Формули подвійного і половинного аргументів тригонометричних функцій

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Формули подвійного аргументу[ред.]

Розглянемо тригонометричні функції суми двох однакових аргументів. Для виведення формули косинуса подвійного аргументу використаємо співвідношення (27):
, тобто

. (35)

Використавши основну тригонометричну тотожність (14), отримаємо:

, (36)

або

. (37)

Ще одну формулу отримаємо так:
. Тут ми використали основну тригонометричну тотожність та розділили чисельник і знаменник дробу на . Отримали:

. (38)

Розглянемо формулу для синуса суми двох однакових аргументів:
, тобто

. (39)

Перетворимо співвідношення (39), використовуючи основну тригонометричну тотожність та поділивши отримані чисельник і знаменник на : . Маємо:

. (40)

Використавши співвідношення (31), отримаємо: , тобто

. (41)

Формулу подвійного аргументу для котангенса виведемо із співвідношення (33): , звідки

, (42)

або

. (43)

Вправи[ред.]

37. Довести формули подвійного аргументу:

38. Вивести формулу подвійного кута для тангенса, використовуючи співвідношення (38) і (40).

39. Вивести формулу подвійного кута для котангенса, використовуючи співвідношення (38) і (40).

40. Вивести формулу подвійного кута для котангенса (42), використовуючи співвідношення (41).

41. Довести, що:

Формули половинного аргументу[ред.]

Покладемо у співвідношенні (36) кут . Отримаємо: , звідки

. (44)

Аналогічно, поклавши у співвідношенні (37) кут , маємо тотожність:

, (45)

(переконайтесь у цьому самостійно). Використаємо співвідношення (44) та (45) для отримання формули половинного аргументу тангенса: , тобто

. (46)

Використавши до (46) співвідношення (13), отримуємо:

. (47)

У співвідношеннях (44)-(47) знак перед радикалом (+ чи -) вибирається у відповідності з тим, в якій четверті знаходиться кут – аргумент . Наприклад, .

Вправи[ред.]

42. Обчислити:

43. Довести, що:


Зміст Наступна