задана деяка функція .
Функція називається спадаючою на множині , якщо для довільних , таких, що , виконується нерівність: . При строгій нерівності функція називається строго спадаючою.
Функція називається зростаючою на множині , якщо для довільних , таких, що , виконується нерівність: . При строгій нерівності функція називається строго зростаючою.
Якщо є спадаючою, зростаючою, строго спадаючою або строго зростаючою на деякій числовій множині, то говорять, що вона монотонна на цій множині.
Розглянемо означення тригонометричних функцій (5)-(6) та одиничне коло.

До теореми 2

Нехай кут пробігає множину значень від до . Тоді абсциса відповідного вектора зменшується, тобто зменшується значення косинуса кута . Як бачимо, функція спадає на проміжку . Якщо ж кут пробігає множину значень від до , то абсциса відповідного вектора збільшується, тобто на цьому проміжку функція зростає. Врахувавши періодичність функції , маємо:
Теорема 2. Функція монотонно зростає на проміжках , та монотонно спадає на проміжках .
Провівши подібне дослідження для функції , отримаємо
Теорема 3. Функція монотонно зростає на проміжках , та монотонно спадає на проміжках .
Проміжки монотонності функцій та визначте самостійно.
Розглянемо питання про неперервність тригонометричних функцій.
Будемо вважати функцію неперервною в точці , якщо вона визначена в цій точці та на деякому проміжку, якому дана точка належить, і якщо при незначній зміні аргументу значення функції також незначно змінюється.
Зміну аргументу позначимо і будемо називати приростом аргументу. Відповідну зміну функції позначимо і будемо називати приростом функції.
Функція , згідно означення (6), визначена для будь-якого кута , оскільки вираз має зміст при будь якому додатному . Розглянемо приріст аргумента . Як видно з малюнка (до теореми 2), при наближення кута до кута приріст необмежено зменшується, а з ним зменшується і різниця . Поклавши, що (коло – одиничне), маємо необмежене зменшення за абсолютною величиною і приросту функції , тобто функція неперервна для всіх аргументів .
Розглянувши функцію , прийдемо до висновку, що вона теж неперервна.

Про неперервність

Що ж до функцій , , та , то вони визначені не для всякого кута . Тангенс і секанс в силу означень (7) та (9) визначені лише для тих кутів, косинуси яких відмінні від нуля, а котангенс та косеканс в силу (8) і (10) – для тих кутів, синуси яких відмінні від нуля. Якщо , то . Це може бути лише тоді, коли вектор перпендикулярний до осі абсцис. У цьому випадку кут може набувати значень , , , . Всі ці значення можна записати однією формулою , .
Таким чином, тангенс і секанс визначені для всіх кутів , крім кутів , . Для кутів, де тангенс і секанс визначені, неперервність цих функцій випливає неперервності функцій синус та косинус. Отже, функції та неперервні у всіх точках, крім , .
Неперервність функцій та у всіх точках, крім , , доведіть самостійно.

Графіки тригонометричних функцій[ред.]

Побудова синусоїди
Побудова синусоїди1
Побудова синусоїди2


Як випливає з формул зведення, поведінка тригонометричних функцій при всіх значеннях аргумента цілком визначається їх поведінкою при . Тому ми насамперед побудуємо графіки саме на цьому проміжку.
Побудуємо графік . Для цього розглянемо одиничне коло. Першу чверть кола поділимо на рівних частин і через точки поділу проведемо прямі, паралельні осі . Ординати точок поділу кола являють собою синуси відповідних кутів. Перша чверть кола відповідає кутам від до . Тому на осі візьмемо відрізок і поділимо його на рівних частин. З точок поділу поставимо перпендикуляри до перетину з раніше проведеними горизонтальними прямими. Точки перетину сполучимо плавною лінією (див. мал. Побудова синусоїди).
Тепер звернемось до інтервалу (див. мал. Побудова синусоїди1). Кожне значення аргументу з цього відрізка можна подати у вигляді , де . За формулами зведення .
Точки осі з абсцисами та симетричні одна одній відносно точки осі з абсцисою і синуси в цих точках однакові. Це дає можливість побудувати графік функції на відрізку простим симетричним відображенням графіка цієї функції на інтервалі відносно прямої .
Тепер, використавши непарність функції , легко побудувати графік цієї функції на проміжку (див. мал. Побудова синусоїди2).

Синусоїда
Косинусоїда

Функція періодична з періодом . Тому для побудови всього графіка цієї функції досить побудовану частину продовжити вліво і вправо періодично з періодом . Знайдена в результаті цього крива називається синусоїдою.
Щодо графіка функції , то, як ми знаємо, . Тому якщо функція набуває якогось значення при , то при такого самого значення набуває і функція . Звідси можна зробити висновок, що графік функції можна дістати за допомогою зсуву графіка функції вздовж осі абсцис вліво на відстань .
Іноді цю криву називають косинусоїдою.

Тангенсоїда
Побудова тангенсоїди
Побудова тангенсоїди1

Для побудови графіка функції на півінтервалі використаємо геометричну побудову, аналогічну до тієї, яку ми використали для побудови графіка функції . Ми не будемо докладно спинятись на цій побудові, а обмежимось лише тим, що наведемо малюнок (див. мал. Побудова тангенсоїди).
Тепер, використовуючи графік функції на проміжку , можна побудувати графік цієї функції і на півінтервалі . Для цього використаємо тотожність . Вона вказує на те, що графік функції симетричний відносно початку координат. Звідси відразу ж дістаємо ту частину графіка, яка відповідає значенням (див. мал. Побудова тангенсоїди1).

Котангенсоїда

Функція періодична з періодом . Тепер для побудови її графіка нам потрібно лише продовжити періодично криву, яку ми отримали, вліво і вправо з періодом . В результаті дістаємо криву, яку називають тангенсоїдою.
Для побудови графіка функції слід використати тотожність .
Вона вказує на такий порядок побудови графіка:
I. Тангенсоїду треба зсунути вліво по осі абсцис на віддаль ;
II. Знайдену криву відобразити симетрично відносно осі абсцис.
В результаті отримаємо криву, зображену на малюнку Котангенсоїда.

До прикладу 1

Приклад 1. За графіком функції визначити всі числа, синус яких дорівнює .
Розв’язання. Побудуємо синусоїду та пряму . Ці два графіки функцій перетинатимуться в точках, абсциси яких матимуть матимуть координати , для яких . Розглянемо проміжок . На ньому графіки функцій перетинаються в двох точках – і (див. мал. До прикладу 1). З таблиць відомо, що на розглядуваному проміжку є всього два кути , для яких . Це кути та . Отже, врахувавши періодичність функції синус, шукані числа матимуть вигляд та , де .

Вправи[ред.]

27. За графіком функції визначити приблизно:

28. За графіком функції визначити всі числа, косинус яких дорівнює .
29. При малих за абсолютною величиною значеннях синусоїда має такий самий вигляд, як і пряма (зробіть малюнок). Тому для мали значень : . Користуючись цією формулою, обчисліть наближено:

  1. (переведіть у радіани!)

30. При малих за абсолютною величиною значеннях х косинусоїда має такий самий вигляд, як і парабола (зробіть малюнок). Тому для малих значень : . Користуючись цією формулою, обчисліть наближено:

31. Користуючись графіками функцій та , знайти найменші додатні корені рівнянь (приблизно):

Зміст Наступна