Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Формули добутку тригонометричних функцій[ред.]

З’ясуємо, чи можна добутки тригонометричних функцій замінити сумами (різницями) тригонометричних функцій такого ж степеня інших аргументів. Для цього використаємо формули суми і різниці двох аргументів. Додамо почленно співвідношення (29) та (30). Отримаємо:

, (48)

або

. (48′)

Якщо додамо почленно співвідношення (27) і (28), матимемо:

, (49)

тому

.  (49′)

Коли ми почленно віднімемо від співвідношення (28) співвідношення (27), то:

, (50)

тобто

. (50′)

Віднявши почленно від (29) співвідношення (30), маємо:

, (51)

звідки

. (51′)

Для знаходження формул для добутку тангенсів і котангенсів використаємо інший підхід.
Маємо:
, звідки

. (52)

Аналогічно можна отримати співвідношення

, (53)
. (54)

Доведіть співвідношення (53)-(54) самостійно.

Вправи[ред.]

44. Доведіть, що:

45. Доведіть, що:

Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій[ред.]

Розглянемо співвідношення (48)-(51). Виконаємо в них заміну , . Тоді й , . Звідси маємо:

, (55)
, (56)
, (57)
. (58)

Розглянемо суму тангенсів:
, тобто

. (59)

Аналогічно можна довести співвідношення для різниці тангенсів:

. (60)

Доведіть це самостійно. Виведемо формулу для суми котангенсів:
, тобто

. (61)

Аналогічно можна довести, що:

. (62)

Доведіть це самостійно.

Вправи[ред.]

46. Доведіть, що:

Зміст Наступна