Аналітична геометрія/Прямокутні декартові координати на площині/Визначення координат на площині

Прямокутна декартова система координат

Прямокутна декартова система координат на площині

Прямокутна декартова система координат (ПДСК) вводиться на площині наступним чином. (Див. рис. праворуч.) Проведемо на площині дві прямі, які при перетині утворюють прямий кут. Точка перетину прямих — точка О називається початком координат. Одну пряму називають віссю Ох. Точка О ділить вісь Ох на два промені, один вважають додатним напрямком, інший від'ємним. Додатний напрямок позначають стрілочкою. Аналогічним чином, друга пряма називається віссю Oy і має додатній напрямок.

Координати точки

Визначення координат точки в ПДСК

Для довільної точки А на площині координати — пара чисел, визначаються наступним чином. (Див. рис. ліворуч.) Через точку А проводимо пряму паралельну вісі Oy, яка перетинає вісь Ох в точці А_x. Будемо казати, що х-сова («іксова») координата точки А, це число, яке дорівнює по модулю відстані між точками O та А_x і буде додатнім числом, якщо точка А_x належить додатному променю вісі Ох, якщо А_x належить від'ємному променю, то буде від'ємним числом. На рисунку ліворуч А_x=3.

Аналогічним чином визначається y-кова («ігрикова») координата точки А — А_y. На рисунку ліворуч А_y=2.

Таким чином, координати точки А, це пара чисел (А_x,А_y). Число А_x називається абсцисою, а А_y відповідно ординатою точки А.

Координати точки О — початку координат записуються так: О(0,0).

Квадранти

В ПДСК площина ділиться на 4 квадранти

В ПДСК площина ділиться вісями Ох та Oy на 4 частини. Кожна частина називається квадрантом. Квадранти нумеруються числами I, II, III, IV.

В залежності від знаків координат точки, вона належить відповідному квадранту:

Квадрант	Знак x	Знак y
I	$+$	$+$
II	$-$	$+$
III	$-$	$-$
IV	$+$	$-$

Очевидно, що у межах одного квадранту знаки обох декартових координат довільної точки зберігаються.

Однозначність координат

З означення системи координат, зрозуміло, що дві різні точки на площині будуть мати різні координати. Вірним буде і зворотне твердження.

Теорема. Для довільної пари дійсних чисел x та y існує, причому єдина, точка A на площині Oxy, для якої x буде абсцисою, а y - ординатою.

Доведення.  

Визначення координат точки

Нехай задано пари дійсних чисел x та y. Для визначеності будемо вважати, що x>0 та y<0. На вісі Ox на додатньому промені на відстані x від початку координат позначимо точку M_x (див. мал.). На вісі Oy на від'ємному промені на відстані $|$ y $|$ від початку координат позначимо точку M_y. Через точки M_x та M_y проведемо прямі перпендикулярні до вісей Ox та Oy відповідно. Ці прямі перетинаються у шуканій точці M з ординатою x та абсцисою y. Очевидно, що точка буде єдиною, так як прямі перетинаються лише в одній точці.

Вправи

Розв'яжіть рівняння і побудуйте графіки рівнянь на площині: 6x=2y+3; x=2(y+2); x=ay+1 (при параметрі а=0 та а=!0); y=2/3x-4.