Середня арифметична кривина
[ред.]
Усереднюючи формулу (1) в декартовій системі координат, маємо:
![{\displaystyle (3)\qquad <\mathbf {k} >={\tilde {\mathbf {b} }}_{ij}<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92868e2e5caede5941fa242f4f1188fca48b584)
Якщо
, то середнє значення добутку
дорівнюватиме нулю, оскільки при фіксованій координаті
, координата
(на одиничній сфері) в однаковій мірі набуває додатніх і від'ємних значень. Якщо ж
, то при всіх індексах
середнє значення довутку дорівнює одному й тому ж числу:
(в цій формулі нема додавання по індексах). Тепер ми можемо обчислити формулу (3):
![{\displaystyle (4)\qquad <\mathbf {k} >={\tilde {\mathbf {b} }}_{ij}\alpha \delta ^{ij}=\alpha {\tilde {\mathbf {b} }}_{ij}{\tilde {g}}^{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5d8375f973168c4444687ba23c7a2b517408be)
Постійну
знаходимо, взявши до уваги, що вектор
одиничний (формула (2)):
![{\displaystyle (5)\qquad {\tilde {g}}_{ij}<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}>=\delta _{ij}\alpha \delta ^{ij}=n\alpha =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b22263d35987a681b10aa5ba7f35e921e6c4667)
![{\displaystyle (6)\qquad \alpha ={1 \over n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aca0491fce5cec097296caff71bbb8ca3ef98ba)
Тепер, враховуючи інваріантність (відносно заміни координат) тензорної операції згортки по індексам, маємо середню арифметичну кривину многовида:
![{\displaystyle (7)\qquad \mathbf {H} =<\mathbf {k} >={1 \over n}{\tilde {g}}^{ij}{\tilde {\mathbf {b} }}_{ij}={1 \over n}g^{ij}\mathbf {b} _{ij}={1 \over n}\mathbf {b} _{i}^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6043b0848cc156d9f579d249ec1059d5fe9c9afc)
Середня квадратична кривина
[ред.]
Піднесемо вираз (1) до квадрата, при цьому зробимо заміну індексів, щоб не повторювались, і результат усереднимо:
![{\displaystyle (8)\qquad <\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} >=<\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}\cdot \mathbf {b} _{kl}\tau ^{k}\tau ^{l}>=(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})<\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12fad9488b595a865701aa80fc82a06e32e9fd3)
Обчислення робимо в спеціальній (декартовій) системі координат. Якщо якийсь індекс
входить в добуток
непарну кількість разів (один раз або три рази), то при усередненні (як і раніше) ми одержимо нуль. Маємо дві серії ненульових довутків, які ми позначимо буквами
:
![{\displaystyle (9)\qquad \beta =<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{i}>=<({\tilde {\tau }}^{i})^{4}>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b17da8d168184e8119f0c5f85bf3d6d7181f9d)
![{\displaystyle (10)\qquad \gamma =<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}{\tilde {\tau }}^{j}>=<({\tilde {\tau }}^{i})^{2}({\tilde {\tau }}^{j})^{2}>,\qquad (i\neq j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2cbf682ecdc88ce76a66770da66366025593da8)
Ми можемо встановити зв'язок між
і
, помітивши, що
є усередненням четвертої степені від проекції точок одиничної сфери на одну з координатних осей. Але сфера є симетричною фігурою стосовно поворотів, тому ця властивість буде і щодо проекції на будь-яку іншу пряму, що проходить через початок координат.
Знайдемо проекцію точки з координатами
на бісектрису кута між двома (одиничними і ортогональними) напрямними векторами осей координат
. Напрямний вектор цієї бісектриси дорівнює:
![{\displaystyle (11)\qquad {\tilde {\mathbf {n} }}={{\tilde {\mathbf {r} }}_{i}+{\tilde {\mathbf {r} }}_{j} \over {|{\tilde {\mathbf {r} }}_{i}+{\tilde {\mathbf {r} }}_{j}|}}={1 \over {\sqrt {2}}}({\tilde {\mathbf {r} }}_{i}+{\tilde {\mathbf {r} }}_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3fb75ad65bf4e5e1ec8dd2033ed6d3f2b345ea3)
Звідси вже легко обчислити проекцію (позначимо буквою
) точки одиничної сфери
на цю бісектрису:
![{\displaystyle (12)\qquad \xi ={\tilde {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}={1 \over {\sqrt {2}}}({\tilde {\tau }}^{i}+{\tilde {\tau }}^{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f672e53a796c1e200a97c7d2f3dac56c3875d37)
Середнє четвертої степені проекції
також дорівнює
:
![{\displaystyle (13)\qquad \beta =<\xi ^{4}>={1 \over 4}<({\tilde {\tau }}^{i}+{\tilde {\tau }}^{j})^{4}>=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1d5ae7eb40e30d0fd9d52bb3ad2478fd4321da)
![{\displaystyle ={1 \over 4}{\big (}<({\tilde {\tau }}^{i})^{4}>+4<({\tilde {\tau }}^{i})^{3}{\tilde {\tau }}^{j}>+6<({\tilde {\tau }}^{i})^{2}({\tilde {\tau }}^{j})^{2}>+4<{\tilde {\tau }}^{i}({\tilde {\tau }}^{j})^{3}>+<({\tilde {\tau }}^{j})^{4}>{\big )}={1 \over 4}(\beta +6\gamma +\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550319899d1bbbe3f9aae0edfb5e5f8a77bd0bf4)
З останньої рівності знаходимо:
![{\displaystyle (14)\qquad \beta =3\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde1262afa9fb3f23ae7d548271e4680ab66dc6c)
Враховуючи (9), (10), (14), а також рівність нулю усереднень з непарними степенями, ми можемо записати у нашій спеціальній системі координат:
![{\displaystyle (15)\qquad <{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}{\tilde {\tau }}^{k}{\tilde {\tau }}^{l}>=\gamma (\delta ^{ij}\delta ^{kl}+\delta ^{ik}\delta ^{lj}+\delta ^{il}\delta ^{jk})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5f140d297bea878e267b717c97d78aed7f0966)
В останній сумі в дужках індекс
лишається на місці, а індекси
— циклічно переставляються.
Оскільки середнє значення тензорних величин є тензором, то в довільній системі координат маємо:
![{\displaystyle (16)\qquad <\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}>=\gamma (g^{ij}g^{kl}+g^{ik}g^{lj}+g^{il}g^{jk})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd50c89c6598376396778045ec94dbc16458e3a)
Знайдемо тепер коефіцієнт
, згорнувши рівняння (16) по індексам (
), (
). З одного боку рівняння:
![{\displaystyle (17)\qquad <g_{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}\;g_{kl}\tau ^{k}\tau ^{l}>=<1\cdot 1>=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc8401c769494c32dcbf472217ff12fb87ec357)
З іншого боку рівняння (16), враховуючи перші дві формули із статті Прості обчислення диференціальної геометрії:
![{\displaystyle (18)\qquad g_{ij}g_{kl}\gamma (g^{ij}g^{kl}+g^{ik}g^{lj}+g^{il}g^{jk})=\gamma {\big (}(g_{ij}g^{ij})(g_{kl}g^{kl})+(g_{ij}g^{jl}g_{lk}g^{ki})+(g_{ij}g^{jk}g_{kl}g^{li}){\big )}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12f4fdd439321e84cfe380e518ea81a85fbf661)
![{\displaystyle =\gamma (n\cdot n+n+n)=\gamma n(n+2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72313b409f665634a04ccb4068ce0c2c9aab9a69)
Отже знаходимо:
![{\displaystyle (19)\qquad \gamma ={1 \over n(n+2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e6596053c0f539ce4c551054ed6dd17365cd3b)
Зібравши до купи рівняння (8), (16) і (19), обчислюємо:
![{\displaystyle (20)\qquad <k^{2}>={1 \over n(n+2)}((\mathbf {b} _{i}^{i})^{2}+2(\mathbf {b} _{i}^{j}\cdot \mathbf {b} _{j}^{i}))={{3n^{2}<\mathbf {k} >^{2}-2R} \over n(n+2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd2fa410db0cbe816e980ded02c585caaf12075)
В останній формулі буквою
позначено скалярну внутрішню кривину:
![{\displaystyle R=(\mathbf {b} _{i}^{i})^{2}-(\mathbf {b} _{i}^{j}\cdot \mathbf {b} _{j}^{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae5b7cb45fc152d01e7ff490938d44c79c7cde9)