Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних. Однорідні тригонометричні рівняння. Розв’язування вправ

Зміст Наступна

Тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних

Часто вдається виразити всі тригонометричні функції, які входять в рівняння, через одну і зробити заміну, яка зведе дане рівняння до квадратного.
Приклад 1. Розв’язати рівняння $\sin ^{2}x+\cos x+1=0$.
Розв’язання. Використавши основну тригонометричну тотожність, маємо: $\cos ^{2}x-\cos x-2=0$. Позначимо $y=\cos x$. Отримаємо квадратне рівняння $y^{2}-y-2=0$, яке має два корені: $y_{1}=-1$, $y_{2}=2$. Другий корінь не підходить, так як $\cos x\leq 1<2$ при будь-якому значенні $x$. Розв’язуючи рівняння $\cos x=-1$, знаходимо, що $x=\left(2n+1\right)\pi$, $n\in \mathbb {Z}$.
Приклад 2. Розв’язати рівняння $ctg2x+tgx+1=0$.
Розв’язання. Використовуючи (43), виразимо $ctg2x$ через $tgx$. Отримаємо рівняння: ${\frac {1-tg^{2}x}{2tgx}}+tgx+1=0$. На множині $tgx\neq 0$, $\cos x\neq 0$ воно рівносильне рівнянню $1-tg^{2}x+2tg^{2}x+2tgx=0$, або $tg^{2}x+2tgx+1=0$. Виконаємо заміну $y=tgx$. Маємо: $y^{2}+2y+1=0$, або $\left(y+1\right)^{2}=0$. Звідси $y=-1$, тобто $tgx=-1$. Відповідно, $x=arctg\left(-1\right)+\pi n={\frac {4n-1}{4}}\pi$, $n\in \mathbb {Z}$.

Вправи

Розв’язати рівняння.
81. $2\sin ^{2}x+\sin x-1=0$.
82. $tg^{3}x+2tg^{2}x+3tgx=0$.
83. $4\sin ^{4}x+\cos 4x=1+12\cos ^{4}x$.
84. $6\cos ^{2}x+\cos 3x=\cos x$.
85. $2\sin ^{2}x+7\cos x=5$.
86. $\cos x+tgx=0$.
87. $tg^{2}x+2tgx-3=0$.
88. $2\cos ^{2}x+5\cos x=3$.
89. $2\cos ^{2}x=\sin x$.
90. $\cos ^{2}x-1=cos\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$.
91. $2\sin ^{2}x=2+5\cos x$.
92. $\sin x+\cos 2x=2$.
93. $\cos 2x-2\sin ^{2}x=-3$.

Однорідні тригонометричні рівняння та рівняння, що зводяться до них

Рівняння вигляду $a_{0}\sin ^{n}x+a_{1}\sin ^{n-1}x\cos x+a_{2}\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x+a_{3}\sin ^{n-3}x\cos ^{3}x+...+a_{n}\cos ^{n}x=0$, де $a_{i}$ – дійсні числа і сума показників степенів при $\sin x$ та $\cos x$ у кожному доданку дорівнює $n$, називається однорідним відносно $\sin x$ та $\cos x$. Такі рівняння при $\cos x\neq 0$ рівносильні рівнянням $a_{0}tg^{n}x+a_{1}tg^{n-1}x+a_{2}tg^{n-2}x+a_{3}tg^{n-3}x+...+a_{n}=0$. За допомогою тотожних перетворень деякі тригонометричні рівняння можна звести до однорідних.
Приклад 3. Розв’язати рівняння $3\sin ^{2}x-5\sin x\cos x+8\cos ^{2}x=2$.
Розв’язання. Для того, щоб звести дане рівняння до однорідного, використаємо основну тригонометричну тотожність (14). Маємо: $3\sin ^{2}x-5\sin x\cos x+8\cos ^{2}x=2\cdot \left(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\right)$. Після зведення подібних членів отримуємо: $\sin ^{2}x-5\sin x\cos x+6\cos ^{2}x=0$. Розділивши обидві частини рівняння на $\cos ^{2}x\neq 0$, переходимо до еквівалентного рівняння $tg^{2}x-5tgx+6=0$, яке звідне до квадратного рівняння. Зробимо заміну $y=tgx$, тоді $y^{2}-5y+6=0$, звідки $y_{1}=2$, $y_{2}=3$. Врахувавши це, маємо розв’язки:
$x_{1}=arctg2+\pi n$, $n\in \mathbb {Z}$,
$x_{2}=arctg3+\pi k$, $k\in \mathbb {Z}$.
Приклад 4. Розв’язати рівняння $\sin x=\cos x$.
Розв’язання. Перенесемо $\cos x$ у ліву частину і поділимо обидві частини рівняння на $\cos x$. Маємо: $\sin x-\cos x=0$, $tgx-1=0$, звідси $x=arctg1+\pi k={\frac {\pi }{4}}+\pi k$, $k\in \mathbb {Z}$.

Вправи

Розв’язати рівняння:
94. $\cos ^{2}x-\sin x\cos x=0$.
95. $\sin x\cos x=0,5$.
96. $3\sin x-{\sqrt {3}}\cos x=0$.
97. $2\cos x-{\sqrt {2}}\sin x=0$.
98. $3\sin x+5\cos x=0$.
99. $\sin ^{2}x-\left(1+{\sqrt {3}}\right)\sin x\cos x+{\sqrt {3}}\cos ^{2}x=0$.
100. $\sin ^{2}x-4\sin x\cos x+3\cos ^{2}x=0$.
101. ${\sqrt {3}}\sin ^{2}x-4\sin x\cos x+{\sqrt {3}}\cos ^{2}x=0$.
102. $2\sin x-\sin x\cos x=0$.
103. ${\sqrt {3}}\cos x+\sin x\cos x=0$.
104. $\sin x\cos x={\frac {1}{\sqrt {3}}}\cos ^{2}x$.
105. $\cos ^{2}x-3\sin x\cos x+1=0$.
106. $\sin ^{2}x+3\cos ^{2}x-2\sin x\cos x={\frac {5-{\sqrt {3}}}{2}}$.
107. $\sin x\cos x=-0,25$.
108. $\sin x+\cos x={\sqrt {2}}$.
109. $2\sin x\cos x+5\cos ^{2}x=4$.
110. $8\sin 2x-3\cos ^{2}x=4$.
111. $\sin ^{4}x+\cos ^{4}x=\sin 2x-0,5$.
112. $\sin ^{8}x+\cos ^{8}x=\sin ^{2}2x$.
113. Знайти розв’язки рівняння $\sin ^{6}x+\cos ^{6}x=a\left(\sin ^{4}x+\cos ^{4}x\right)$ для всіх $a\in \mathbb {R}$.

Зміст Наступна