Алгебраїчні рівняння/Повні квадратні рівняння

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Повне квадратне рівняння - це рівняння вигляду

Формули коренів рівняння[ред.]

Спочатку ми розв'язуватимемо такі рівняння методом виділення квадратного двочлена.

Приклад 1[ред.]

Розв'язати рівняння:

Розв'язання[ред.]

Згадаємо одну з формул скороченого множення: Якщо до двочлена додамо 4, то отримаємо квадрат двочлена Тому дане рівняння рівносильне рівнянню ,

або

Звідси

або

Відповідь.

Тепер розв'яжемо цим же ж методом рівняння

Спочатку помножимо усі члени лівої частини рівняння на

Тепер додамо і віднімемо (бо ):

Тепер розглянемо наш результат.

Вираз у правій частині рівняння () називають дискримінантом та позначають великою літерою D.

D < 0[ред.]

Якщо дискримінант менший від нуля, то рівняння не має розв'язку. Бо відомо, що квадрат (у нашому випадку - це )не може бути від'ємним числом.

Відповідь. Розв'язків немає.

D = 0[ред.]

Тоді рівняння має вигляд

Розв'яжемо його.

Відповідь.

D > 0[ред.]

Рівняння виглядатиме як рівняння . Розв'яжемо і його.

Виразами та ми будемо користуватись досить часто при розв'язанні квадратних рівняння.

Теорема Вієта[ред.]

Поділимо рівняння на : вийде

Зробимо заміну:

Отримаємо зведене квадратне рівняння

Запишемо формулу, за якою знайдемо корені рівняння (нагадаємо: перший коефіцієнт дорівнює одиниці, другий - p, а вільний член - q):

Тепер за допомогою цих формул ми доведемо теорему Вієта.

Теорема (Вієта)[ред.]

Сума коренів зведеного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів - вільному членові.

Доведення[ред.]

Додамо та перемножимо корені.

Отже, Щ.Т.Д.

До цієї теореми є обернена теорема, яку ми теж доведемо.

Теорема (обернена до теореми Вієта)[ред.]

Якщо сума і добуток чисел m і n дорівнюють відповідно -p і q, то m і n - корені рівняння

Доведення[ред.]

Зробимо у рівнянні заміну:

Отримаємо:

Зробимо підстановку:

Отримаємо:

Отже, є коренем даного рівняння.

Зробимо іншу підстановку: .

З цього випливає, що й є коренем рівняння. Щ.Т.Д.