Розв’язування тригонометричних рівнянь

Многочлени від тригонометричних функцій

Рівняння вигляду $P\left(\sin x\right)=0$, $P\left(\cos x\right)=0$, $P\left(tgx\right)=0$, $P\left(ctgx\right)=0$, де $P$ – многочлен вказаних аргументів, розв’язуються як алгебраїчні від вказаних аргументів з наступним розв’язком найпростіших тригонометричних рівнянь.
Приклад 1. Розв’язати рівняння $\sin ^{3}2x-3\sin ^{2}2x+3\sin 2x-1=0$.
Розв’язання. Використавши формулу скороченого множення для куба різниці, маємо $\left(\sin 2x-1\right)^{3}=0$, звідки $\sin 2x=1$, $2x=\left(-1\right)^{k}\arcsin 1+\pi k={\frac {\pi }{2}}+2\pi k$, $k\in \mathbb {Z}$, а тому й $x={\frac {\pi }{4}}+\pi k$, $k\in \mathbb {Z}$.

Вправи

Розв’язати рівняння:
114. $tg^{3}x+tg^{2}x-3tgx=3$.
115. $\cos x={\sqrt {2}}\sin ^{2}x$.
116. $\cos 2x\sin x=\cos 2x$.
117. ${\sqrt {{\frac {1}{16}}+\cos ^{4}x-{\frac {1}{2}}\cos ^{2}x}}+{\sqrt {{\frac {9}{16}}+\cos ^{4}x-{\frac {3}{2}}\cos ^{2}x}}={\frac {1}{2}}$.

Тригонометричні рівняння, що зводяться до раціональних

Тригонометричні рівняння вигляду

$R\left(\sin kx,\cos nx,tgkx,ctglx\right)=0$,
де $R$ – раціональна функція вказаних аргументів ($k,n,k,l\in \mathbb {N}$), за допомогою формул для тригонометричних функцій суми кутів (зокрема, формул подвійного та потрійного аргументів) можна звести до раціонального рівняння відносно аргументів $\sin x,\cos x,tgx,ctgx$, після чого це рівняння можна звести до раціонального рівняння відносно невідомої $t=tg{\frac {x}{2}}$ за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки (38), (40), (41) та (43), поклавши в них $x=2\alpha$.

Приклад 2. Розв’язати рівняння $\left(\cos nx-\sin x\right)\left(2tgx-{\frac {1}{\cos x}}\right)+2=0$.
Розв’язання. Позначивши $t=tg{\frac {x}{2}}$, за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки запишемо рівняння у вигляді: ${\frac {3t^{4}+6t^{3}+8t^{2}-2t-3}{\left(1+t^{2}\right)\left(1-t^{2}\right)}}=0$; коренями його будуть $t_{1}={\frac {1}{\sqrt {3}}}$ та $t_{2}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$. Таким чином, розв’язання рівняння зводиться до розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь $tg{\frac {x}{2}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}$ та $tg{\frac {x}{2}}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$. (*)
Зробивши перевірку, переконуємось, що числа $\pi n,n\in \mathbb {Z}$, – корені рівняння $cos{\frac {x}{2}}=0$ – не є коренями даного рівняння, і, відповідно, всі розв’язки вихідного рівняння знаходяться як розв’язки рівнянь (*): $x=\pm {\frac {\pi }{3}}+2\pi k,k\in \mathbb {Z}$.

Вправи

Розв’язати рівняння:
118. $\sin x+ctg{\frac {x}{2}}=2$.
119. $ctg\left({\frac {\pi }{4}}-x\right)=5tg2x+7$.
120. $3\sin 4x=\left(\cos 2x-1\right)tgx$.

Рівняння вигляду
$R\left(\sin x+\cos x,\sin x\cdot \cos x\right)=0$,
де $R$ – раціональна функція вказаних в дужках аргументів, може бути зведеним до рівняння відносно змінної $t=\sin x+\cos x$, якщо використовувати тригонометричну тотожність
$\left(\sin x+\cos x\right)^{2}=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x+2\sin x\cos x={14}=1+2\sin x\cos x$,
з якої випливає, що $\sin x\cos x={\frac {t^{2}-1}{2}}$. Врахувавши цю рівність, розв’язуване рівняння можна звести до вигляду: $R\left(t,{\frac {t^{2}-1}{2}}\right)=0$. Так само рівняння вигляду $R\left(\sin x-\cos x,\sin x\cdot \cos x\right)=0$ заміною $t=\sin x-\cos x$ зводиться до рівняння $R\left(t,{\frac {1-t^{2}}{2}}\right)=0$.
Приклад 3. Розв’язати рівняння $\sin x+\cos x-2{\sqrt {2}}\sin x\cos x=0$.
Розв’язання. Позначивши $t=\sin x+\cos x$ і використавши співвідношення $\sin x\cos x={\frac {t^{2}-1}{2}}$, зводимо дане рівняння до нового: ${\sqrt {2}}t^{2}-t-{\sqrt {2}}=0$. Коренями цього рівняння будуть числа $t_{1}={\sqrt {2}}$ та $t_{2}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}$. Таким чином, розв’язання вихідного рівняння ми звели до розв’язання сукупності двох тригонометричних рівнянь:
$\sin x+\cos x={\sqrt {2}}$,
$\sin x+\cos x=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}$.
Домножуючи до обох частин цих рівнянь число ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$, зводимо їх до двох більш простих рівнянь
${\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin x+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cos x=1$,
${\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin x+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cos x=-{\frac {1}{2}}$,
Звідки маємо, що
$\cos {\frac {\pi }{4}}\sin x+\sin {\frac {\pi }{4}}\cos x=1$,
$\cos {\frac {\pi }{4}}\sin x+\sin {\frac {\pi }{4}}\cos x=-{\frac {1}{2}}$.
За формулами синуса суми отримуємо
$\sin \left(x+{\frac {\pi }{4}}\right)=1$,
$\sin \left(x+{\frac {\pi }{4}}\right)=-{\frac {1}{2}}$,
а тому
$x={\frac {\pi }{4}}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z}$,
$x=\left(-1\right)^{n+1}{\frac {\pi }{6}}-{\frac {\pi }{4}}+n\pi ,n\in \mathbb {Z}$.

Вправи

Розв’язати рівняння:
121. $5\left(\sin x+\cos x\right)+\sin 3x-\cos 3x=2{\sqrt {2}}\left(2+\sin 2x\right)$.
122. $\sin x+\cos x+\sin x\cos x=1$.
123. $\sin x+\cos x-2\sin x\cos x=1$.

Метод додаткового кута

Рівняння вигляду $a\cdot \sin x+b\cdot \cos x=c$ рівносильні найпростішому тригонометричному рівнянню $\sin \left(x+\phi \right)={\frac {c}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$, де $\phi$ знаходиться з системи: ${\begin{cases}\sin \phi ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\\\cos \phi ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{cases}}$.
Приклад 3. Розв’язати рівняння $3\sin x+4\cos x=5$.
Розв’язання. Так як ${\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5$, то дане рівняння тотожно рівне рівнянню $\sin \left(x+\phi \right)=1$, де $\phi$ визначається рівняннями ${\begin{cases}\sin \phi ={\frac {4}{5}},\\\cos \phi ={\frac {3}{5}}\end{cases}}$. Так як $\sin \phi$ і $\cos \phi$ більше нуля, то за $\phi$ можна взяти $\phi =\arcsin {\frac {4}{5}}$ і корінь даного рівняння матиме вигляд: $x=-\arcsin {\frac {4}{5}}+{\frac {\pi }{2}}+2\pi n,n\in \mathbb {Z}$.

Вправи

Розв’язати рівняння:
124. $\sin 8x-\cos 6x={\sqrt {3}}\left(\sin 8x+\cos 6x\right)$.
125. $\sin 11x+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\sin 7x+{\frac {1}{2}}\cos 7x=0$.
126. $\sin 10x+\cos 10x={\sqrt {2}}\sin 15x$.
127. $4\sin 3x+3\cos 3x=5,2$.

Зниження степеня

Спрощення деяких тригонометричних рівнянь іноді може бути досягнуте за допомогою зниження їх степеня. Якщо показники степенів синусів та косинусів, які містяться в рівнянні, парні, то зниження степеня можна виконати за формулами половинного аргумента.
Приклад 4. Розв’язати рівняння $\sin ^{10}x+\cos ^{10}x={\frac {29}{16}}\cos ^{4}2x$.
Розв’язання. Використовуючи формули половинного кута, дане рівняння можна представити у вигляді $\left({\frac {1-\cos 2x}{2}}\right)^{5}+\left({\frac {1+\cos 2x}{2}}\right)^{5}={\frac {29}{16}}\cos ^{4}2x$. Позначивши $\cos 2x=t$, представимо дане рівняння у вигляді: $\left({\frac {1-t}{2}}\right)^{5}+\left({\frac {1+t}{2}}\right)^{5}={\frac {29}{16}}t^{4}$. Розкриваючи дужки та зводячи подібні доданки, приходимо до біквадратного рівняння $24t^{4}-10t^{2}-1=0$, єдиний дійсний корінь якого $t^{2}={\frac {1}{2}}$. Повертаючись до початкової змінної, отримуємо $\cos ^{2}2x={\frac {1}{2}}\Rightarrow 1+\cos 4x=1\Rightarrow \cos 4x=0\Leftrightarrow x={\frac {\pi }{4}}+{\frac {k\pi }{4}},k\in \mathbb {Z}$.

Вправи

Розв’язати рівняння:
128. $\sin ^{2}6x+8\sin ^{2}3x=0$.
129. $\sin ^{2}x+a\sin ^{2}2x=\sin {\frac {\pi }{6}}$. Дослідити розв'язок.
130. $\sin ^{8}x+\cos ^{8}x={\frac {17}{32}}$.
131. $\cos 2x+4\sin ^{4}x=8\cos ^{6}x$.

Зміст Наступна