Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій

Формули добутку тригонометричних функцій

З’ясуємо, чи можна добутки тригонометричних функцій замінити сумами (різницями) тригонометричних функцій такого ж степеня інших аргументів. Для цього використаємо формули суми і різниці двох аргументів. Додамо почленно співвідношення (29) та (30). Отримаємо:

$sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta )=2\cdot sin\alpha \cdot cos\beta$, (48)

або

$sin\alpha \cdot cos\beta ={\frac {1}{2}}\cdot (sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta ))$. (48′)

Якщо додамо почленно співвідношення (27) і (28), матимемо:

$cos(\alpha +\beta )+cos(\alpha -\beta )=2\cdot cos\alpha \cdot cos\beta$, (49)

тому

$cos\alpha \cdot cos\beta ={\frac {1}{2}}\cdot (cos(\alpha +\beta )+cos(\alpha -\beta ))$.  (49′)

Коли ми почленно віднімемо від співвідношення (28) співвідношення (27), то:

$cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )=2\cdot sin\alpha \cdot sin\beta$, (50)

тобто

$sin\alpha \cdot sin\beta ={\frac {1}{2}}\cdot (cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta ))$. (50′)

Віднявши почленно від (29) співвідношення (30), маємо:

$sin(\alpha +\beta )-sin(\alpha -\beta )=2\cdot cos\alpha \cdot sin\beta$, (51)

звідки

$cos\alpha \cdot sin\beta ={\frac {1}{2}}\cdot (sin(\alpha +\beta )-sin(\alpha -\beta ))$. (51′)

Для знаходження формул для добутку тангенсів і котангенсів використаємо інший підхід.
Маємо:
$tg\alpha +tg\beta =tg\alpha \left(1+{\frac {tg\beta }{tg\alpha }}\right)=tg\alpha \cdot tg\beta \cdot \left({\frac {1}{tg\alpha }}+{\frac {1}{tg\beta }}\right)==tg\alpha \cdot tg\beta \cdot \left(ctg\alpha +ctg\beta \right)$, звідки

$tg\alpha \cdot tg\beta ={\frac {tg\alpha +tg\beta }{ctg\alpha +ctg\beta }}$. (52)

Аналогічно можна отримати співвідношення

$ctg\alpha \cdot ctg\beta ={\frac {ctg\alpha +ctg\beta }{tg\alpha +tg\beta }}$, (53)
$tg\alpha \cdot ctg\beta ={\frac {tg\alpha +ctg\beta }{ctg\alpha +tg\beta }}$. (54)

Доведіть співвідношення (53)-(54) самостійно.

Вправи

44. Доведіть, що:

1. $sinx\cdot siny\cdot sinz={\frac {1}{4}}\cdot (sin(x+y-z)+sin(y+z-x)+sin(z+x-y)-sin(x+y+z))$
2. $sinx\cdot cosy\cdot cosz={\frac {1}{4}}\cdot (sin(x+y-z)-sin(y+z-x)+sin(z+x-y)+sin(x+y+z))$
3. $sinx\cdot siny\cdot cosz={\frac {1}{4}}\cdot (-cos(x+y-z)+cos(y+z-x)+cos(z+x-y)-cos(x+y+z))$
4. $cosx\cdot cosy\cdot cosz={\frac {1}{4}}\cdot (cos(x+y-z)+cos(y+z-x)+cos(z+x-y)+cos(x+y+z))$

45. Доведіть, що:

1. $tgx\cdot tgy=-{\frac {tgx-tgy}{ctgx-ctgy}}$
2. $ctgx\cdot ctgy=-{\frac {ctgx-ctgy}{tgx-tgy}}$
3. $tgx\cdot ctgy=-{\frac {tgx-ctgy}{ctgx-tgy}}$

Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій

Розглянемо співвідношення (48)-(51). Виконаємо в них заміну $\alpha +\beta =x$, $\alpha -\beta =y$. Тоді й $\alpha ={\frac {x+y}{2}}$, $\beta ={\frac {x-y}{2}}$. Звідси маємо:

$sinx+siny=2\cdot sin{\frac {x+y}{2}}\cdot cos{\frac {x-y}{2}}$, (55)
$cosx+cosy=2\cdot cos{\frac {x+y}{2}}\cdot cos{\frac {x-y}{2}}$, (56)
$cosx-cosy=-2\cdot sin{\frac {x+y}{2}}\cdot sin{\frac {x-y}{2}}$, (57)
$sinx-siny=2\cdot cos{\frac {x+y}{2}}\cdot sin{\frac {x-y}{2}}$. (58)

Розглянемо суму тангенсів:
$tgx+tgy={\frac {sinx}{cosx}}+{\frac {siny}{cosy}}={\frac {sinx\cdot cosy+cosx\cdot siny}{cosx\cdot cosy}}={\frac {sin(x+y)}{cosx\cdot cosy}}$, тобто

$tgx+tgy={\frac {sin(x+y)}{cosx\cdot cosy}}$. (59)

Аналогічно можна довести співвідношення для різниці тангенсів:

$tgx-tgy={\frac {sin(x-y)}{cosx\cdot cosy}}$. (60)

Доведіть це самостійно. Виведемо формулу для суми котангенсів:
$ctgx+ctgy={\frac {cosx}{sinx}}+{\frac {cosy}{siny}}={\frac {cosx\cdot siny+sinx\cdot cosy}{sinx\cdot siny}}={\frac {sin(x+y)}{sinx\cdot siny}}$, тобто

$ctgx+ctgy={\frac {sin(x+y)}{sinx\cdot siny}}$. (61)

Аналогічно можна довести, що:

$ctgx-ctgy=-{\frac {sin(x-y)}{sinx\cdot siny}}$. (62)

Доведіть це самостійно.

Вправи

46. Доведіть, що:

1. $secx+secy={\frac {2\cdot secx\cdot secy}{sec{\frac {x+y}{2}}\cdot sec{\frac {x-y}{2}}}}$
2. $cosecx+cosecy={\frac {2\cdot cosecx\cdot cosecy}{cosec{\frac {x+y}{2}}\cdot sec{\frac {x-y}{2}}}}$

Зміст Наступна