Середня кривина многовида у точці

Середня арифметична кривина

Усереднюючи формулу (1) в декартовій системі координат, маємо:

(3)\qquad <\mathbf {k} >={\tilde {\mathbf {b} }}_{ij}<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}>

Якщо $i\neq j$ , то середнє значення добутку $<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}>$ дорівнюватиме нулю, оскільки при фіксованій координаті ${\tilde {\tau }}^{i}$ , координата ${\tilde {\tau }}^{j}$ (на одиничній сфері) в однаковій мірі набуває додатніх і від'ємних значень. Якщо ж $i=j$ , то при всіх індексах $i$ середнє значення довутку дорівнює одному й тому ж числу: $\alpha =<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{i}>$ (в цій формулі нема додавання по індексах). Тепер ми можемо обчислити формулу (3):

(4)\qquad <\mathbf {k} >={\tilde {\mathbf {b} }}_{ij}\alpha \delta ^{ij}=\alpha {\tilde {\mathbf {b} }}_{ij}{\tilde {g}}^{ij}

Постійну $\alpha$ знаходимо, взявши до уваги, що вектор ${\tilde {\tau }}^{i}$ одиничний (формула (2)):

(5)\qquad {\tilde {g}}_{ij}<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}>=\delta _{ij}\alpha \delta ^{ij}=n\alpha =1

(6)\qquad \alpha ={1 \over n}

Тепер, враховуючи інваріантність (відносно заміни координат) тензорної операції згортки по індексам, маємо середню арифметичну кривину многовида:

(7)\qquad \mathbf {H} =<\mathbf {k} >={1 \over n}{\tilde {g}}^{ij}{\tilde {\mathbf {b} }}_{ij}={1 \over n}g^{ij}\mathbf {b} _{ij}={1 \over n}\mathbf {b} _{i}^{i}

Середня квадратична кривина

Піднесемо вираз (1) до квадрата, при цьому зробимо заміну індексів, щоб не повторювались, і результат усереднимо:

(8)\qquad <\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} >=<\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}\cdot \mathbf {b} _{kl}\tau ^{k}\tau ^{l}>=(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})<\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}>

Обчислення робимо в спеціальній (декартовій) системі координат. Якщо якийсь індекс $i$ входить в добуток ${\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}{\tilde {\tau }}^{k}{\tilde {\tau }}^{l}$ непарну кількість разів (один раз або три рази), то при усередненні (як і раніше) ми одержимо нуль. Маємо дві серії ненульових довутків, які ми позначимо буквами $\beta ,\gamma$ :

(9)\qquad \beta =<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{i}>=<({\tilde {\tau }}^{i})^{4}>

(10)\qquad \gamma =<{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{i}{\tilde {\tau }}^{j}{\tilde {\tau }}^{j}>=<({\tilde {\tau }}^{i})^{2}({\tilde {\tau }}^{j})^{2}>,\qquad (i\neq j)

Ми можемо встановити зв'язок між $\beta$ і $\gamma$ , помітивши, що $\beta$ є усередненням четвертої степені від проекції точок одиничної сфери на одну з координатних осей. Але сфера є симетричною фігурою стосовно поворотів, тому ця властивість буде і щодо проекції на будь-яку іншу пряму, що проходить через початок координат.
Знайдемо проекцію точки з координатами ${\tilde {\tau }}^{1},{\tilde {\tau }}^{2},...{\tilde {\tau }}^{n}$ на бісектрису кута між двома (одиничними і ортогональними) напрямними векторами осей координат ${\tilde {\mathbf {r} }}_{i},{\tilde {\mathbf {r} }}_{j}$ . Напрямний вектор цієї бісектриси дорівнює: