Косинус і синус суми і різниці двох аргументів. Тангенс і котангенс суми і різниці двох аргументів

Косинус і синус суми і різниці двох аргументів

Косинус суми двох аргументів

Розглянемо одиничне коло, а на ньому точки $P_{\alpha }$, $P_{\alpha +\beta }$ та $P_{-\beta }$ (див. мал. Косинус суми двох аргументів). Їм відповідають кути $\alpha$, $\alpha +\beta$ та $-\beta$. Так як трикутники $P_{-\beta }OP_{\alpha }$ та $P_{\alpha +\beta }OP_{0}$ – рівні (за першою ознакою рівності трикутників), то $P_{\alpha }P_{-\beta }=P_{0}P_{\alpha +\beta }$. Підставимо в останню рівність довжини цих відрізків, виражених координатами їх кінцевих точок. Для цього використаємо формулу відстані між двома точками. Так як точка $P_{\alpha }$ має координати $(cos\alpha ;sin\alpha )$, точка $P_{-\beta }$ – координати $(cos\beta ;-sin\beta )$, а точка $P_{\alpha +\beta }$ – координати $(cos(\alpha +\beta );sin(\alpha +\beta ))$, то маємо:
${\sqrt {(cos(\alpha +\beta )-1)^{2}+(sin(\alpha +\beta )-0)^{2}}}={\sqrt {(cos\alpha -cos\beta )^{2}+(sin\alpha +sin\beta )^{2}}}$.
Тоді $cos^{2}(\alpha +\beta )-2\cdot cos(\alpha +\beta )+1+sin^{2}(\alpha +\beta )=cos^{2}\alpha -2\cdot cos\alpha \cdot cos\beta +cos^{2}\beta +sin^{2}\alpha +2\cdot sin\alpha \cdot sin\beta +sin^{2}\beta$
Звідси маємо, що $-2\cdot cos(\alpha +\beta )+2=2-2\cdot cos\alpha \cdot cos\beta +2\cdot sin\alpha \cdot sin\beta$, а тому й

$cos(\alpha +\beta )=cos\alpha \cdot cos\beta -sin\alpha \cdot sin\beta$.  (27)

Із співвідношення (27) випливає ряд інших важливих співвідношень. Замінивши у співвідношенні (27) кут $\beta$ на $-\beta$, отримаємо:

$cos(\alpha -\beta )=cos\alpha \cdot cos\beta +sin\alpha \cdot sin\beta$.  (28)

Використовуючи формулу зведення (21) та співвідношення (28), маємо:
$sin(\alpha +\beta )=cos({\frac {\pi }{2}}-(\alpha +\beta ))=cos(({\frac {\pi }{2}}-\alpha )-\beta )=cos({\frac {\pi }{2}}-\alpha )\cdot cos\beta +sin({\frac {\pi }{2}}-\alpha )\cdot sin\beta =sin\alpha \cdot cos\beta +cos\alpha \cdot sin\beta$
тобто

$sin(\alpha +\beta )=sin\alpha \cdot cos\beta +cos\alpha \cdot sin\beta$. (29)

Замінивши у співвідношенні (29) $\beta$ на $-\beta$, отримаємо:

$sin(\alpha -\beta )=sin\alpha \cdot cos\beta -cos\alpha \cdot sin\beta$.  (30)

Вправи

32. Обчислити:

1. $sin{\frac {5}{12}}\pi$
2. $cos{\frac {7}{12}}\pi$

33. Довести, що:

1. $sin(x+y+z)=sinx\cdot cosy\cdot cosz+cosx\cdot siny\cdot cosz+cosx\cdot cosy\cdot sinz-sinx\cdot siny\cdot sinz$
2. $cos(x+y+z)=cosx\cdot cosy\cdot cosz-sinx\cdot siny\cdot cosz-sinx\cdot cosy\cdot sinz-cosx\cdot siny\cdot sinz$

34. Довести, що:

1. $cosx+sinx={\sqrt {2}}\cdot sin({\frac {\pi }{4}}+x)$
2. $cosx+sinx={\sqrt {2}}\cdot cos({\frac {\pi }{4}}-x)$
3. $cosx-sinx={\sqrt {2}}\cdot sin({\frac {\pi }{4}}-x)$
4. $cosx-sinx={\sqrt {2}}\cdot cos({\frac {\pi }{4}}+x)$

Тангенс і котангенс суми і різниці двох аргументів

Розглянемо тангенс суми двох аргументів. Використавши означення, маємо:
$tg(\alpha +\beta )={\frac {sin(\alpha +\beta )}{cos(\alpha +\beta )}}={\frac {sin\alpha \cdot cos\beta +cos\alpha \cdot sin\beta }{cos\alpha \cdot cos\beta -sin\alpha \cdot sin\beta }}={\frac {{\frac {sin\alpha \cdot cos\beta }{cos\alpha \cdot cos\beta }}+{\frac {cos\alpha \cdot sin\beta }{cos\alpha \cdot cos\beta }}}{{\frac {cos\alpha \cdot cos\beta }{cos\alpha \cdot cos\beta }}-{\frac {sin\alpha \cdot sin\beta }{cos\alpha \cdot cos\beta }}}}={\frac {tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha \cdot tg\beta }}$, тобто

$tg(\alpha +\beta )={\frac {tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha \cdot tg\beta }}$. (31)

При виведенні формули ми врахували, що $cos\alpha \cdot cos\beta \neq 0$, тобто вирази $tg\alpha$ і $tg\beta$ визначені.
Замінюючи у співвідношенні (31) кут $\beta$ на $-\beta$, і враховуючи, що $tg(-\beta )=-tg\beta$, отримаємо, що

$tg(\alpha -\beta )={\frac {tg\alpha -tg\beta }{1+tg\alpha \cdot tg\beta }}$. (32)

Для виведення формули котангенса суми використаємо співвідношення (13):
$ctg(\alpha +\beta )={\frac {1}{tg(\alpha +\beta )}}={\frac {1-tg\alpha \cdot tg\beta }{tg\alpha +tg\beta }}={\frac {ctg\alpha \cdot ctg\beta -1}{ctg\alpha +ctg\beta }}$, тобто

$ctg(\alpha +\beta )={\frac {ctg\alpha \cdot ctg\beta -1}{ctg\alpha +ctg\beta }}$.  (33)

Замінюючи в співвідношення (33) кут $\beta$ на $-\beta$, і врахувавши, що $ctg(-\beta )=-ctg\beta$, отримаємо:

 $ctg(\alpha -\beta )={\frac {ctg\alpha \cdot ctg\beta +1}{ctg\alpha -ctg\beta }}$. (34)

Вправи

35. Довести, що:

1. $tgx+ctgx={\frac {cos(x-y)}{cosx\cdot siny}}$
2. $tgx-ctgx={\frac {cos(x+y)}{sinx\cdot cosy}}$

36. Довести, що:

1. $sin(x+y)\cdot sin(x-y)=cos^{2}y-cos^{2}x$
2. $cos(x+y)\cdot cos(x-y)=cos^{2}y-sin^{2}x$

Зміст Наступна