Обернені тригонометричні функції. Найпростіші тригонометричні рівняння, їх розв’язування

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Обернені тригонометричні функції[ред.]

Нехай про кут відомо лише те, що його синус дорівнює :

. 

Чи можемо ми знайти цей кут? Як відомо, . Тому можливо, що . Разом з тим в силу періодичності синуса . Тому не виключена можливість, що . Взагалі, яке б не було , . Отже, шуканим кутом може бути будь-який з кутів , , , і т.д. Таким чином, за означенням свого синуса кут визначається неоднозначно.
Функція, обернена до функції , заданої на кожному з проміжків , , називається арксинусом і позначається .

Арксинус.png

Позначення від латинського arcus cuius sinus x est і означає, що у є величиною такого кута в радіанах, синус якого дорівнює . Про арксинус як функцію обернену до функції синус дає змогу говорити теорема про існування і неперервність оберненої функції. Згідно неї, функція має обернену функцію на проміжку, якщо вона неперервна і монотонна на цьому проміжку. Дійсно, функція неперервна на всій області визначення і монотонна на кожному з проміжків , . Крім того, на кожному з цих проміжків функція пробігає всю множину значень (від -1 до 1). Саме тому ми можемо говорити про функцію як обернену до функції .
Найчастіше використовують функцію при . Тоді говорять про головне значення арксинуса, яке позначають . Як відомо, графіки прямої та оберненої функції симетричні відносно прямої . Це дає змогу легко зобразити графік функції (див. малюнок)
Дамо аналогічні означення інших обернених тригонометричних функцій.
Функція, обернена до функції , заданої на кожному з проміжків , , називається арккосинусом і позначається .

Графік функції y=arccos x
Графік функції y = arctg x
Графік функції y = arcctg x

Функція, обернена до функції , заданої на кожному з проміжків , , називається арктангенсом і позначається .

Функція, обернена до функції , заданої на кожному з проміжків , , називається арккотангенсом і позначається .
Так само, як і у випадку , функції , , монотонні і існують для кожного згідно теореми про існування і неперервність оберненої функції.
При можемо говорити про головні значення обернених тригонометричних функцій:

  1. з множиною значень ;
  2. з множиною значень ;
  3. з множиною значень .

Графіки функцій , , зображені на малюнках.

Найпростіші тригонометричні рівняння, їх розв’язування[ред.]

Найпростішими тригонометричними рівняннями ми будемо називати рівняння вигляду , , , . Розглянемо, які корені мають ці рівняння.

Корені рівняння

Розглянемо рівняння .
Кожен корінь рівняння можна розглядати як абсцису якоїсь точки перетину синусоїди з прямою і, навпаки, абсциса кожної такої точки перетину є одним з коренів даного рівняння.
При синусоїда не перетинається з прямою . У цьому випадку рівняння коренів не має.
Нехай . Тоді на проміжку маємо дві точки перетину і .
Точка попадає і на проміжок . Тому її абсциса дорівнює . Що ж до точки , то її абсциса, як легко побачити з малюнка, дорівнює . Всі інші точки перетину синусоїди з прямою ми розіб’ємо на дві групи:
та .
Точки першої групи віддалені від на відстані, кратні , і тому мають абсциси , . Точки другої групи віддалені від точки на відстані, кратні , і тому мають абсциси , . Таким чином, рівняння має дві групи коренів. Легко зрозуміти, що обидві ці групи можна подати однією формулою:

 , (63)

До такого ж результату можна прийти і тоді, коли . Ми не будемо докладно розбирати цей випадок, а пропонуємо зробити це самостійно.
При рівняння має корені

 , . (64)

Такий самий результат дає і формула (63) при .
При коренями рівняння будуть числа

 , . (65)

Формула (63) охоплює і цей випадок. Справді, поклавши в ній і врахувавши, що , дістаємо:

 , .

Якщо – парне ( ), то , . Якщо – непарне ( ), то , . І той, і другий випадок враховується формулою (65).
Якщо , то коренями рівняння будуть числа:

 , . (66)

Формула (63) дає той же результат.
Формули коренів рівнянь , , шукаються аналогічно. Пропонуємо зробити це самостійно. Ми обмежимось тим, що занесемо корені найпростіших тригонометричних рівнянь до таблиці( – довільне ціле число):

Рівняння Обмеження Формули
,
,
немає ,
немає ,

Вправи[ред.]

Розв’язати рівняння.

74.

75.

76.

77.

78.

79. Розв’язати вправи 74-75 за допомогою тригонометричного кола.

80. Розв’язати вправу 76 за допомогою лінії тангенсів.

Зміст Наступна