Косинус і синус суми і різниці двох аргументів. Тангенс і котангенс суми і різниці двох аргументів

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Косинус і синус суми і різниці двох аргументів[ред.]

Косинус суми двох аргументів

Розглянемо одиничне коло, а на ньому точки , та (див. мал. Косинус суми двох аргументів). Їм відповідають кути , та . Так як трикутники та – рівні (за першою ознакою рівності трикутників), то . Підставимо в останню рівність довжини цих відрізків, виражених координатами їх кінцевих точок. Для цього використаємо формулу відстані між двома точками. Так як точка має координати , точка – координати , а точка – координати , то маємо:
.
Тоді
Звідси маємо, що , а тому й

.  (27)

Із співвідношення (27) випливає ряд інших важливих співвідношень. Замінивши у співвідношенні (27) кут на , отримаємо:

.  (28)

Використовуючи формулу зведення (21) та співвідношення (28), маємо:

тобто

. (29)

Замінивши у співвідношенні (29) на , отримаємо:

.  (30)


Вправи[ред.]

32. Обчислити:

33. Довести, що:

34. Довести, що:

Тангенс і котангенс суми і різниці двох аргументів[ред.]

Розглянемо тангенс суми двох аргументів. Використавши означення, маємо:
, тобто

. (31)

При виведенні формули ми врахували, що , тобто вирази і визначені.
Замінюючи у співвідношенні (31) кут на , і враховуючи, що , отримаємо, що

. (32)

Для виведення формули котангенса суми використаємо співвідношення (13):
, тобто

.  (33)

Замінюючи в співвідношення (33) кут на , і врахувавши, що , отримаємо:

 . (34)

Вправи[ред.]

35. Довести, що:

36. Довести, що:

Зміст Наступна