Формули подвійного і половинного аргументів тригонометричних функцій

Формули подвійного аргументу

Розглянемо тригонометричні функції суми двох однакових аргументів. Для виведення формули косинуса подвійного аргументу використаємо співвідношення (27):
$cos2\alpha =cos(\alpha +\alpha )=cos\alpha \cdot cos\alpha -sin\alpha \cdot sin\alpha =cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha$ , тобто

 $cos2\alpha =cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha$ . (35)

Використавши основну тригонометричну тотожність (14), отримаємо:

 $cos2\alpha =1-2\cdot sin^{2}\alpha$ , (36)

або

 $cos2\alpha =2\cdot cos^{2}\alpha -1$ . (37)

Ще одну формулу отримаємо так:
$cos2\alpha ={\frac {cos2\alpha }{1}}={\frac {cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha }}={\frac {1-tg^{2}\alpha }{1+tg^{2}\alpha }}$ . Тут ми використали основну тригонометричну тотожність та розділили чисельник і знаменник дробу на $cos^{2}\alpha \neq 0$ . Отримали:

 $cos2\alpha ={\frac {1-tg^{2}\alpha }{1+tg^{2}\alpha }},\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+n\pi ,n\in \mathbb {Z}$ . (38)

Розглянемо формулу для синуса суми двох однакових аргументів:
$sin2\alpha =sin(\alpha +\alpha )=sin\alpha \cdot cos\alpha +cos\alpha \cdot sin\alpha =2sin\alpha cos\alpha$ , тобто

 $sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha$ . (39)

Перетворимо співвідношення (39), використовуючи основну тригонометричну тотожність та поділивши отримані чисельник і знаменник на $cos^{2}\alpha \neq 0$ : $sin2\alpha ={\frac {sin2\alpha }{1}}={\frac {2sin\alpha cos\alpha }{cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha }}={\frac {2tg\alpha }{1+tg^{2}\alpha }}$ . Маємо:

 $sin2\alpha ={\frac {2tg\alpha }{1+tg^{2}\alpha }}$ . (40)

Використавши співвідношення (31), отримаємо: $tg2\alpha =tg(\alpha +\alpha )={\frac {tg\alpha +tg\alpha }{1-tg\alpha tg\alpha }}={\frac {2tg\alpha }{1-tg^{2}\alpha }}$ , тобто

 $tg2\alpha ={\frac {2tg\alpha }{1-tg^{2}\alpha }}$ . (41)

Формулу подвійного аргументу для котангенса виведемо із співвідношення (33): $ctg2\alpha =ctg(\alpha +\alpha )={\frac {ctg\alpha ctg\alpha -1}{ctg\alpha +ctg\alpha }}={\frac {ctg^{2}\alpha -1}{2ctg\alpha }}$ , звідки

 $ctg2\alpha ={\frac {ctg^{2}\alpha -1}{2ctg\alpha }}$ , (42)

або

 $ctg2\alpha ={\frac {1-tg^{2}\alpha }{2tg\alpha }}$ . (43)

Вправи

37. Довести формули подвійного аргументу:

$sec2x={\frac {1+tg^{2}x}{1-tg^{2}x}}$
$cosec2x={\frac {1+tg^{2}x}{2tgx}}$

38. Вивести формулу подвійного кута для тангенса, використовуючи співвідношення (38) і (40).

39. Вивести формулу подвійного кута для котангенса, використовуючи співвідношення (38) і (40).

40. Вивести формулу подвійного кута для котангенса (42), використовуючи співвідношення (41).

41. Довести, що:

$sin3x=3sinx-4sin^{3}x$
$cos3x=4cos^{3}x-3cosx$
$sin4x=8cos^{3}xsinx-4cosxsinx$
$cos4x=8cos^{4}x-8cos^{2}x+1$
$tg3x={\frac {3tgx-tg^{3}x}{1-3tg^{2}x}}$
$ctg3x={\frac {ctg^{3}x-3ctgx}{3ctg^{2}x-1}}$
$tg4x={\frac {4tgx-4tg^{3}x}{1-6tg^{2}x+tg^{4}x}}$
$ctg4x={\frac {ctg^{4}x-6ctg^{2}x+1}{4ctg^{3}x-4ctgx}}$

Формули половинного аргументу

Покладемо у співвідношенні (36) кут $\alpha ={\frac {x}{2}}$ . Отримаємо: $cosx=1-2\cdot sin^{2}{\frac {x}{2}}$ , звідки

 $sin{\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-cosx}{2}}}$ . (44)

Аналогічно, поклавши у співвідношенні (37) кут $\alpha ={\frac {x}{2}}$ , маємо тотожність:

 $cos{\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+cosx}{2}}}$ , (45)

(переконайтесь у цьому самостійно). Використаємо співвідношення (44) та (45) для отримання формули половинного аргументу тангенса: $tg{\frac {x}{2}}={\frac {sin{\frac {x}{2}}}{cos{\frac {x}{2}}}}={\frac {\pm {\sqrt {\frac {1-cosx}{2}}}}{\pm {\sqrt {\frac {1+cosx}{2}}}}}=\pm {\sqrt {\frac {1-cosx}{1+cosx}}}$ , тобто

 $tg{\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-cosx}{1+cosx}}}$ . (46)

Використавши до (46) співвідношення (13), отримуємо:

 $ctg{\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+cosx}{1-cosx}}}$ . (47)

У співвідношеннях (44)-(47) знак перед радикалом (+ чи -) вибирається у відповідності з тим, в якій четверті знаходиться кут – аргумент ${\frac {x}{2}}$ . Наприклад, $sin{\frac {\pi }{12}}=+{\sqrt {\frac {1-cos{\frac {\pi }{6}}}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\sqrt {3}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$ .