Означення нового тензора
[ред.]
Порівняємо дві формули для тензора Рімана. Перша виражається через скалярні добутки векторів повної кривини:
![{\displaystyle (1)\qquad R_{ijkl}=(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})-(\mathbf {b} _{il}\cdot \mathbf {b} _{jk})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cbad82ec27c213696fb56698d6f299aab8a3965)
Друга виражається через симетричний тензор внутрішньої кривини:
![{\displaystyle (2)\qquad R_{ijkl}={1 \over 3}\left(S_{ikjl}-S_{iljk}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a662a4bfb19ae67a2980b1008e8d7e7016dfb6f7)
Ці формули наводять на думку розглянути детальніше різницю:
![{\displaystyle (3)\qquad X_{ijkl}=(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})-{1 \over 3}S_{ijkl}=(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})-{1 \over 3}\left(R_{ikjl}+R_{iljk}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e97b67404b1e89caa2bc0cd47f2d36dc3e56aad)
![{\displaystyle \qquad ={1 \over 3}\left(3(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})-\left((\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})-(\mathbf {b} _{il}\cdot \mathbf {b} _{jk})\right)-\left((\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})-(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})\right)\right)={1 \over 3}\left((\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})+(\mathbf {b} _{il}\cdot \mathbf {b} _{jk})+(\mathbf {b} _{ik}\cdot \mathbf {b} _{jl})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6aebb64aa415f866fad230c4d49aa3312dbe5ef)
Формула для кривини геодезичної лінії
[ред.]
Із формули (3) легко бачити, що тензор
симетричний по всіх індексах. Маємо такий розклад скалярного добутку векторів повної кривини:
![{\displaystyle (4)\qquad (\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})=X_{ijkl}+{1 \over 3}S_{ijkl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab5e4b96e691644cda252af3ead78abb9c887a8)
Для вектора кривини
геодезичної лінії з одиничним напрямним вектором дотичної
ми мали таку формулу:
![{\displaystyle (5)\qquad \mathbf {k} =\mathbf {b} _{ij}\tau ^{i}\tau ^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b11d06406b92494a123963a6e8dd08e32baac0)
Піднесемо (5) до квадрата:
![{\displaystyle (6)\qquad \mathbf {k} ^{2}=(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}=X_{ijkl}\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}+{1 \over 3}S_{ijkl}\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a64a9311b585392d27f787e173ec8a16b232fd)
Останній доданок у формулі (6) перетворюється на нуль внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі для симетричного тензора внутрішньої кривини:
![{\displaystyle (7)\qquad S_{ijkl}+S_{jkil}+S_{kijl}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36621997c4d8994d916c7d1572e72d4b5e4de8a)
Остаточно знаходимо, що квадрат кривини геодезичної лінії обчислюється наступною формою четвертого степеня:
![{\displaystyle (8)\qquad \mathbf {k} ^{2}=X_{ijkl}\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9795cfb22ef75045f39c6de2b604b8279b1b81)
Оскільки у внутрішній геометрії многовида геодезична лінія має нульову кривину, то формула (8) відноситься виключно до зовнішньої геометрії. Це дає підставу називати тензор
тензором зовнішньої кривини.
Зміна кривини геодезичної лінії
[ред.]
Ми можемо, рухаючись вздовж по геодезичній лінії, взяти похідну від формули (8) по натуральному параметру
.
Враховуючи формулу для похідної одиничного напрямного вектора:
![{\displaystyle (9)\qquad {d\tau ^{i} \over ds}=-\Gamma _{ps}^{i}\tau ^{p}\tau ^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f89d6d4abcae3406d2fcfbf90e6989c219e4df2)
Одержуємо після диференціювання добутку правої частини (8), і перейменування індексів в одержаних доданках:
![{\displaystyle (10)\qquad {d\mathbf {k} ^{2} \over ds}=\left(\nabla _{p}X_{ijkl}\right)\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241f637fdfea1e58df1c5b88d9cf291dee5ffeb2)
Підрахунок кількості лінійно незалежних компонент
[ред.]
Для формули (4) ми можемо написати як кількість лінійно незалежних компонент скалярних добутків векторів повної кривини розпадається на два доданки:
![{\displaystyle (11)\qquad C_{n(n+1) \over 2}^{2}=C_{n+3}^{4}+{n^{2}(n^{2}-1) \over 12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b264289437c13245a1c2f562a7e858bce52677a)
Перший доданок відповідає кількості лінійно незалежних компонент симетричного тензора зовнішньої кривини, а другий — тензора внутрішньої кривини.
Скалярні добутки векторів задовольняють нерівності, які виражають невід'ємність визначників Грамма. Із них слідують такі нерівності за участю тензорів зовнішньої та внутрішньої кривин:
Координатні (компонентні) нерівності
[ред.]
Невід'ємність скалярного квадрата вектора дає (в цій та наступній формулах однакові індекси не підсумовуються):
![{\displaystyle (12)\qquad (\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{ij})=X_{ijij}+{1 \over 3}S_{ijij}=X_{iijj}+{1 \over 3}R_{ijij}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e55d294df4b76359397e04cc7c7963f675645b1)
Для визначника Грамма другого порядку маємо складнішу нерівність:
![{\displaystyle (13)\qquad {\begin{vmatrix}(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{ij})&(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{kl})\\(\mathbf {b} _{kl}\cdot \mathbf {b} _{ij})&(\mathbf {b} _{kl}\cdot \mathbf {b} _{kl})\end{vmatrix}}=\left(X_{iijj}+{1 \over 3}R_{ijij}\right)\left(X_{kkll}+{1 \over 3}R_{klkl}\right)-\left(X_{ijkl}+{1 \over 3}S_{ijkl}\right)^{2}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c838d7dfa2a88c777a72f2adb15a8008513f73)
і аналогічно можна писати нерівності для визначників Грамма вищих порядків, до порядку
включно. Визначники порядку більше
тотожно дорівнюють нулю, оскільки пари індексів в рядках і стовпцять будуть повторюватися.
Відмітимо, що у випадку гіперповерхні вектори
для всіх пар індексів паралельні між собою, а тому нерівність (13) перетворюється на рівняння. Аналогічно ми одержимо рівняння третього степеня між внутрішньою та зовнішньою кривинами, якщо розмірність охоплюючого евклідового простору буде на два більша за розмірність многовида, і так далі…
Скалярні нерівності
[ред.]
Усереднимо формулу (8) по всіх напрямках одиничних векторів
. Скористаємося обчисленнями із статті Середня кривина многовида у точці — середнє значення добутку чотирьох компонент одиничного вектора дорівнює:
![{\displaystyle (14)\qquad <\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}>={1 \over n(n+2)}\left(g^{ij}g^{kl}+g^{jk}g^{il}+g^{ki}g^{jl}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f44033922db989305fc8f49ae55b0385d9dbe3d)
Тоді усереднення формули (8) дає:
![{\displaystyle (15)\qquad <\mathbf {k} ^{2}>={1 \over n(n+2)}X_{ijkl}\left(g^{ij}g^{kl}+g^{jk}g^{il}+g^{ki}g^{jl}\right)={3 \over n(n+2)}X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7385420bbe55444fbef1f42e3f7add19cde2124)
де ми позначили
![{\displaystyle (16)\qquad X=g^{ij}g^{kl}X_{ijkl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1325764b33f9d6e203b20f0ca3794d9dc7131b46)
Отже з формули (15) слідує перша скалярна нерівність:
![{\displaystyle (17)\qquad X\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067ffcaae0555b04ebabff7ebf688a6efdd52535)
причому рівність досягається тільки на плоских многовидах (афінних підпросторах).
Зазначимо принагідно, що метричний тензор зявився в формулі (14) внаслідок усереднення
по гіперсфері в дотичному до многовиду лінійному просторі. Якщо ж проводити усереднення по еліпсоїду, що еквівалентно вибору іншого метричного тензора
— довільної додатньо-визначеної матриці, то одержимо наступний результат: квадратична форма
![{\displaystyle (18)\qquad X_{ijkl}a^{ij}a^{kl}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7d3a60b10631ea49d44273989ad08b33a13d93)
невід'ємна на множині додатньо-визначених матриць
.
Тепер перейдемо до усереднення визначника Грамма другого порядку. Нехай ми маємо два одиничних вектора
. Відповідні вектори кривини геодезичних дорівнюють:
- Неможливо розібрати вираз (SVG (MathML можна ввімкнути через плагін браузера): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «http://localhost:6011/uk.wikibooks.org/v1/»:): {\displaystyle (19) \qquad \mathbf{k} = \mathbf{b}_{ij} \tau^i \tau^j, \qquad \tilde {\mathbf{k}} = \mathbf{b}_{ij} \tilde {\tau^i} \tilde {\tau^j}}
З цих векторів складаємо (невідємний) визначник Грамма:
![{\displaystyle (20)\qquad {\begin{vmatrix}\mathbf {k} ^{2}&(\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {k} }})\\({\tilde {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {k} )&{\tilde {\mathbf {k} }}^{2}\end{vmatrix}}=\mathbf {k} ^{2}{\tilde {\mathbf {k} }}^{2}-(\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {k} }})^{2}=(X_{ijkl}X_{pqrs}-(\mathbf {b} _{ij}\cdot \mathbf {b} _{pq})(\mathbf {b} _{kl}\cdot \mathbf {b} _{rs}))\tau ^{i}\tau ^{j}\tau ^{k}\tau ^{l}{\tilde {\tau }}^{p}{\tilde {\tau }}^{q}{\tilde {\tau }}^{r}{\tilde {\tau }}^{s}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa6e1b8a6eccc5c6a11e78fcc4711c38e1cca3fa)
Тепер усереднимо нерівність (20) спочатку по
, а потім по
. Скориставшись фомулами (4) і (14) після деяких обчислень приходимо до формули:
![{\displaystyle (21)\qquad \left(X+{2 \over 3}R\right)^{2}+\left(X_{ij}+{2 \over 3}R_{ij}\right)\left(X^{ij}+{2 \over 3}R^{ij}\right)+4X_{ijkl}X^{ijkl}+{4 \over 3}R_{ijkl}R^{ijkl}\leq 9X^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d81f29b6b9df70dad034fa9ed0df18f9bd887484)
З цієї формули зокрема видно, що при нульовій зовнішній кривині внутрішня кривина також дорівнює нулю.