Математичний аналіз/Вступ до аналізу

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Основні означення та позначення[ред.]

Спочатку визначимо символи, які будемо використовувати на протязі усього курсу математичного аналізу:


- квантор загальності, вживається для заміни слів “для будь-якого”;

- квантор існування, вживається для заміни слів “існує”;

- „існує єдиний”;

- символ імплікації, запис означає: “якщо , то ”;

- символ еквівалентності, запис , означає одночасне виконання і , або для того, щоб необхідно та достатньо, щоб  ;

- символ диз’юнкції, запис , означає або ( не в строгому розумінні);

- символ кон'юнкції, запис , означає і ;

( ) - дорівнює за означенням (визначається за означенням);

- множина натуральних чисел;

- множина цілих чисел;

- множина раціональних чисел;

- множина дійсних чисел;

- множина комплексних чисел;

( ) - додавання до значків


Більшості з нас добре відомий „парадокс Рассела”, що пов’язаний як раз з множинами. Нагадаємо його: розглянемо множину усіх множин. Нехай тоді для множини запис означає, що не містить себе в якості елемента. Далі розглянемо сукупність . Якщо - множина, то істинно або , або його заперечення. Але це суперечить побудові сукупності . Дійсно, якщо - вірно, тобто не містить себе в якості елемента, то воно повинно міститись у , згідно визначенню сукупності , а тому є вірним також і заперечення . Таким чином ми одержали суперечність, точніше парадокс. До цього парадоксу призводить наївне визначення поняття множини, як сукупність будь-чого. В сучасний математиці фундаментальне поняття множини піддається ретельному аналізу, але ми углиблятися у нього не будемо. В існуючих математичних теоріях множина визначається як математичний об’єкт, що має відповідний набір властивостей, описання цих властивостей складає аксіоматику теорії множин. Ядром аксіоматики теорії множин виступає правила, за якими можна з множин будувати нові множини. Це дозволяє уникнути суперечностей, що можуть виникнути, а також забезпечити відповідно свободу оперування поняттям множина. Є декілька різних аксіоматик, але усі вони заперечують існування множини усіх підмножин, а також, множина усіх підмножин деякої множини є цілком слушною множиною.


Поняття функції[ред.]

Під будемо позначати впорядковану пару, основною (визначальною) властивістю якої є: . Елемент при цьому називається першою координатою (компонентою), а елемент - другою. Аналогічно визначається кортеж , що складається з координат.

Декартовим добутком множин та називається множина

.

Так само декартовим добутком множин називається множина . Якщо множини співпадають ( ), то їх декартів добуток позначається як ( ).


Множина називається бінарним відношенням між елементами множин та , якщо .


Упорядкована трійка множин називається відображенням (або функцією) з множини в множину , якщо є функціональним бінарним відношенням між елементами множин та . При цьому множина називається областю відправлення, - областю прибуття, а - графіком відображення.


Перша (друга) проекція графіка відображення називається областю або множиною визначення (областю або множиною значень) відображення та позначається .

Упорядковані простори[ред.]

Числові послідовності[ред.]

Теорема 5. (Збіжність неспадної послідовності).[ред.]

Нехай послідовність неспадна і . Тоді .

Наслідок 1. Зв’язок між нижньою межею та границею послідовності.[ред.]

Наслідок 2. теорема Вейєрштрасса.[ред.]

Кожна монотонна і обмежена послідовність має скінчену границю.

Підпослідовності[ред.]

Критерій Коші, теореми Коші та Штольца[ред.]