Розв’язування тригонометричних рівнянь

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Многочлени від тригонометричних функцій[ред.]

Рівняння вигляду , , , , де – многочлен вказаних аргументів, розв’язуються як алгебраїчні від вказаних аргументів з наступним розв’язком найпростіших тригонометричних рівнянь.
Приклад 1. Розв’язати рівняння .
Розв’язання. Використавши формулу скороченого множення для куба різниці, маємо , звідки , , , а тому й , .

Вправи[ред.]

Розв’язати рівняння:
114. .
115. .
116. .
117. .

Тригонометричні рівняння, що зводяться до раціональних[ред.]

Тригонометричні рівняння вигляду

,
де – раціональна функція вказаних аргументів (), за допомогою формул для тригонометричних функцій суми кутів (зокрема, формул подвійного та потрійного аргументів) можна звести до раціонального рівняння відносно аргументів , після чого це рівняння можна звести до раціонального рівняння відносно невідомої за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки (38), (40), (41) та (43), поклавши в них .

Приклад 2. Розв’язати рівняння .
Розв’язання. Позначивши , за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки запишемо рівняння у вигляді: ; коренями його будуть та . Таким чином, розв’язання рівняння зводиться до розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь та . (*)
Зробивши перевірку, переконуємось, що числа , – корені рівняння – не є коренями даного рівняння, і, відповідно, всі розв’язки вихідного рівняння знаходяться як розв’язки рівнянь (*): .

Вправи[ред.]

Розв’язати рівняння:
118. .
119. .
120. .


Рівняння вигляду
,
де – раціональна функція вказаних в дужках аргументів, може бути зведеним до рівняння відносно змінної , якщо використовувати тригонометричну тотожність
,
з якої випливає, що . Врахувавши цю рівність, розв’язуване рівняння можна звести до вигляду: . Так само рівняння вигляду заміною зводиться до рівняння .
Приклад 3. Розв’язати рівняння .
Розв’язання. Позначивши і використавши співвідношення , зводимо дане рівняння до нового: . Коренями цього рівняння будуть числа та . Таким чином, розв’язання вихідного рівняння ми звели до розв’язання сукупності двох тригонометричних рівнянь:
,
.
Домножуючи до обох частин цих рівнянь число , зводимо їх до двох більш простих рівнянь
,
,
Звідки маємо, що
,
.
За формулами синуса суми отримуємо
,
,
а тому
,
.

Вправи[ред.]

Розв’язати рівняння:
121. .
122. .
123. .

Метод додаткового кута[ред.]

Рівняння вигляду рівносильні найпростішому тригонометричному рівнянню , де знаходиться з системи: .
Приклад 3. Розв’язати рівняння .
Розв’язання. Так як , то дане рівняння тотожно рівне рівнянню , де визначається рівняннями . Так як і більше нуля, то за можна взяти і корінь даного рівняння матиме вигляд: .

Вправи[ред.]

Розв’язати рівняння:
124. .
125. .
126. .
127. .

Зниження степеня[ред.]

Спрощення деяких тригонометричних рівнянь іноді може бути досягнуте за допомогою зниження їх степеня. Якщо показники степенів синусів та косинусів, які містяться в рівнянні, парні, то зниження степеня можна виконати за формулами половинного аргумента.
Приклад 4. Розв’язати рівняння .
Розв’язання. Використовуючи формули половинного кута, дане рівняння можна представити у вигляді . Позначивши , представимо дане рівняння у вигляді: . Розкриваючи дужки та зводячи подібні доданки, приходимо до біквадратного рівняння , єдиний дійсний корінь якого . Повертаючись до початкової змінної, отримуємо .

Вправи[ред.]

Розв’язати рівняння:
128. .
129. . Дослідоти розв'язок.
130. .
131. .


Зміст Наступна