Зовнішня кривина

Матеріал з Вікіпідручника
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Означення нового тензора[ред.]

Порівняємо дві формули для тензора Рімана. Перша виражається через скалярні добутки векторів повної кривини:

Друга виражається через симетричний тензор внутрішньої кривини:

Ці формули наводять на думку розглянути детальніше різницю:

Формула для кривини геодезичної лінії[ред.]

Із формули (3) легко бачити, що тензор симетричний по всіх індексах. Маємо такий розклад скалярного добутку векторів повної кривини:

Для вектора кривини геодезичної лінії з одиничним напрямним вектором дотичної ми мали таку формулу:

Піднесемо (5) до квадрата:

Останній доданок у формулі (6) перетворюється на нуль внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі для симетричного тензора внутрішньої кривини:

Остаточно знаходимо, що квадрат кривини геодезичної лінії обчислюється наступною формою четвертого степеня:

Оскільки у внутрішній геометрії многовида геодезична лінія має нульову кривину, то формула (8) відноситься виключно до зовнішньої геометрії. Це дає підставу називати тензор тензором зовнішньої кривини.

Зміна кривини геодезичної лінії[ред.]

Ми можемо, рухаючись вздовж по геодезичній лінії, взяти похідну від формули (8) по натуральному параметру . Враховуючи формулу для похідної одиничного напрямного вектора:

Одержуємо після диференціювання добутку правої частини (8), і перейменування індексів в одержаних доданках:

Підрахунок кількості лінійно незалежних компонент[ред.]

Для формули (4) ми можемо написати як кількість лінійно незалежних компонент скалярних добутків векторів повної кривини розпадається на два доданки:

Перший доданок відповідає кількості лінійно незалежних компонент симетричного тензора зовнішньої кривини, а другий — тензора внутрішньої кривини.

Нерівності[ред.]

Скалярні добутки векторів задовольняють нерівності, які виражають невід'ємність визначників Грамма. Із них слідують такі нерівності за участю тензорів зовнішньої та внутрішньої кривин:

Координатні (компонентні) нерівності[ред.]

Невід'ємність скалярного квадрата вектора дає (в цій та наступній формулах однакові індекси не підсумовуються):

Для визначника Грамма другого порядку маємо складнішу нерівність:

і аналогічно можна писати нерівності для визначників Грамма вищих порядків, до порядку включно. Визначники порядку більше тотожно дорівнюють нулю, оскільки пари індексів в рядках і стовпцять будуть повторюватися.

Відмітимо, що у випадку гіперповерхні вектори для всіх пар індексів паралельні між собою, а тому нерівність (13) перетворюється на рівняння. Аналогічно ми одержимо рівняння третього степеня між внутрішньою та зовнішньою кривинами, якщо розмірність охоплюючого евклідового простору буде на два більша за розмірність многовида, і так далі…

Скалярні нерівності[ред.]

Усереднимо формулу (8) по всіх напрямках одиничних векторів . Скористаємося обчисленнями із статті Середня кривина многовида у точці — середнє значення добутку чотирьох компонент одиничного вектора дорівнює:

Тоді усереднення формули (8) дає:

де ми позначили

Отже з формули (15) слідує перша скалярна нерівність:

причому рівність досягається тільки на плоских многовидах (афінних підпросторах). Зазначимо принагідно, що метричний тензор зявився в формулі (14) внаслідок усереднення по гіперсфері в дотичному до многовиду лінійному просторі. Якщо ж проводити усереднення по еліпсоїду, що еквівалентно вибору іншого метричного тензора  — довільної додатньо-визначеної матриці, то одержимо наступний результат: квадратична форма

невід'ємна на множині додатньо-визначених матриць .

Тепер перейдемо до усереднення визначника Грамма другого порядку. Нехай ми маємо два одиничних вектора . Відповідні вектори кривини геодезичних дорівнюють:

З цих векторів складаємо (невідємний) визначник Грамма:

Тепер усереднимо нерівність (20) спочатку по , а потім по . Скориставшись фомулами (4) і (14) після деяких обчислень приходимо до формули:

З цієї формули зокрема видно, що при нульовій зовнішній кривині внутрішня кривина також дорівнює нулю.

Шаблон:Без категорій