Формули добутку тригонометричних функцій
[ред.]
З’ясуємо, чи можна добутки тригонометричних функцій замінити сумами (різницями) тригонометричних функцій такого ж степеня інших аргументів. Для цього використаємо формули суми і різниці двох аргументів. Додамо почленно співвідношення (29) та (30). Отримаємо:
, (48)
або
. (48′)
Якщо додамо почленно співвідношення (27) і (28), матимемо:
, (49)
тому
. (49′)
Коли ми почленно віднімемо від співвідношення (28) співвідношення (27), то:
, (50)
тобто
. (50′)
Віднявши почленно від (29) співвідношення (30), маємо:
, (51)
звідки
. (51′)
Для знаходження формул для добутку тангенсів і котангенсів використаємо інший підхід.
Маємо:
, звідки
. (52)
Аналогічно можна отримати співвідношення
, (53)
. (54)
Доведіть співвідношення (53)-(54) самостійно.
44. Доведіть, що:
![{\displaystyle sinx\cdot siny\cdot sinz={\frac {1}{4}}\cdot (sin(x+y-z)+sin(y+z-x)+sin(z+x-y)-sin(x+y+z))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5772bc8aba5bde0be2f69c473d869ff363c1e00)
![{\displaystyle sinx\cdot cosy\cdot cosz={\frac {1}{4}}\cdot (sin(x+y-z)-sin(y+z-x)+sin(z+x-y)+sin(x+y+z))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8dee5173e62aba46161431ddd9f04a144123ce)
![{\displaystyle sinx\cdot siny\cdot cosz={\frac {1}{4}}\cdot (-cos(x+y-z)+cos(y+z-x)+cos(z+x-y)-cos(x+y+z))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c094962706b56952e9c946bb835150b472a6a71)
![{\displaystyle cosx\cdot cosy\cdot cosz={\frac {1}{4}}\cdot (cos(x+y-z)+cos(y+z-x)+cos(z+x-y)+cos(x+y+z))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deba22f8a07ff2b04754473d71856494d800b389)
45. Доведіть, що:
![{\displaystyle tgx\cdot tgy=-{\frac {tgx-tgy}{ctgx-ctgy}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be623ca552429e38401129213d1453e06df3b40)
![{\displaystyle ctgx\cdot ctgy=-{\frac {ctgx-ctgy}{tgx-tgy}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ece38a1074a34036a4ec5d2b38f06c8443afaff)
![{\displaystyle tgx\cdot ctgy=-{\frac {tgx-ctgy}{ctgx-tgy}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d2829789b154a09ce2c7c5f69135cb01514916)
Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій
[ред.]
Розглянемо співвідношення (48)-(51). Виконаємо в них заміну
,
. Тоді й
,
. Звідси маємо:
, (55)
, (56)
, (57)
. (58)
Розглянемо суму тангенсів:
, тобто
. (59)
Аналогічно можна довести співвідношення для різниці тангенсів:
. (60)
Доведіть це самостійно.
Виведемо формулу для суми котангенсів:
, тобто
. (61)
Аналогічно можна довести, що:
. (62)
Доведіть це самостійно.
46. Доведіть, що:
![{\displaystyle secx+secy={\frac {2\cdot secx\cdot secy}{sec{\frac {x+y}{2}}\cdot sec{\frac {x-y}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/030505453d5bd778bde14769c77e5be5af40ff10)
![{\displaystyle cosecx+cosecy={\frac {2\cdot cosecx\cdot cosecy}{cosec{\frac {x+y}{2}}\cdot sec{\frac {x-y}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b69e55ddf79b37931c9eb3dba508a47a9c63b0c2)
Зміст
Наступна