Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних. Однорідні тригонометричні рівняння. Розв’язування вправ

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних[ред.]

Часто вдається виразити всі тригонометричні функції, які входять в рівняння, через одну і зробити заміну, яка зведе дане рівняння до квадратного.
Приклад 1. Розв’язати рівняння .
Розв’язання. Використавши основну тригонометричну тотожність, маємо: . Позначимо . Отримаємо квадратне рівняння , яке має два корені: , . Другий корінь не підходить, так як при будь-якому значенні . Розв’язуючи рівняння , знаходимо, що , .
Приклад 2. Розв’язати рівняння .
Розв’язання. Використовуючи (43), виразимо через . Отримаємо рівняння: . На множині , воно рівносильне рівнянню , або . Виконаємо заміну . Маємо: , або . Звідси , тобто . Відповідно, , .

Вправи[ред.]

Розв’язати рівняння.
81. .
82. .
83. .
84. .
85. .
86. .
87. .
88. .
89. .
90. .
91. .
92. .
93. .

Однорідні тригонометричні рівняння та рівняння, що зводяться до них[ред.]

Рівняння вигляду , де – дійсні числа і сума показників степенів при та у кожному доданку дорівнює , називається однорідним відносно та . Такі рівняння при рівносильні рівнянням . За допомогою тотожних перетворень деякі тригонометричні рівняння можна звести до однорідних.
Приклад 3. Розв’язати рівняння .
Розв’язання. Для того, щоб звести дане рівняння до однорідного, використаємо основну тригонометричну тотожність (14). Маємо: . Після зведення подібних членів отримуємо: . Розділивши обидві частини рівняння на , переходимо до еквівалентного рівняння , яке звідне до квадратного рівняння. Зробимо заміну , тоді , звідки , . Врахувавши це, маємо розв’язки:
, ,
, .
Приклад 4. Розв’язати рівняння .
Розв’язання. Перенесемо у ліву частину і поділимо обидві частини рівняння на . Маємо: , , звідси , .

Вправи[ред.]

Розв’язати рівняння:
94. .
95. .
96. .
97. .
98. .
99. .
100. .
101. .
102. .
103. .
104. .
105. .
106. .
107. .
108. .
109. .
110. .
111. .
112. .
113. Знайти розв’язки рівняння для всіх .

Зміст Наступна