Обернені тригонометричні функції. Найпростіші тригонометричні рівняння, їх розв’язування

Обернені тригонометричні функції

Нехай про кут $\phi$ відомо лише те, що його синус дорівнює ${\frac {1}{2}}$ :

 $\sin \phi ={\frac {1}{2}}$ .

Чи можемо ми знайти цей кут? Як відомо, $\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{2}}$ . Тому можливо, що $\phi ={\frac {\pi }{6}}$ . Разом з тим в силу періодичності синуса $\sin \left({\frac {\pi }{6}}+2\pi \right)=\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{2}}$ . Тому не виключена можливість, що $\phi ={\frac {\pi }{6}}+2\pi$ . Взагалі, яке б не було $n\in \mathbb {Z}$ , $\sin \left({\frac {\pi }{6}}+2\pi n\right)=\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{2}}$ . Отже, шуканим кутом $\phi$ може бути будь-який з кутів ${\frac {\pi }{6}}$ , ${\frac {\pi }{6}}\pm 2\pi$ , ${\frac {\pi }{6}}\pm 4\pi$ , ${\frac {\pi }{6}}\pm 6\pi$ і т.д. Таким чином, за означенням свого синуса кут визначається неоднозначно.
Функція, обернена до функції $y=\sin x$ , заданої на кожному з проміжків $\left[{\frac {2k-1}{2}}\pi ;{\frac {2k+1}{2}}\pi \right]$ , $k\in \mathbb {Z}$ , називається арксинусом і позначається $y=Arcsinx$ .

Позначення $y=Arcsinx$ від латинського arcus cuius sinus x est і означає, що у є величиною такого кута в радіанах, синус якого дорівнює $x$ . Про арксинус як функцію обернену до функції синус дає змогу говорити теорема про існування і неперервність оберненої функції. Згідно неї, функція $f(x)$ має обернену функцію на проміжку, якщо вона неперервна і монотонна на цьому проміжку. Дійсно, функція $y=\sin x$ неперервна на всій області визначення і монотонна на кожному з проміжків $\left[{\frac {2k-1}{2}}\pi ;{\frac {2k+1}{2}}\pi \right]$ , $k\in \mathbb {Z}$ . Крім того, на кожному з цих проміжків функція $y=\sin x$ пробігає всю множину значень (від -1 до 1). Саме тому ми можемо говорити про функцію $y=Arcsinx$ як обернену до функції $y=\sin x$ .
Найчастіше використовують функцію $y=Arcsinx$ при $k=0$ . Тоді говорять про головне значення арксинуса, яке позначають $y=arcsinx$ . Як відомо, графіки прямої та оберненої функції симетричні відносно прямої $y=x$ . Це дає змогу легко зобразити графік функції $y=arcsinx$ (див. малюнок)
Дамо аналогічні означення інших обернених тригонометричних функцій.
Функція, обернена до функції $y=\cos x$ , заданої на кожному з проміжків $\left[k\pi ;\left(k+1\right)\pi \right]$ , $k\in \mathbb {(} Z)$ , називається арккосинусом і позначається $y=Arccosx$ .

Функція, обернена до функції $y=tgx$ , заданої на кожному з проміжків $\left[{\frac {2k-1}{2}}\pi ;{\frac {2k+1}{2}}\pi \right]$ , $k\in \mathbb {(} Z)$ , називається арктангенсом і позначається $y=Arctgx$ .

Функція, обернена до функції $y=ctgx$ , заданої на кожному з проміжків $\left[k\pi ;\left(k+1\right)\pi \right]$ , $k\in \mathbb {(} Z)$ , називається арккотангенсом і позначається $y=Arcctgx$ .
Так само, як і у випадку $y=Arcsinx$ , функції $y=Arccosx$ , $y=Arctgx$ , $y=Arcctgx$ монотонні і існують для кожного $k$ згідно теореми про існування і неперервність оберненої функції.
При $k=0$ можемо говорити про головні значення обернених тригонометричних функцій:

$y=arccosx$ з множиною значень $\left[0;\pi \right]$ ;
$y=arctgx$ з множиною значень $\left[{\frac {-\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$ ;
$y=arcctgx$ з множиною значень $\left[0;\pi \right]$ .

Графіки функцій $y=arccosx$ , $y=arctgx$ , $y=arcctgx$ зображені на малюнках.

Найпростіші тригонометричні рівняння, їх розв’язування

Найпростішими тригонометричними рівняннями ми будемо називати рівняння вигляду $\sin x=a$ , $\cos x=a$ , $tgx=a$ , $ctgx=a$ . Розглянемо, які корені мають ці рівняння.

Корені рівняння

\sin x=a

Розглянемо рівняння $\sin x=a$ .
Кожен корінь рівняння $\sin x=a$ можна розглядати як абсцису якоїсь точки перетину синусоїди $y=\sin x$ з прямою $y=a$ і, навпаки, абсциса кожної такої точки перетину є одним з коренів даного рівняння.
При $\left|a\right|>1$ синусоїда $y=\sin x$ не перетинається з прямою $y=a$ . У цьому випадку рівняння $\sin x=a$ коренів не має.
Нехай $0<a<1$ . Тоді на проміжку $0\leq x\leq \pi$ маємо дві точки перетину $A$ і $B$ .
Точка $A$ попадає і на проміжок $\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$ . Тому її абсциса дорівнює $x_{1}=arcsina$ . Що ж до точки $B$ , то її абсциса, як легко побачити з малюнка, дорівнює $x_{2}=\pi -arcsina$ . Всі інші точки перетину синусоїди $y=\sin x$ з прямою $y=a$ ми розіб’ємо на дві групи:
$...,A_{-2},A_{-1},A_{1},A_{2},...$ та $...,B_{-2},B_{-1},B_{1},B_{2},...$ .
Точки першої групи віддалені від $A$ на відстані, кратні $2\pi$ , і тому мають абсциси $arcsina+2n\pi$ , $n\in \mathbb {Z}$ . Точки другої групи віддалені від точки $B$ на відстані, кратні $2\pi$ , і тому мають абсциси $\pi -arcsina+2k\pi =-arcsina+\left(2k+1\right)\pi$ , $k\in \mathbb {Z}$ . Таким чином, рівняння $\sin x=a$ має дві групи коренів. Легко зрозуміти, що обидві ці групи можна подати однією формулою:

 $x=\left(-1\right)^{m}arcsina+m\pi$  ,  $m\in \mathbb {Z}$ (63)

До такого ж результату можна прийти і тоді, коли $-1<a<0$ . Ми не будемо докладно розбирати цей випадок, а пропонуємо зробити це самостійно.
При $a=0$ рівняння $\sin x=a$ має корені

 $x=m\pi$  ,  $m\in \mathbb {Z}$ . (64)

Такий самий результат дає і формула (63) при $a=0$ .
При $a=1$ коренями рівняння $\sin x=a$ будуть числа

 $x={\frac {\pi }{2}}+2\cdot k\pi$  ,  $k\in \mathbb {Z}$ . (65)

Формула (63) охоплює і цей випадок. Справді, поклавши в ній $a=1$ і врахувавши, що $arcsin1={\frac {\pi }{2}}$ , дістаємо:

 $\left(-1\right)^{m}arcsin1+m\pi =\left(-1\right)^{m}{\frac {\pi }{2}}+m\pi$  ,  $m\in \mathbb {Z}$ .

Якщо $m$ – парне ( $m=2k$ ), то $\left(-1\right)^{m}arcsin1+m\pi ={\frac {\pi }{2}}+2\cdot k\pi$ , $m,k\in \mathbb {Z}$ . Якщо $m$ – непарне ( $m=2k+1$ ), то $\left(-1\right)^{m}arcsin1+m\pi =-{\frac {\pi }{2}}+2\cdot k\pi ={\frac {\pi }{2}}+2\cdot k\pi$ , $m,k\in \mathbb {Z}$ . І той, і другий випадок враховується формулою (65).
Якщо $a=-1$ , то коренями рівняння $\sin x=a$ будуть числа:

 $x=-{\frac {\pi }{2}}+2\cdot k\pi$  ,  $k\in \mathbb {Z}$ . (66)

Формула (63) дає той же результат.
Формули коренів рівнянь $\cos x=a$ , $tgx=a$ , $ctgx=a$ шукаються аналогічно. Пропонуємо зробити це самостійно. Ми обмежимось тим, що занесемо корені найпростіших тригонометричних рівнянь до таблиці( $n$ – довільне ціле число):

Рівняння	Обмеження	Формули
$\sin x=a$	$\left\|a\right\|\leq 1$	$x=\left(-1\right)^{m}arcsina+m\pi$ , $m\in \mathbb {Z}$
$\cos x=a$	$\left\|a\right\|\leq 1$	$x=\pm arccosa+2\cdot m\pi$ , $m\in \mathbb {Z}$
$tgx=a$	немає	$x=arctga+m\pi$ , $m\in \mathbb {Z}$
$ctgx=a$	немає	$x=arcctga+m\pi$ , $m\in \mathbb {Z}$