Розв’язування вправ на застосування тригонометричних формул

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Тотожні перетворення тригонометричних виразів[ред.]

При доведенні тригонометричних тотожностей використовують як формули скороченого множення, так і формули, які пов’язують між собою тригонометричні функції.
Приклад 1. Довести тотожність: (*)
Розв’язання. Використаємо формулу скороченого множення , поклавши в ній , .
Тоді отримаємо, що
.
Врахувавши основну тригонометричну тотожність, маємо: . Отримане значення виразу підставимо у (*). Одержимо:
. Після відкриття дужок і зведення подібних членів маємо: , звідки , тому , що й доводить (*).

Вправи[ред.]

47. Довести тотожність:

48. Довести тотожність:

  1. .

49. Довести, що коли , то .

50. Довести, що якщо , то , .

51. Довести, що якщо і – корені рівняння , то правильна тотожність: .

52.Спростити вираз: .

Обчислення значень тригонометричних функцій[ред.]

Задачі, пов’язані з обчисленням значень тригонометричних функцій без використання таблиць, зазвичай розв’язуються за допомогою тотожних перетворень, які приводять шуканий вираз до вигляду, що містить тільки табличні значення тригонометричних функцій.

Приклад 2. Обчислити значення виразу .
Розв’язання. З урахуванням формул (55) та (21), маємо .

Приклад 3. Обчислити значення виразу .
Розв’язання. Так як , то будемо розглядати чисельник і знаменник.
З урахуванням формул (48') та (50'), маємо:

.
Використовуючи формулу (39), отримуємо:

Таким чином, .

Приклад 4. Обчислити .
Розв’язання.
.
Отже, , звідки . Зробимо заміну . Тоді . Розв’язавши квадратне рівняння, отримуємо, що
.
(Другий корінь квадратного рівняння є стороннім, так як ).

Вправи[ред.]

Обчислити:

53.

54.

55.

56.

Приклад 5. Обчислити , якщо .
Розв’язання.
Виражаючи і через (співвідношення (38) і (40)), отримуємо:
.
Підставляючи в праву частину цього виразу замість його значення 3, знаходимо: .

Вправи[ред.]

57. Обчислити , якщо .

58. Знайти значення , якщо .

59. Сума трьох додатних чисел , і дорівнює . Обчислити добуток , якщо відомо, що , і утворюють арифметичну прогресію.

60. Обчислити , якщо , , .

61. Обчислити значення , якщо .

Обчислення сум рядів[ред.]

Обчислення суми скінченого ряду тригонометричних функцій (*) часто вдається виконати за допомогою підбору так званої продукуючої функції, тобто функції, яка має властивість . (**)
Якщо функція знайдена, то сума (*) обчислюється за формулою . (***)
Приклад 6. Просумувати
.
Розв’язання. Використаємо те, що
.
Це випливає із співвідношення (57). Якщо ми почленно розділимо цю рівність на , то отримаємо рівність вигляду (**).
Тоді за продукуючу функцію можна взяти
.
Згідно (***), отримуємо:
.
Використавши співвідношення (57), маємо:
.

Вправи[ред.]

Просумувати:
62. .
63. .
64. .
65. .

Співвідношення у трикутнику. Задачі з геометричним змістом[ред.]

Вправи. Довести, що коли – кути трикутника, то:
66. .
67. .
68. .
69. .

Приклад 7. Довести, що для кутів довільного трикутника виконується нерівність
. (*)
Розв’язання. Відмітимо, що при нерівність (*) перетворюється в рівність.
Нехай хоча б два кути трикутника, наприклад, i , не рівні. Тоді
{56}
{37},
тобто нерівність (*) також виконується, але строго. Таким чином, рівність має місце лише для правильного трикутника.

Вправи[ред.]

70. Довести, що для кутів довільного трикутника виконується нерівність .
Визначити, коли досягається рівність.
71. Довести, що у довільному не тупокутному трикутнику виконуються нерівності: , , .
72. Довести, що для кутів довільного нетупокутного трикутника виконується нерівність: .
73. Довести, що:

  1. Площа будь-якого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними.
  2. З усіх прямокутників з даною діагоналлю найбільшу площу має квадрат.
  3. Який чотирикутник з діагоналями та має максимальну площу? Чому?


Зміст Наступна