Зовнішня кривина

Ця версія книжки "Зовнішня кривина" призначена для друку
Ви не побачите це повідомлення при попередньому перегляді цієї сторінки.

Означення нового тензора

Порівняємо дві формули для тензора Рімана. Перша виражається через скалярні добутки векторів повної кривини:

(1) R_{i j k l} = (𝐛_{i k} \cdot 𝐛_{j l}) - (𝐛_{i l} \cdot 𝐛_{j k})

Друга виражається через симетричний тензор внутрішньої кривини:

(2) R_{i j k l} = \frac{1}{3} (S_{i k j l} - S_{i l j k})

Ці формули наводять на думку розглянути детальніше різницю:

(3) X_{i j k l} = (𝐛_{i j} \cdot 𝐛_{k l}) - \frac{1}{3} S_{i j k l} = (𝐛_{i k} \cdot 𝐛_{j l}) - \frac{1}{3} (R_{i k j l} + R_{i l j k}) =

= \frac{1}{3} (3 (𝐛_{i j} \cdot 𝐛_{k l}) - ((𝐛_{i j} \cdot 𝐛_{k l}) - (𝐛_{i l} \cdot 𝐛_{j k})) - ((𝐛_{i j} \cdot 𝐛_{k l}) - (𝐛_{i k} \cdot 𝐛_{j l}))) = \frac{1}{3} ((𝐛_{i j} \cdot 𝐛_{k l}) + (𝐛_{i l} \cdot 𝐛_{j k}) + (𝐛_{i k} \cdot 𝐛_{j l}))

Формула для кривини геодезичної лінії

Із формули (3) легко бачити, що тензор $X_{i j k l}$ симетричний по всіх індексах. Маємо такий розклад скалярного добутку векторів повної кривини:

(4) (𝐛_{i j} \cdot 𝐛_{k l}) = X_{i j k l} + \frac{1}{3} S_{i j k l}

Для вектора кривини $𝐤$ геодезичної лінії з одиничним напрямним вектором дотичної $𝝉$ ми мали таку формулу:

(5) 𝐤 = 𝐛_{i j} τ^{i} τ^{j}

Піднесемо (5) до квадрата:

(6) 𝐤^{2} = (𝐛_{i j} \cdot 𝐛_{k l}) τ^{i} τ^{j} τ^{k} τ^{l} = X_{i j k l} τ^{i} τ^{j} τ^{k} τ^{l} + \frac{1}{3} S_{i j k l} τ^{i} τ^{j} τ^{k} τ^{l}

Останній доданок у формулі (6) перетворюється на нуль внаслідок алгебраїчної тотожності Біанкі для симетричного тензора внутрішньої кривини:

(7) S_{i j k l} + S_{j k i l} + S_{k i j l} = 0

Остаточно знаходимо, що квадрат кривини геодезичної лінії обчислюється наступною формою четвертого степеня:

(8) 𝐤^{2} = X_{i j k l} τ^{i} τ^{j} τ^{k} τ^{l}

Оскільки у внутрішній геометрії многовида геодезична лінія має нульову кривину, то формула (8) відноситься виключно до зовнішньої геометрії. Це дає підставу називати тензор $X_{i j k l}$ тензором зовнішньої кривини.

Зміна кривини геодезичної лінії

Ми можемо, рухаючись вздовж по геодезичній лінії, взяти похідну від формули (8) по натуральному параметру $s$ . Враховуючи формулу для похідної одиничного напрямного вектора:

(9) \frac{d τ^{i}}{d s} = - Γ_{p s}^{i} τ^{p} τ^{s}

Одержуємо після диференціювання добутку правої частини (8), і перейменування індексів в одержаних доданках:

(10) \frac{d 𝐤^{2}}{d s} = (\nabla_{p} X_{i j k l}) τ^{i} τ^{j} τ^{k} τ^{l}

Підрахунок кількості лінійно незалежних компонент

Для формули (4) ми можемо написати як кількість лінійно незалежних компонент скалярних добутків векторів повної кривини розпадається на два доданки:

(11) C_{\frac{n (n + 1)}{2}}^{2} = C_{n + 3}^{4} + \frac{n^{2} (n^{2} - 1)}{12}

Перший доданок відповідає кількості лінійно незалежних компонент симетричного тензора зовнішньої кривини, а другий — тензора внутрішньої кривини.

Нерівності

Скалярні добутки векторів задовольняють нерівності, які виражають невід'ємність визначників Грамма. Із них слідують такі нерівності за участю тензорів зовнішньої та внутрішньої кривин:

Координатні (компонентні) нерівності

Невід'ємність скалярного квадрата вектора дає (в цій та наступній формулах однакові індекси не підсумовуються):

(12) (𝐛_{i j} \cdot 𝐛_{i j}) = X_{i j i j} + \frac{1}{3} S_{i j i j} = X_{i i j j} + \frac{1}{3} R_{i j i j} \geq 0

Для визначника Грамма другого порядку маємо складнішу нерівність:

(13) | \begin{matrix} (𝐛_{i j} \cdot 𝐛_{i j}) & (𝐛_{i j} \cdot 𝐛_{k l}) \\ (𝐛_{k l} \cdot 𝐛_{i j}) & (𝐛_{k l} \cdot 𝐛_{k l}) \end{matrix} | = (X_{i i j j} + \frac{1}{3} R_{i j i j}) (X_{k k l l} + \frac{1}{3} R_{k l k l}) - {(X_{i j k l} + \frac{1}{3} S_{i j k l})}^{2} \geq 0

і аналогічно можна писати нерівності для визначників Грамма вищих порядків, до порядку $N = \frac{n (n + 1)}{2}$ включно. Визначники порядку більше $N$ тотожно дорівнюють нулю, оскільки пари індексів в рядках і стовпцять будуть повторюватися.

Відмітимо, що у випадку гіперповерхні вектори $𝐛_{i j}$ для всіх пар індексів паралельні між собою, а тому нерівність (13) перетворюється на рівняння. Аналогічно ми одержимо рівняння третього степеня між внутрішньою та зовнішньою кривинами, якщо розмірність охоплюючого евклідового простору буде на два більша за розмірність многовида, і так далі…

Скалярні нерівності

Усереднимо формулу (8) по всіх напрямках одиничних векторів $𝝉$ . Скористаємося обчисленнями із статті Середня кривина многовида у точці — середнє значення добутку чотирьох компонент одиничного вектора дорівнює:

(14) < τ^{i} τ^{j} τ^{k} τ^{l} > = \frac{1}{n (n + 2)} (g^{i j} g^{k l} + g^{j k} g^{i l} + g^{k i} g^{j l})

Тоді усереднення формули (8) дає:

(15) < 𝐤^{2} > = \frac{1}{n (n + 2)} X_{i j k l} (g^{i j} g^{k l} + g^{j k} g^{i l} + g^{k i} g^{j l}) = \frac{3}{n (n + 2)} X

де ми позначили

(16) X = g^{i j} g^{k l} X_{i j k l}

Отже з формули (15) слідує перша скалярна нерівність:

(17) X \geq 0

причому рівність досягається тільки на плоских многовидах (афінних підпросторах). Зазначимо принагідно, що метричний тензор зявився в формулі (14) внаслідок усереднення $τ^{i} τ^{j} τ^{k} τ^{l}$ по гіперсфері в дотичному до многовиду лінійному просторі. Якщо ж проводити усереднення по еліпсоїду, що еквівалентно вибору іншого метричного тензора $a_{i j}$ — довільної додатньо-визначеної матриці, то одержимо наступний результат: квадратична форма

(18) X_{i j k l} a^{i j} a^{k l} \geq 0

невід'ємна на множині додатньо-визначених матриць $a^{i j}$ .

Тепер перейдемо до усереднення визначника Грамма другого порядку. Нехай ми маємо два одиничних вектора $τ^{i}, {\tilde{τ}}^{i}$ . Відповідні вектори кривини геодезичних дорівнюють:

(19) 𝐤 = 𝐛_{i j} τ^{i} τ^{j}, \tilde{𝐤} = 𝐛_{i j} \tilde{τ^{i}} \tilde{τ^{j}}

З цих векторів складаємо (невідємний) визначник Грамма:

(20) | \begin{matrix} 𝐤^{2} & (𝐤 \cdot \tilde{𝐤}) \\ (\tilde{𝐤} \cdot 𝐤) & {\tilde{𝐤}}^{2} \end{matrix} | = 𝐤^{2} {\tilde{𝐤}}^{2} - (𝐤 \cdot \tilde{𝐤})^{2} = (X_{i j k l} X_{p q r s} - (𝐛_{i j} \cdot 𝐛_{p q}) (𝐛_{k l} \cdot 𝐛_{r s})) τ^{i} τ^{j} τ^{k} τ^{l} {\tilde{τ}}^{p} {\tilde{τ}}^{q} {\tilde{τ}}^{r} {\tilde{τ}}^{s} \geq 0

Тепер усереднимо нерівність (20) спочатку по $τ^{i} τ^{j} τ^{k} τ^{l}$ , а потім по ${\tilde{τ}}^{p} {\tilde{τ}}^{q} {\tilde{τ}}^{r} {\tilde{τ}}^{s}$ . Скориставшись фомулами (4) і (14) після деяких обчислень приходимо до формули:

(21) {(X + \frac{2}{3} R)}^{2} + (X_{i j} + \frac{2}{3} R_{i j}) (X^{i j} + \frac{2}{3} R^{i j}) + 4 X_{i j k l} X^{i j k l} + \frac{4}{3} R_{i j k l} R^{i j k l} \leq 9 X^{2}

З цієї формули зокрема видно, що при нульовій зовнішній кривині внутрішня кривина також дорівнює нулю.