Формули подвійного аргументу
[ред.]
Розглянемо тригонометричні функції суми двох однакових аргументів. Для виведення формули косинуса подвійного аргументу використаємо співвідношення (27):
, тобто
. (35)
Використавши основну тригонометричну тотожність (14), отримаємо:
, (36)
або
. (37)
Ще одну формулу отримаємо так:
. Тут ми використали основну тригонометричну тотожність та розділили чисельник і знаменник дробу на
. Отримали:
. (38)
Розглянемо формулу для синуса суми двох однакових аргументів:
, тобто
. (39)
Перетворимо співвідношення (39), використовуючи основну тригонометричну тотожність та поділивши отримані чисельник і знаменник на
:
. Маємо:
. (40)
Використавши співвідношення (31), отримаємо:
, тобто
. (41)
Формулу подвійного аргументу для котангенса виведемо із співвідношення (33):
, звідки
, (42)
або
. (43)
37. Довести формули подвійного аргументу:
![{\displaystyle sec2x={\frac {1+tg^{2}x}{1-tg^{2}x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582cd85a5072730cd59c39ef54d388590d9eed18)
![{\displaystyle cosec2x={\frac {1+tg^{2}x}{2tgx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1eb16026802ae393c985bbb215eec1d6cb6ffa)
38. Вивести формулу подвійного кута для тангенса, використовуючи співвідношення (38) і (40).
39. Вивести формулу подвійного кута для котангенса, використовуючи співвідношення (38) і (40).
40. Вивести формулу подвійного кута для котангенса (42), використовуючи співвідношення (41).
41. Довести, що:
![{\displaystyle sin3x=3sinx-4sin^{3}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a649456ead8acb3da292e193f9eabed09c1dc4)
![{\displaystyle cos3x=4cos^{3}x-3cosx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79be493419a583e28404b99db45df99de50f0c59)
![{\displaystyle sin4x=8cos^{3}xsinx-4cosxsinx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc56e811b51fc82f73e5d3631d4bae6e73713e3)
![{\displaystyle cos4x=8cos^{4}x-8cos^{2}x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b86fbc1f237481ec957dde4c048f967542ff4f3)
![{\displaystyle tg3x={\frac {3tgx-tg^{3}x}{1-3tg^{2}x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3338d66cca1f9b1d9b9662bef61100b5809aa9a0)
![{\displaystyle ctg3x={\frac {ctg^{3}x-3ctgx}{3ctg^{2}x-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d67f9aa77ab17f0a94344b9fc2cc9ba6b6f8d2)
![{\displaystyle tg4x={\frac {4tgx-4tg^{3}x}{1-6tg^{2}x+tg^{4}x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aec2725c31ae7c6a2f0c0d9f720016d5ae7c164)
![{\displaystyle ctg4x={\frac {ctg^{4}x-6ctg^{2}x+1}{4ctg^{3}x-4ctgx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939af4c72179d3a3c23d2de58736be845fb7e047)
Формули половинного аргументу
[ред.]
Покладемо у співвідношенні (36) кут
. Отримаємо:
, звідки
. (44)
Аналогічно, поклавши у співвідношенні (37) кут
, маємо тотожність:
, (45)
(переконайтесь у цьому самостійно).
Використаємо співвідношення (44) та (45) для отримання формули половинного аргументу тангенса:
, тобто
. (46)
Використавши до (46) співвідношення (13), отримуємо:
. (47)
У співвідношеннях (44)-(47) знак перед радикалом (+ чи -) вибирається у відповідності з тим, в якій четверті знаходиться кут – аргумент
. Наприклад,
.
42. Обчислити:
![{\displaystyle cos{\frac {\pi }{12}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde1af7cf9b21b799693dcd02e776500b57f2d46)
![{\displaystyle tg{\frac {\pi }{12}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96a7ae8ceebf9eb27ff4c6f203ca1ffa0888fdd)
![{\displaystyle sin{\frac {7}{12}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24e86e7a2800d876a782ddbd52c0518da07b30a)
![{\displaystyle ctg{\frac {5}{12}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ea61215ab2580933b87f706f0ddf66d627650c)
43. Довести, що:
![{\displaystyle tg{\frac {x}{2}}={\frac {sinx}{1+cosx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5254634107889c0547cae0f0987c7e72312460e9)
![{\displaystyle tg{\frac {x}{2}}={\frac {1-cosx}{sinx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/075f717f94187f09a2c1b3e3d24a5d370fb3465c)
![{\displaystyle ctg{\frac {x}{2}}={\frac {sinx}{1-cosx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ed42ae84556e4a85485dfcf9b7d187cdb57c93)
![{\displaystyle ctg{\frac {x}{2}}={\frac {1+cosx}{sinx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef41919af7129c90d945a5bf622f05c50e689cc)
Зміст
Наступна