Перейти до вмісту

Симетричний тензор внутрішньої кривини

Матеріал з Вікіпідручника

Означення[ред.]

Роззглянемо наступний тензор, складений з компонент тензора Рімана:

Очевидно, що цей тензор симетричний відносно перестановки останніх двох індексів  — при цьому два доданки в формулі (1) просто міняються місцями.

Неважко також перевірити, що цей тензор симетричний і по першій парі індексів , оскільки тензор Рімана не змінюється при перестановці своїх двох пар індексів між собою:

Отже:

Так само легко перевірити, що нововведений тензор симетричний відносно перестановки пар індексів:

Цей тензор назвемо симетричним тензором внутрішньої кривини, оскільки як це слідує з наступного пункту, він містить стільки ж інформації про внутрішню кривину, як і тензор Рімана

Знаходження тензора Рімана через симетричний тензор внутрішньої кривини[ред.]

Розглянемо різницю:

Внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі останній вираз у дужках перетворюється в нуль, і ми одержуємо:

Повна симетризація[ред.]

Утворимо з тензора суму трьох доданків, циклічно переставляючи три перші індекса, аналогічно до виразу в алгебраїчній тотожності Біанкі:

Враховуючи симетрії (3) і (4), легко показати, що одержаний тензор буде симетричним по всіх індексах (наприклад при перестановці індексів перший доданок у формулі (7) залишиться на місці, а другий і третій поміняються місцями).

З іншого боку, суму в формулі (7) ми можемо легко обчислити, користуючись означенням (1):

Але остання сума дорівнює нулю внаслідок симетрій тензора Рімана (перший доданок компенсується з четвертим, другий з пятим, і третій з шостим). Тобто одержуємо повний аналог алгебраїчної тотожності Біанкі, але цього разу для симетричного тензора:

Підрахунок кількості лінійно незалежних компонент внутрішньої кривини[ред.]

Маючи на увазі симетрії (3), (4) знаходимо кількість симетричних пар індексів (вибірка двох чисел із можливих з повтореннями):

Тоді кількість чисельно різних компонент тензора дається формулою (симетрія щодо перестановки пар індексів):

Але ці числа пов'язані лінійними залежностями (9). Кількість цих залежностей дорівнює кількості різних компонент повністю симетричного тензора , тобто:

Віднімаючи (12) від (11), одержуємо кількість лінійно незалежних компонент тензора :

Як і очікувалось, ми одержали те саме число, що і в підрахунках через тензор Рімана (див. Алгебраїчна тотожність Біанкі)

Порівняння з тензором Рімана[ред.]

Оскільки симетричний тензор внутрішньої кривини пов'язаний з тензором Рімана простими рівняннями (1) і (6), то зв'язок з іншими величинами диференціальної геометрії по складності приблизно такий же, в деяких випадках формули дещо складніші, як у виразі через символи Крістофеля:

Але тензор виявляється доречнішим при розгляді питання про поділ повної кривини многовида, вміщеного в евклідовий простір, на внутрішню та зовнішню кривини.