Інтеграли Гауса

Ми можемо проінтегрувати кривину Ґауса по всьому об'єму $n$-вимірного многовида:

$(1)\qquad I_{m}=\int K^{[m]}{\sqrt {g}}\,du^{1}du^{2}\dots du^{n}$

Назвемо одержану величину інтегралом Ґауса.

Варіація інтеграла Ґауса

Нехай ми маємо замкнутий обмежений многовид, подібний до сфери чи тору. Варіація інтеграла Ґауса дається такою формулою (доведення буде нижче):

$(2)\qquad \delta I_{m}={1 \over 2}\int G_{ij}^{[m]}\delta g^{ij}{\sqrt {g}}\,du^{1}du^{2}\dots du^{n}$

де тензор $G_{ij}^{[m]}$ у випадку гіперповерхні визначається наступною формулою (піднімемо один з індексів, щоб формула краще виглядала):

$(3)\qquad G_{j}^{[m]i}={(-1)^{m+1} \over m!}g_{jp_{1}p_{2}\dots p_{m}}^{is_{1}s_{2}\dots s_{m}}b_{s_{1}}^{p_{1}}b_{s_{2}}^{p_{2}}\cdots b_{s_{m}}^{p_{m}}$

В цій формулі використовується тензор метричної матрьошки $g_{j_{1}\dots j_{m}}^{i_{1}\dots i_{m}}$ (дивіться статтю Одиничний антисиметричний тензор), і тензор повної кривини гіперповерхні $b_{ij}$.

Очевидно, формула (3) задає цілу серію тензорів другого рангу. Назвемо ці тензори тензорами Ейнштейна $m$-го степеня, оскільки, як легко можна обчислити, тензор другого степеня збігається з класичним тензором Ейнштейна:

$(4)\qquad G_{j}^{[2]i}=-{1 \over 2}g_{jrs}^{ipq}b_{p}^{r}b_{q}^{s}=-{1 \over 4}g_{jrs}^{ipq}R_{pq}^{rs}=R_{j}^{i}-{1 \over 2}R\delta _{j}^{i}$

Замітимо, що при $m=n$ тензор метричної матрьошки в формулі (3) дорівнюватиме нулю, оскільки в кожній з двох антисиметричних груп індексів індекси будуть повторюватися. Тому тензор Ейнштейна буде нульовим, а отже і варіація інтеграла Ґауса (формула 2). Це означає, що в цьому випадку інтеграл Ґауса є топологічним інваріантом.

Обчислення варіації інтеграла Ґауса для випадку гіперповерхні

В наступних інтегралах цього пункту, для спрощення запису, ми не будемо писати добутків диференціалів координат $du^{1}du^{2}\cdots du^{n}$. Маємо:

$(5)\qquad \delta I_{m}=\delta \left(\int K^{[m]}{\sqrt {g}}\right)=\int \left(\delta K^{[m]}\right){\sqrt {g}}+\int K^{[m]}\,\delta {\sqrt {g}}$

Займемся першим доданком формули (5). Кривина Ґауса обчислюється за формулою:

$(6)\qquad K^{[m]}={(-1)^{m} \over m!}g_{p_{1}p_{2}\dots p_{m}}^{s_{1}s_{2}\dots s_{m}}b_{s_{1}}^{p_{1}}\cdots b_{s_{m}}^{p_{m}}$

Компоненти тензора метричної матрьошки дорівнюють або нулю, або одиниці, або мінус одиниці, а отже цей тензор можна винести за знак варіації як константу. Також, враховуючи симетричність тензора метричної матрьошки щодо перестановки «вертикальних пар» індексів $\{s_{k}p_{k}\}$, одержуємо таку формулу для варіації кривини Ґауса:

$(7)\qquad \delta K^{[m]}=m\cdot {(-1)^{m} \over m!}g_{jp_{2}\dots p_{m}}^{is_{2}\dots s_{m}}\left(\delta b_{i}^{j}\right)b_{s_{2}}^{p_{2}}\cdots b_{s_{m}}^{p_{m}}=G_{j}^{[m-1]i}\,\delta b_{i}^{j}$

Знайдемо тепер варіацію тензора повної кривини гіперповерхні.

$(8)\qquad \delta b_{i}^{j}=\delta \left(g^{js}b_{si}\right)=b_{si}\delta g^{js}+g^{js}\delta b_{si}$

Підставляючи (8) в (7), знаходимо:

$(9)\qquad \delta K^{[m]}=R_{ij}^{[m]}\,\delta g^{ij}+G^{[m-1]ij}\,\delta b_{ij}$

де введено позначення тензора Річчі $m$-го степеня:

$(10)\qquad R_{j}^{[m]i}={(-1)^{m} \over (m-1)!}g_{jp_{2}\dots p_{m}}^{s_{1}s_{2}\dots s_{m}}b_{s_{1}}^{i}b_{s_{2}}^{p_{2}}\cdots b_{s_{m}}^{p_{m}}$

(аналогічно до тензора Ейнштейна, тензор Річчі другого степеня збігається з класичним тензором Річчі)

Далі, тензор повної кривини гіперповерхні дорівнює скалярному добутку вектора нормалі $\mathbf {n}$ до гіперповерхні і другої похідної радіус-вектора $\mathbf {r} _{ij}$:

$(11)\qquad b_{ij}=(\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} _{ij})$

Знаходимо варіацію:

$(12)\qquad \delta b_{ij}=(\delta \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} _{ij})+(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{ij})$

Варіація одиничного вектора нормалі ортогональна до самого вектора нормалі:

$(13)\qquad (\delta \mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )=0$

а тому лежить в дотичній до многовида гіперплощині, і її можна розкласти за базисними векторами гіперповерхні:

$(14)\qquad \delta \mathbf {n} =\alpha ^{i}\mathbf {r} _{i}$

де $\alpha ^{i}$ — деякі, поки що невідомі коефіцієнти розкладу. Оскільки вектор нормалі завжди ортогональний до базисних векторів:

$(15)\qquad (\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} _{j})=0$

то маємо також:

$(16)\qquad \delta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} _{j})=(\delta \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} _{j})+(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{j})=\alpha ^{i}g_{ij}+(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{j})=0$

Із (14) ш (16) маємо:

$(17)\qquad \delta \mathbf {n} =-g^{ij}(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{j})\mathbf {r} _{i}$

Підставимо тепер (17) в (12). Знаходимо:

$(18)\qquad \delta b_{ij}=-g^{sp}(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{s})(\mathbf {r} _{p}\cdot \mathbf {r} _{ij})+(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{ij})=-\Gamma _{ij}^{s}(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{s})+(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{ij})$

Тепер ми готові обчислювати перший інтеграл формули (5). Підставляючи вирази (9) і (18), знаходимо:

$(19)\qquad \int \left(\delta K^{[m]}\right){\sqrt {g}}=\int R_{ij}^{[m]}\delta g^{ij}{\sqrt {g}}+\int G^{[m-1]ij}\left((\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{ij})-\Gamma _{ij}^{s}(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{s})\right){\sqrt {g}}$

Другий інтеграл в правій частині формули (19) розбивається на два, із них перший інтеграл ми можемо проінтегрувати частинами:

$(20)\qquad \int \left({\sqrt {g}}G^{[m-1]ij}\mathbf {n} \cdot {\partial \over \partial u^{j}}\delta \mathbf {r} _{i}\right)=\int {\partial \over \partial u^{j}}\left({\sqrt {g}}G^{[m-1]ij}(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{i})\right)\,du^{1}du^{2}\dots du^{n}-\int \left({\partial \over \partial u^{j}}\left({\sqrt {g}}G^{[m-1]ij}\mathbf {n} \right)\cdot \delta \mathbf {r} _{i}\right)$

Перший інтеграл за формулою Остроградського-Ґауса перетворюється в інтеграл по межі області інтегрування:

$(21)\qquad \oint G^{[m-1]ij}(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{i})dS_{j}$

яка у випадку замкнутого многовида вироджується в точку (і відповідно цей інтеграл стає рівним нулю). Але ми можемо також розглядати і інтеграл Ґауса по частині многовиду, в цьому випадку інтеграл (21) треба залишити.

Другий інтеграл в правій частині формули (20) розбивається на два інтеграла:

$(22)\qquad \int {\partial \over \partial u^{j}}\left({\sqrt {g}}G^{[m-1]ij}\right)(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{i})+\int {\sqrt {g}}G^{[m-1]ij}(\mathbf {n} _{j}\cdot \delta \mathbf {r} _{i})$

Збираючи формули (20-22) в (19), одержуємо:

$(23)\qquad \int \left(\delta K^{[m]}\right){\sqrt {g}}=\int R_{ij}^{[m]}\delta g^{ij}{\sqrt {g}}+\oint G^{[m-1]ij}(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{i})dS_{j}\;-$

$\qquad -\int \left({1 \over {\sqrt {g}}}{\partial \over \partial u^{j}}\left({\sqrt {g}}G^{[m-1]ij}\right)+\Gamma _{sj}^{i}G^{[m-1]sj}\right)(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{i}){\sqrt {g}}\;-\int {\sqrt {g}}G^{[m-1]ij}(\mathbf {n} _{j}\cdot \delta \mathbf {r} _{i})$

Розберемося з третім інтегралом в правій частині формули (23). Вираз у дужках цього інтеграла дорівнює дивергенції тензора Ейнштейна:

$(24)\qquad {1 \over {\sqrt {g}}}{\partial \over \partial u^{j}}\left({\sqrt {g}}G^{[m-1]ij}\right)+\Gamma _{sj}^{i}G^{[m-1]sj}=\partial _{j}G^{[m-1]ij}+\Gamma _{sj}^{i}G^{[m-1]sj}+\Gamma _{sj}^{j}G^{[m-1]is}=\nabla _{j}G^{[m-1]ij}$

Але, як легко показати (використовуючи рівняння Петерсона-Кодацці), дивергенція тензора Ейнштейна тотожно дорівнює нулю.

В останньому інтегралі формули (24) похідні вектора нормалі до гіперповерхні дорівнюють:

$(25)\qquad \mathbf {n} _{j}=-b_{j}^{s}\mathbf {r} _{s}$

Отже формула (23) стає простішою:

$(26)\qquad \int \left(\delta K^{[m]}\right){\sqrt {g}}=\int R_{ij}^{[m]}\delta g^{ij}{\sqrt {g}}+\oint G^{[m-1]ij}(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{i})dS_{j}\;+\int {\sqrt {g}}G^{[m-1]ij}b_{j}^{s}(\mathbf {r} _{s}\cdot \delta \mathbf {r} _{i})$

Часткова згортка тензора Ейнштейна з тензором повної кривини дає тензор Річчі:

$(27)\qquad G^{[m-1]ij}b_{j}^{s}=R^{[m]is}$

і внаслідок симетрії тензора Річчі маємо:

$(28)\qquad R^{[m]ij}(\mathbf {r} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{j})={1 \over 2}R^{[m]ij}\left((\mathbf {r} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{j})+(\delta \mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})\right)={1 \over 2}R^{[m]ij}\delta g_{ij}=-{1 \over 2}R_{ij}^{[m]}\delta g^{ij}$

Щодо останнього перетворення формули (28), дивіться статтю Прості обчислення диференціальної геометрії. Отже формула (26) ще раз спрощується:

$(29)\qquad \int \left(\delta K^{[m]}\right){\sqrt {g}}={1 \over 2}\int R_{ij}^{[m]}\delta g^{ij}{\sqrt {g}}+\oint G^{[m-1]ij}(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{i})dS_{j}$

підставимо одержаний вираз в (5), також обчисливши варіацію кореня з визначника:

$(30)\qquad \delta {\sqrt {g}}=-{1 \over 2}{\sqrt {g}}g_{ij}\delta g^{ij}$

В результаті одержуємо такий вираз для варіації інтеграла Ґауса:

$(31)\qquad \delta I_{m}={1 \over 2}\int \left(R_{ij}^{[m]}-K^{[m]}g_{ij}\right){\sqrt {g}}\,\delta g^{ij}\;+\oint G^{[m-1]ij}(\mathbf {n} \cdot \delta \mathbf {r} _{i})dS_{j}$

Для одержання формули (2) лишається тільки скористатися основним зв'язком між тензорами Ейнштейна та Річчі:

$(32)\qquad G_{ij}^{[m]}=R_{ij}^{[m]}-K^{[m]}g_{ij}$

Обчислення варіації інтеграла Ґауса для випадку парного степеня

Якщо степінь кривини Ґауса парний, то як кривина Ґауса так і тензор Ейнштейна виражаються через тензор Рімана, і ми можемо робити всі обчислення, користуючись тільки внутрішньою геометрією.

Як і раніше, варіація інтеграла Ґауса розкладається на два інтеграла:

$(33)\qquad \delta I_{2m}=\int \left(\delta K^{[2m]}\right)\,{\sqrt {g}}du^{1}\cdots du^{n}-{1 \over 2}\int K^{[2m]}g_{ij}\,\delta g^{ij}\;{\sqrt {g}}du^{1}\cdots du^{n}=J_{1}+J_{2}$

Обчислимо спочатку перший інтеграл, що стоїть в правій частині рівності (33). Кривина Ґауса обчислюється за формулою:

$(34)\qquad K^{[2m]}={1 \over 2^{m}(2m)!}g_{k_{1}l_{1}\dots k_{m}l_{m}}^{i_{1}j_{1}\dots i_{m}j_{m}}R_{i_{1}j_{1}}^{k_{1}l_{1}}\cdots R_{i_{m}j_{m}}^{k_{m}l_{m}}$

Оскільки коефіцієнти тензора метричної матрьошки є постійними числами, і «вертикальні пари» індексів тензора метричної матрьошки можна переставляти, то варіація кривини Ґауса (34) дорівнює:

$(35)\qquad \delta K^{[2m]}={\partial K^{[2m]} \over \partial R_{ij}^{kl}}\,\delta R_{ij}^{kl}=c_{kl}^{ij}\,\delta R_{ij}^{kl}$

де тензор $c_{kl}^{ij}$ знаходиться за такою формулою (кількість множників на одиницю менша ніж у формулі (34)):

$(36)\qquad c_{kl}^{ij}={m \over 2^{m}(2m)!}g_{klk_{2}l_{2}\dots k_{m}l_{m}}^{iji_{2}j_{2}\dots i_{m}j_{m}}R_{i_{2}j_{2}}^{k_{2}l_{2}}\cdots R_{i_{m}j_{m}}^{k_{m}l_{m}}$

Нам треба обчислити інтеграл:

$(37)\qquad J_{1}=\int \left(\delta K^{[2m]}\right)\,d\tau =\int c_{kl}^{ij}\;\left(\delta R_{ij}^{kl}\right)\,d\tau$

Підінтегральний вираз можна розбити на два доданки таким чином:

$(38)\qquad c_{kl}^{ij}\;\delta R_{ij}^{kl}=c_{kl}^{ij}\;\delta \left(g^{ls}R_{\;sij}^{k}\right)=c_{kl}^{ij}\;g^{ls}\;\delta R_{\;sij}^{k}+c_{kl}^{ij}\;R_{\;sij}^{k}\;\delta g^{ls}=$

$\qquad =c_{s}^{\;ijk}\,\delta R_{\;ijk}^{s}+c_{k_{1}i}^{i_{1}j_{1}}\,R_{\;ji_{1}j_{1}}^{k_{1}}\,\delta g^{ij}$

Останній доданок можна виразити через тензор Річчі $2m$-того степеня:

$(39)\qquad c_{k_{1}i}^{i_{1}j_{1}}\,R_{i_{1}j_{1}}^{k_{1}j}={1 \over 2}\cdot {1 \over 2^{m}(2m-1)!}g_{k_{1}ik_{2}l_{2}\dots k_{m}l_{m}}^{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}\dots i_{m}j_{m}}R_{i_{1}j_{1}}^{k_{1}j}R_{i_{2}j_{2}}^{k_{2}l_{2}}\cdots R_{i_{m}j_{m}}^{k_{m}l_{m}}={1 \over 2}R_{i}^{[2m]j}$

Підставимо формули (37-39) в (33), маємо:

$(40)\qquad \delta I_{2m}=J_{1}+J_{2}=\int \left(c_{s}^{\;ijk}\,\delta R_{\;ijk}^{s}+{1 \over 2}R_{ij}^{[2m]}\,\delta g^{ij}-{1 \over 2}K^{[2m]}g_{ij}\,\delta g^{ij}\right)\,d\tau$

$\qquad =\int c_{s}^{\;ijk}\,\delta R_{\;ijk}^{s}\;d\tau +{1 \over 2}\int G_{ij}^{[2m]}\,\delta g^{ij}\;d\tau$

Ми знову маємо два інтеграла. Покажемо, що перший з них перетворюється в інтеграл по межі області інтегрування інтеграла Ґауса (а тому дорівнює нулю, якщо інтеграл Ґауса береться по всьому об'єму замкненого многовида).

Ці обчислення доволі складні, тому для зручності допоміжні обчислення винесено в окрему статтю. Скористаємося результатом цих обчислень:

$(41)\qquad =\int _{\Omega }c_{s}^{\;ijk}\,\delta R_{\;ijk}^{s}\;d\tau =\oint _{S}w_{s}^{\;ijk}\,\delta \Gamma _{ij}^{s}\,n_{k}\,dS-\int _{\Omega }\left(\nabla _{k}w_{s}^{\;ijk}\right)\,\delta \Gamma _{ij}^{s}\,d\tau$

де позначено:

$(42)\qquad w_{s}^{\;ijk}=c_{s}^{\;ikj}-c_{s}^{\;ijk}=-2c_{s}^{\;ijk}$

(останнє перетворення записано з огляду на антисиметрію тензора $c_{s}^{\;ijk}$ по останній парі індексів)

Можна легко показати (аналогічно тому, як це було зроблено для тензора Ейнштейна), що дивергенція тензора $c_{s}^{\;ijk}$, а отже і $w_{s}^{\;ijk}$ дорівнює нулю.

Дійсно, беручи дивергенцію від формули (36) наприклад за індексом $j$ (тобто $\nabla _{j}c_{kl}^{ij}$), одержуємо доданки виду:

$(43)\qquad {m \over 2^{m}(2m)!}g_{klk_{2}l_{2}\dots k_{m}l_{m}}^{iji_{2}j_{2}\dots i_{m}j_{m}}\left(\nabla _{j}R_{i_{2}j_{2}}^{k_{2}l_{2}}\right)\cdots R_{i_{m}j_{m}}^{k_{m}l_{m}}$

Якщо розглянути в формулі (43) три індекси $j,i_{2},j_{2}$ то можна помітити, що тензор метричної матрьошки не змінюється при їх циклічній перестановці. Оскільки при додаванні за цими індексами зустрічаються усі три циклічні перестановки, то внаслідок диференціальної тотожності Біанкі сума буде дорівнювати нулю.

Остаточно маємо для варіації інтеграла Ґауса по деякій області $\Omega$ многовиду:

$(44)\qquad \delta \int _{\Omega }K^{[2m]}d\tau ={1 \over 2}\int _{\Omega }G_{ij}^{[2m]}\,\delta g^{ij}\;d\tau -2\oint _{S}c_{s}^{\;ijk}\,\delta \Gamma _{ij}^{s}\;d\tau$