Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність тригонометричних функцій. Формули зведення: відмінності між версіями
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 11: | Рядок 11: | ||
''Розв’язання.''Враховуючи, що <math>tg(- \phi) = -tg \phi</math> і <math>tg \frac{ \pi}{3} = \sqrt{3}</math>, отримаємо, що <math>tg(- \phi) = -\sqrt{3}</math>. |
''Розв’язання.''Враховуючи, що <math>tg(- \phi) = -tg \phi</math> і <math>tg \frac{ \pi}{3} = \sqrt{3}</math>, отримаємо, що <math>tg(- \phi) = -\sqrt{3}</math>. |
||
===Вправи=== |
===Вправи=== |
||
18. Обчислити значення синуса кута <math>-\frac{\pi}{3}</math>. |
18. Обчислити значення синуса кута <math>-\frac{\pi}{3}</math>.<br> |
||
19. Обчислити значення косинуса кута <math>-\frac{\pi}{6}</math>. |
19. Обчислити значення косинуса кута <math>-\frac{\pi}{6}</math>. |
||
==Періодичність тригонометричних функцій== |
==Періодичність тригонометричних функцій== |
Версія за 13:52, 31 грудня 2018
Парність і непарність тригонометричних функцій
Надамо означення парної та непарної функцій. Нехай задана на симетричній множині , тобто, якщо , то й .
Парною називається функція , якщо для будь-якого з області визначення функції виконується співвідношення:
. (17)
Непарною називається функція , якщо для будь-якого з області визначення функції виконується співвідношення:
. (18)
Функція, для якої не виконуються співвідношення (17) та (18), називається ні парною, ні непарною.
Дослідимо на парність та непарність тригонометричні функції. Кути і утворюються при повороті променя в двох взаємно протилежних напрямках(за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки). Тому кінцеві сторони та цих кутів симетричні відносно осі абсцис. Координати одиничних векторів та задовольняють співвідношення , . Тому , . Отже, синус є непарною функцією, а косинус – парною. Далі маємо: , . Тому тангенс і котангенс є непарними функціями.
Приклад 1. Обчислити значення тангенса кута .
Розв’язання.Враховуючи, що і , отримаємо, що .
Вправи
18. Обчислити значення синуса кута .
19. Обчислити значення косинуса кута .
Періодичність тригонометричних функцій
Введемо означення періодичної функції.
Нехай задано функцію , . Функція називається періодичною, якщо разом з довільним одночасно і , а також , де . Число називається періодом функції .
Зрозуміло, що при такому означенні будь яке число , теж є періодом функції . Дійсно,
.
Тому надалі, говорячи про період функції, ми матимемо на увазі найменший додатній період функції.
Дослідимо на періодичність функції та . Розглянемо тригонометричне коло та одиничний вектор , який утворює з віссю абсцис кут . Якщо зробити повний оберт вектора навколо початку координат проти годинникової стрілки, то дістанемо кут . Але вектор при цьому займе первісне положення, а тому його координати і не зміняться. Отже, , .
При повних обертах вектора проти годинникової стрілки утвориться кут , , а за годинниковою стрілкою – кут , . У кожному з цих випадків координати і вектора не змінюються, а тому , , .