Середня кривина многовида у точці

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до: навігація, пошук

Середня арифметична кривина[ред.]

Усереднюючи формулу (1) в декартовій системі координат, маємо:

Якщо , то середнє значення добутку дорівнюватиме нулю, оскільки при фіксованій координаті , координата (на одиничній сфері) в однаковій мірі набуває додатніх і від'ємних значень. Якщо ж , то при всіх індексах середнє значення довутку дорівнює одному й тому ж числу: (в цій формулі нема додавання по індексах). Тепер ми можемо обчислити формулу (3):

Постійну знаходимо, взявши до уваги, що вектор одиничний (формула (2)):

Тепер, враховуючи інваріантність (відносно заміни координат) тензорної операції згортки по індексам, маємо середню арифметичну кривину многовида:

Середня квадратична кривина[ред.]

Піднесемо вираз (1) до квадрата, при цьому зробимо заміну індексів, щоб не повторювались, і результат усереднимо:

Обчислення робимо в спеціальній (декартовій) системі координат. Якщо якийсь індекс входить в добуток непарну кількість разів (один раз або три рази), то при усередненні (як і раніше) ми одержимо нуль. Маємо дві серії ненульових довутків, які ми позначимо буквами :

Ми можемо встановити зв'язок між і , помітивши, що є усередненням четвертої степені від проекції точок одиничної сфери на одну з координатних осей. Але сфера є симетричною фігурою стосовно поворотів, тому ця властивість буде і щодо проекції на будь-яку іншу пряму, що проходить через початок координат.
Знайдемо проекцію точки з координатами на бісектрису кута між двома (одиничними і ортогональними) напрямними векторами осей координат . Напрямний вектор цієї бісектриси дорівнює:

Звідси вже легко обчислити проекцію (позначимо буквою ) точки одиничної сфери на цю бісектрису:

Середнє четвертої степені проекції також дорівнює :

З останньої рівності знаходимо:

Враховуючи (9), (10), (14), а також рівність нулю усереднень з непарними степенями, ми можемо записати у нашій спеціальній системі координат:

В останній сумі в дужках індекс лишається на місці, а індекси  — циклічно переставляються.

Оскільки середнє значення тензорних величин є тензором, то в довільній системі координат маємо:

Знайдемо тепер коефіцієнт , згорнувши рівняння (16) по індексам (), (). З одного боку рівняння:

З іншого боку рівняння (16), враховуючи перші дві формули із статті Прості обчислення диференціальної геометрії:

Отже знаходимо:

Зібравши до купи рівняння (8), (16) і (19), обчислюємо:

В останній формулі буквою позначено скалярну внутрішню кривину: