Розв’язування вправ на застосування тригонометричних формул

Тотожні перетворення тригонометричних виразів

При доведенні тригонометричних тотожностей використовують як формули скороченого множення, так і формули, які пов’язують між собою тригонометричні функції.
Приклад 1. Довести тотожність: $2\cdot \left(\sin ^{6}\alpha +\cos ^{6}\alpha \right)-3\cdot \left(\sin ^{4}\alpha +\cos ^{4}\alpha \right)+1=0$ (*)
Розв’язання. Використаємо формулу скороченого множення $x^{3}+y^{3}=\left(x+y\right)\cdot \left(x^{2}-x\cdot y+y^{2}\right)$, поклавши в ній $x=\sin ^{2}\alpha$, $y=\cos ^{2}\alpha$.
Тоді отримаємо, що
$\sin ^{6}\alpha +\cos ^{6}\alpha =\left(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha \right)\cdot \left(\sin ^{4}\alpha -\sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\alpha +\cos ^{4}\alpha \right)$.
Врахувавши основну тригонометричну тотожність, маємо: $\sin ^{6}\alpha +\cos ^{6}\alpha =\sin ^{4}\alpha -\sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\alpha +\cos ^{4}\alpha$. Отримане значення виразу $\sin ^{6}\alpha +\cos ^{6}\alpha$ підставимо у (*). Одержимо:
$2\cdot \left(\sin ^{4}\alpha -\sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\alpha +\cos ^{4}\alpha \right)-3\cdot \left(\sin ^{4}\alpha +\cos ^{4}\alpha \right)+1=0$. Після відкриття дужок і зведення подібних членів маємо: $1-2\cdot \sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\alpha -\sin ^{4}\alpha -\cos ^{4}\alpha =0$, звідки $1-\left(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha \right)^{2}=0$, тому $1-1=0$, що й доводить (*).

Вправи

47. Довести тотожність:

1. $\sin ^{6}\alpha +\cos ^{6}\alpha =1-{\frac {3}{4}}\cdot \sin ^{2}2\alpha$
2. $\sin ^{4}\alpha -\cos ^{4}\alpha =\sin ^{2}\alpha -\cos ^{2}\alpha$

48. Довести тотожність:

1. ${\frac {1+\sin 2\alpha +\cos 2\alpha }{1+\sin 2\alpha -\cos 2\alpha }}=ctg\alpha$
2. $\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma -\sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=4\cdot \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \sin {\frac {\beta +\gamma }{2}}\cdot \sin {\frac {\alpha +\gamma }{2}}$
3. $\sin \alpha +\sin 3\alpha +\sin 5\alpha +\sin 7\alpha =4\cdot \cos \alpha \cdot \cos 2\alpha \cdot \cos 4\alpha$
4. $\sin ^{6}{\frac {\alpha }{2}}+\cos ^{6}{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin ^{2}\alpha -4}{4}}\cdot \cos \alpha$
5. ${\frac {\sin ^{2}x}{\sin x-\cos x}}-{\frac {\sin x+\cos x}{tg^{2}x-1}}=\sin x+\cos x$.

49. Довести, що коли $\cos \left(\alpha +\beta \right)=0$, то $\sin \left(\alpha +2\cdot \beta \right)=\sin \alpha$.

50. Довести, що якщо $\sin ^{2}\beta =\sin \alpha \cdot \cos \alpha$, то $\cos 2\beta =2\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)$, $\cos 2\beta =2\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)$.

51. Довести, що якщо $tg\alpha$ і $tg\beta$ – корені рівняння $x^{2}+p\cdot x+q=0$, то правильна тотожність: $\sin ^{2}\left(\alpha +\beta \right)+p\cdot sin\left(\alpha +\beta \right)\cdot cos\left(\alpha +\beta \right)+q\cdot cos^{2}\left(\alpha +\beta \right)=q$.

52.Спростити вираз: ${\frac {2\sin \alpha +\sin ^{2}\alpha }{2\cos \alpha +\sin ^{2}\alpha }}\cdot {\frac {1-\cos \alpha }{1-\sin \alpha }}$.

Обчислення значень тригонометричних функцій

Задачі, пов’язані з обчисленням значень тригонометричних функцій без використання таблиць, зазвичай розв’язуються за допомогою тотожних перетворень, які приводять шуканий вираз до вигляду, що містить тільки табличні значення тригонометричних функцій.

Приклад 2. Обчислити значення виразу $\left({\frac {\sin 80^{\circ }+\sin 40^{\circ }}{\sin 70^{\circ }}}\right)^{2}$.
Розв’язання. З урахуванням формул (55) та (21), маємо $\left({\frac {\sin 80^{\circ }+\sin 40^{\circ }}{\sin 70^{\circ }}}\right)^{2}=\left({\frac {2\cdot \cos 60^{\circ }\cdot \cos 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}}\right)^{2}=\left(2\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}=3$.

Приклад 3. Обчислити значення виразу $tg20^{\circ }\cdot tg40^{\circ }\cdot tg80^{\circ }$.
Розв’язання. Так як $tg20^{\circ }\cdot tg40^{\circ }\cdot tg80^{\circ }={\frac {\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }}{\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }}}$, то будемо розглядати чисельник і знаменник.
З урахуванням формул (48') та (50'), маємо:
$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {1}{2}}\cdot \left(\cos 20^{\circ }-\cos 60^{\circ }\right)\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {1}{2}}\cdot \left(\cos 20^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }-{\frac {1}{2}}\cdot \sin 80^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {1}{2}}\cdot \left(\sin 100^{\circ }+\sin 60^{\circ }\right)-{\frac {1}{2}}\cdot \sin 80^{\circ }\right)=$
$={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {1}{2}}\cdot \sin 80^{\circ }+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot \sin 80^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{8}}$.
Використовуючи формулу (39), отримуємо:
$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {2\cdot \sin 20^{\circ }\cdot \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }}{2\cdot \sin 20^{\circ }}}={\frac {\sin 40^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }}{2\cdot \sin 20^{\circ }}}={\frac {\sin 80^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }}{4\cdot \sin 20^{\circ }}}={\frac {\sin 160^{\circ }}{8\cdot \sin 20^{\circ }}}={\frac {\sin(180^{\circ }-20^{\circ })}{8\cdot \sin 20^{\circ }}}={\frac {\sin 20^{\circ }}{8\cdot \sin 20^{\circ }}}={\frac {1}{8}}$
Таким чином, $tg20^{\circ }\cdot tg40^{\circ }\cdot tg80^{\circ }={\frac {\frac {\sqrt {3}}{8}}{\frac {1}{8}}}={\sqrt {3}}$.

Приклад 4. Обчислити $\sin 18^{\circ }$.
Розв’язання.
$\sin 18^{\circ }={\frac {2\cdot \cos 18^{\circ }\cdot \sin 18^{\circ }}{2\cdot \cos 18^{\circ }}}={\frac {\sin 36^{\circ }}{2\cdot \cos 18^{\circ }}}={\frac {\cos 54^{\circ }}{2\cdot \cos 18^{\circ }}}={\frac {\cos(3\cdot 18)^{\circ }}{2\cdot \cos 18^{\circ }}}={\frac {4\cdot \cos ^{3}18^{\circ }-3\cdot \cos 18^{\circ }}{2\cdot \cos 18^{\circ }}}={\frac {4\cdot \cos ^{2}18^{\circ }-3}{2}}={\frac {4\cdot (1-\sin ^{2}18^{\circ })-3}{2}}={\frac {1-4\cdot \sin ^{2}18^{\circ }}{2}}$.
Отже, $\sin 18^{\circ }={\frac {1-4\cdot \sin ^{2}18^{\circ }}{2}}$, звідки $4\cdot \sin ^{2}18^{\circ }+2\cdot \sin 18^{\circ }-1=0$. Зробимо заміну $t=\sin 18^{\circ }$. Тоді $4\cdot t^{2}+2\cdot t-1=0$. Розв’язавши квадратне рівняння, отримуємо, що
$\sin 18^{\circ }={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}$.
(Другий корінь квадратного рівняння є стороннім, так як $\sin 18^{\circ }>0$).

Вправи

Обчислити:

53.

1. $\sin 15^{\circ }$
2. ${\frac {1}{\sin 10^{\circ }}}-4\cdot \sin 70^{\circ }$

54. $\sin ^{2}70^{\circ }\cdot \sin ^{2}50^{\circ }\cdot \sin ^{2}10^{\circ }$

55. $\sin {\frac {3\cdot \pi }{10}}\cdot \sin {\frac {\pi }{10}}$

56. $\sin 42^{\circ }$

Приклад 5. Обчислити ${\frac {2\cdot \sin 2\alpha -3\cdot cos2\alpha }{4\cdot \sin 2\alpha +5\cdot cos2\alpha }}$, якщо $tg\alpha =3$.
Розв’язання.
Виражаючи $\sin 2\alpha$ і $cos2\alpha$ через $tg\alpha$ (співвідношення (38) і (40)), отримуємо:
${\frac {2\cdot \sin 2\alpha -3\cdot cos2\alpha }{4\cdot \sin 2\alpha +5\cdot cos2\alpha }}={\frac {4\cdot tg\alpha -3+3\cdot tg^{2}\alpha }{8\cdot tg\alpha +5-5\cdot tg^{2}\alpha }}$.
Підставляючи в праву частину цього виразу замість $tg\alpha$ його значення 3, знаходимо: ${\frac {4\cdot 3-3+3\cdot 3^{2}}{8\cdot 3+5-5\cdot 3^{2}}}=-{\frac {9}{4}}=-2{\frac {1}{4}}$.

Вправи

57. Обчислити $\sin \alpha$, якщо $\sin {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\alpha }{2}}=1,4$.

58. Знайти значення $tg^{4}\alpha +ctg^{4}\alpha$, якщо $tg\alpha +ctg\alpha =a$.

59. Сума трьох додатних чисел $\alpha$, $\beta$ і $\gamma$ дорівнює ${\frac {\pi }{2}}$. Обчислити добуток $ctg\alpha \cdot ctg\gamma$, якщо відомо, що $ctg\alpha$, $ctg\beta$ і $ctg\gamma$ утворюють арифметичну прогресію.

60. Обчислити $\cos \left(\theta -\phi \right)$, якщо $\cos \theta +\cos \phi =a$, $\sin \theta +\sin \phi =b$, $a^{2}+b^{2}\neq 0$.

61. Обчислити значення $\sin ^{3}\alpha -\cos ^{3}\alpha$, якщо $\sin \alpha -\cos \alpha =n$.

Обчислення сум рядів

Обчислення суми скінченого ряду тригонометричних функцій $S_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n}$(*) часто вдається виконати за допомогою підбору так званої продукуючої функції, тобто функції, яка має властивість $f(k+1)-f(k)=u_{n}$. (**)
Якщо функція $f(n)$ знайдена, то сума (*) обчислюється за формулою $S_{n}=f(k+1)-f(1)$. (***)
Приклад 6. Просумувати
$S_{n}=\sin \alpha +\sin(\alpha +h)+\sin(\alpha +2\cdot h)+...+\sin(\alpha +n\cdot h)$.
Розв’язання. Використаємо те, що
$\cos \left(\alpha +{\frac {2k+1}{2}}h\right)-\cos \left(\alpha +{\frac {2k-1}{2}}h\right)=-2\sin \left(\alpha +kh\right)\cdot \sin {\frac {h}{2}}$.
Це випливає із співвідношення (57). Якщо ми почленно розділимо цю рівність на $-\sin {\frac {h}{2}}$, то отримаємо рівність вигляду (**).
Тоді за продукуючу функцію можна взяти
$f(k)=-{\frac {1}{\sin {\frac {h}{2}}}}\cos \left(\alpha +{\frac {2k-1}{2}}h\right)$.
Згідно (***), отримуємо:
$S_{n}=-{\frac {1}{\sin {\frac {h}{2}}}}\left(\cos \left(\alpha +{\frac {2k+1}{2}}h\right)-\cos \left(\alpha +{\frac {h}{2}}\right)\right)$.
Використавши співвідношення (57), маємо:
$S_{n}={\frac {1}{\sin {\frac {h}{2}}}}\cdot \sin \left(\alpha +{\frac {n}{2}}h\right)\cdot \sin \left(\alpha +{\frac {n+1}{2}}h\right)$.

Вправи

Просумувати:
62. $\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 7\alpha +...+\cos(2n+1)\alpha$.
63. $\sin \alpha \cdot \sin 2\alpha +\sin 2\alpha \cdot \sin 3\alpha +\sin 3\alpha \cdot \sin 4\alpha +...+\sin n\alpha \cdot \sin(n+1)\alpha$.
64. $tg\alpha +{\frac {1}{2}}tg{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}tg{\frac {\alpha }{4}}+...+{\frac {1}{2^{n}}}tg{\frac {\alpha }{2^{n}}}$.
65. $\cos {\frac {\pi }{13}}+\cos {\frac {3\pi }{13}}+\cos {\frac {5\pi }{13}}+\cos {\frac {7\pi }{13}}+\cos {\frac {9\pi }{13}}+\cos {\frac {11\pi }{13}}$.

Співвідношення у трикутнику. Задачі з геометричним змістом

Вправи. Довести, що коли $\alpha ,\beta ,\gamma$ – кути трикутника, то:
66. $\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =1+4\cdot \sin {\frac {\alpha }{2}}\cdot \sin {\frac {\beta }{2}}\cdot \sin {\frac {\gamma }{2}}$.
67. $tg{\frac {\alpha }{2}}\cdot tg{\frac {\beta }{2}}+tg{\frac {\beta }{2}}\cdot tg{\frac {\gamma }{2}}+tg{\frac {\gamma }{2}}\cdot tg{\frac {\alpha }{2}}=1$.
68. $ctg\alpha \cdot ctg\beta +ctg\beta \cdot ctg\gamma +ctg\gamma \cdot ctg\alpha =1$.
69. $\sin ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma =2\cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma$.

Приклад 7. Довести, що для кутів $\alpha ,\beta ,\gamma$ довільного трикутника виконується нерівність
$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma \leq {\frac {3}{2}}$. (*)
Розв’язання. Відмітимо, що при $\alpha =\beta =\gamma ={\frac {\pi }{3}}$ нерівність (*) перетворюється в рівність.
Нехай хоча б два кути трикутника, наприклад, $\alpha$ i $\beta$, не рівні. Тоді
$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =\cos \alpha +\cos \beta -\cos \left(\alpha +\beta \right)=${56}$=2\cdot \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos \left(\alpha +\beta \right)<$
$<${37}$<2\cdot \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}-2\cdot \cos ^{2}{\frac {\alpha +\beta }{2}}+1=-{\frac {1}{2}}\cdot \left(2\cdot \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}-1\right)^{2}+{\frac {3}{2}}<{\frac {3}{2}}$,
тобто нерівність (*) також виконується, але строго. Таким чином, рівність має місце лише для правильного трикутника.

Вправи

70. Довести, що для кутів $\alpha ,\beta ,\gamma$ довільного трикутника виконується нерівність $\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma \geq {\frac {3}{4}}$.
Визначити, коли досягається рівність.
71. Довести, що у довільному не тупокутному трикутнику виконуються нерівності: $\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}<2\cdot \cos {\frac {\gamma }{2}}$, $\cos {\frac {\alpha -\gamma }{2}}<2\cdot \cos {\frac {\beta }{2}}$, $\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}<2\cdot \cos {\frac {\alpha }{2}}$.
72. Довести, що для кутів $\alpha ,\beta ,\gamma$ довільного нетупокутного трикутника виконується нерівність: $\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma >\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma$.
73. Довести, що:

1. Площа будь-якого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними.
2. З усіх прямокутників з даною діагоналлю найбільшу площу має квадрат.
3. Який чотирикутник з діагоналями $d_{1}$ та $d_{2}$ має максимальну площу? Чому?

Зміст Наступна