Алгебраїчні рівняння/Повні квадратні рівняння

Повне квадратне рівняння — це рівняння вигляду

$ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0,b\neq 0,c\neq 0).$

Формули коренів рівняння

Спочатку ми розв'язуватимемо такі рівняння методом виділення квадратного двочлена.

Приклад 1

Розв'язати рівняння: $x^{2}+4x-5=0.$

Розв'язання

Згадаємо одну з формул скороченого множення: $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.$ Якщо до двочлена $x^{2}+4x$ додамо 4, то отримаємо квадрат двочлена $x+2.$ Тому дане рівняння рівносильне рівнянню $x^{2}+4x+4-4-5=0$,

або $(x+2)^{2}-9=0;$

$(x+2)^{2}=9.$

Звідси $x+2=3,$ $x=1,$

або $x+2=-3,$ $x=-5.$

Відповідь. $x_{1}=1;x_{2}=-5.$

Тепер розв'яжемо цим же ж методом рівняння

$ax^{2}+bx+c=0.$

Спочатку помножимо усі члени лівої частини рівняння на $4a:$

$4(ax)^{2}+4axb+4ac=0.$ Тепер додамо і віднімемо $b^{2}$(бо $(2ax+b)^{2}=4(ax)^{2}+2axb+b^{a}$):

$(2ax)^{2}+4axb+4ac+b^{2}-b^{2}=0;$

$(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac.(*)$

Тепер розглянемо наш результат.

Вираз у правій частині рівняння ($b^{2}-4ac$) називають дискримінантом та позначають великою літерою D.

D < 0

Якщо дискримінант менший від нуля, то рівняння не має розв'язку. Бо відомо, що квадрат (у нашому випадку - це $(2ax+b)^{2}$)не може бути від'ємним числом.

Відповідь. Розв'язків немає.

D = 0

Тоді рівняння має вигляд $(2ax+b)^{2}=0.$

Розв'яжемо його.

$2ax+b=0$

$2ax=-b$

$x=-{\frac {b}{2a}}(1)$

Відповідь. $x=-{\frac {b}{2a}}$

D > 0

Рівняння виглядатиме як рівняння $(*)$. Розв'яжемо і його.

$(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac;$

$2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}};$

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}(2)$

Виразами $(1)$ та $(2)$ ми будемо користуватись досить часто при розв'язанні квадратних рівняння.

Теорема Вієта

Поділимо рівняння $ax^{2}+bx+c=0$ на $a$: вийде

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.$

Зробимо заміну: $p={\frac {b}{a}};q={\frac {c}{a}}.$

Отримаємо зведене квадратне рівняння $x^{2}+px+q=0.$

Запишемо формулу, за якою знайдемо корені рівняння (нагадаємо: перший коефіцієнт дорівнює одиниці, другий - p, а вільний член - q):

$x_{1,2}={\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}.$

Тепер за допомогою цих формул ми доведемо теорему Вієта.

Теорема (Вієта)

Сума коренів зведеного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів - вільному членові.

Доведення

Додамо та перемножимо корені.

$x_{1}+x_{2}={\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}+{\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}={\frac {-2p}{2}}=-p;$

$x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}\cdot {\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}=$

$={\frac {(-p)^{2}-({\sqrt {p^{2}-4q}})^{2}}{4}}={\frac {p^{2}-(p^{2}-4q)}{4}}={\frac {4q}{4}}=q.$

Отже, $x_{1}+x_{2}=-p;x_{1}\cdot x_{2}=q.$ Щ.Т.Д.

До цієї теореми є обернена теорема, яку ми теж доведемо.

Теорема (обернена до теореми Вієта)

Якщо сума і добуток чисел m і n дорівнюють відповідно -p і q, то m і n - корені рівняння $x^{2}+px+q=0.$

Доведення

Зробимо у рівнянні заміну: $p=-(m+n);q=mn.$

Отримаємо: $x^{2}-(m+n)x+mn=0.$

Зробимо підстановку: $x=m.$

Отримаємо:

$m^{2}-(m+n)m+mn=0;$

$m^{2}-m^{2}-mn+mn=0;$

$0=0.$

Отже, $m$ є коренем даного рівняння.

Зробимо іншу підстановку: $x=n$.

$n^{2}-(m+n)n+mn=0;$

$n^{2}-mn-n^{2}+n^{2}=0;$

$0=0.$

З цього випливає, що й $n$ є коренем рівняння. Щ.Т.Д.